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2022年高考数学甲卷-理18<-->2022年高考数学甲卷-理20
（12分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用$X$表示乙学校的总得分，求$X$的分布列与期望．
分析：根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获胜2场或者3场的概率，可以得到甲学校获得冠军的概率；乙学校的总得分$X$的值可取0，10，20，30，分别求出$X$取上述值时的概率，可得分布列与数学期望．
解答：解：（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
| |
第一场比赛 |
第二场比赛 |
第三场比赛 |
| 甲学校获胜概率 |
0.5 |
0.4 |
0.8 |
| 乙学校获胜概率 |
0.5 |
0.6 |
0.2 |
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为：$P_{1}=0.5\times 0.4\times 0.8=0.16$，
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：$P_{2}=0.5\times 0.4\times 0.2+0.5\times 0.6\times 0.8+0.5\times 0.4\times 0.8=0.44$，
所以甲学校获得冠军的概率为：$P=P_{1}+P_{2}=0.6$；
（2）乙学校的总得分$X$的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
$P(X=0)=0.5\times 0.4\times 0.8=0.16$，
$P(X=10)=0.5\times 0.4\times 0.2+0.5\times 0.6\times 0.8+0.5\times 0.4\times 0.8=0.44$，
$P(X=20)=0.5\times 0.6\times 0.8+0.5\times 0.4\times 0.2+0.5\times 0.6\times 0.2=0.34$，
$P(X=30)=0.5\times 0.6\times 0.2=0.06$，
则$X$的分布列为：
| $X$ |
0 |
10 |
20 |
30 |
| $P$ |
0.16 |
0.44 |
0.34 |
0.06 |
$X$的期望$EX=0\times 0.16+10\times 0.44+20\times 0.34+30\times 0.06=13$．
解答：本题考查随机变量的分布列与数学期望的计算，难度不大．
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