2022年高考数学甲卷-理19

（12分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用

$X$ 表示乙学校的总得分，求

$X$ 的分布列与期望．
分析：根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获胜2场或者3场的概率，可以得到甲学校获得冠军的概率；乙学校的总得分

$X$ 的值可取0，10，20，30，分别求出

$X$ 取上述值时的概率，可得分布列与数学期望．
解答：解：（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：

甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为：

$P_{1}=0.5\times 0.4\times 0.8=0.16$ ，
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：

$P_{2}=0.5\times 0.4\times 0.2+0.5\times 0.6\times 0.8+0.5\times 0.4\times 0.8=0.44$ ，
所以甲学校获得冠军的概率为：

$P=P_{1}+P_{2}=0.6$ ；
（2）乙学校的总得分

$X$ 的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：

$P(X=0)=0.5\times 0.4\times 0.8=0.16$ ，

$P(X=10)=0.5\times 0.4\times 0.2+0.5\times 0.6\times 0.8+0.5\times 0.4\times 0.8=0.44$ ，

$P(X=20)=0.5\times 0.6\times 0.8+0.5\times 0.4\times 0.2+0.5\times 0.6\times 0.2=0.34$ ，

$P(X=30)=0.5\times 0.6\times 0.2=0.06$ ，
则

$X$ 的分布列为：

$X$	0	10	20	30
$P$	0.16	0.44	0.34	0.06

$X$ 的期望

$EX=0\times 0.16+10\times 0.44+20\times 0.34+30\times 0.06=13$ ．
解答：本题考查随机变量的分布列与数学期望的计算，难度不大．

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