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2022年高考数学甲卷-理15<-->2022年高考数学甲卷-理17
（5分）已知$\Delta ABC$中，点$D$在边$BC$上，$\angle ADB=120^\circ$，$AD=2$，$CD=2BD$．当$\dfrac{AC}{AB}$取得最小值时，$BD=$ $\sqrt{3}-1$ ．
分析：首先设出$BD$，$CD$，在两个三角形中分别表示$AC$，$BC$，继而$\dfrac{A{C}^{2}}{A{B}^{2}}=\dfrac{{b}^{2}}{{c}^{2}}=\dfrac{4{x}^{2}-4x+4}{{x}^{2}+2x+4}=4-\dfrac{12}{x+1+\dfrac{3}{x+1}}$，从而利用均值不等式取等号的条件即可．
解答：解：设$BD=x$，$CD=2x$，
在三角形$ACD$中，$b^{2}=4x^{2}+4-2\cdot 2x\cdot 2\cdot \cos 60^\circ$，可得：$b^{2}=4x^{2}-4x+4$，
在三角形$ABD$中，$c^{2}=x^{2}+4-2\cdot x\cdot 2\cdot \cos 120^\circ$，可得：$c^{2}=x^{2}+2x+4$，
要使得$\dfrac{AC}{AB}$最小，即$\dfrac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$最小，
$\dfrac{{b}^{2}}{{c}^{2}}=\dfrac{4{x}^{2}-4x+4}{{x}^{2}+2x+4}=\dfrac{4({x}^{2}+2x+4)-12x-12}{{x}^{2}+2x+4}=4-12\cdot \dfrac{x+1}{{x}^{2}+2x+4}=4-12\cdot \dfrac{x+1}{(x+1)^{2}+3}=4-\dfrac{12}{x+1+\dfrac{3}{x+1}}$，
其中$x+1+\dfrac{3}{x+1}\geqslant 2\sqrt{3}$，此时$\dfrac{{b}^{2}}{{c}^{2}}\geqslant 4-2\sqrt{3}$，
当且仅当$(x+1)^{2}=3$时，即$x=\sqrt{3}-1$或$x=-\sqrt{3}-1$（舍去），即$x=\sqrt{3}-1$时取等号，
故答案为：$\sqrt{3}-1$．
解答：本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．
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