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2022年高考数学甲卷-理17<-->2022年高考数学甲卷-理19
（12分）在四棱锥$P-ABCD$中，$PD\bot$底面$ABCD$，$CD//AB$，$AD=DC=CB=1$，$AB=2$，$DP=\sqrt{3}$．
（1）证明：$BD\bot PA$；
（2）求$PD$与平面$PAB$所成的角的正弦值．
分析：（1）易知$PD\bot BD$，取$AB$中点$E$，容易证明四边形$BCDE$为平行四边形，再根据长度关系可得$BD\bot AD$，进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面$PAB$的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
解答：解：（1）证明：$\because PD\bot$底面$ABCD$，$BD\subset$面$ABCD$，
$\therefore PD\bot BD$，
取$AB$中点$E$，连接$DE$，
$\because AD=DC=CB=1$，$AB=2$，
$\therefore \angle DAB=60^\circ$，又$\because AE=\dfrac{1}{2}AB=AD=1$，
$\therefore DE=1$，$\therefore DE=\dfrac{1}{2}AB$，
$\therefore \Delta ABD$为直角三角形，且$AB$为斜边，
$\therefore BD\bot AD$，
又$PD\bigcap AD=D$，$PD\subset$面$PAD$，$AD\subset$面$PAD$，
$\therefore BD\bot$面$PAD$，
又$PA\subset$面$PAD$，
$\therefore BD\bot PA$；
（2）由（1）知，$PD$，$AD$，$BD$两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
$BD=\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{3}$，
则$D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,\sqrt{3},0),P(0,0,\sqrt{3})$，
$\therefore$$\overrightarrow{PD}=(0,0,-\sqrt{3}),\overrightarrow{PA}=(1,0,-\sqrt{3}),\overrightarrow{AB}=(-1,\sqrt{3},0)$，
设平面$PAB$的一个法向量为$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{PA}=x-\sqrt{3}z=0}\\ {\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AB}=-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，则可取$\overrightarrow{n}=(\sqrt{3},1,1)$，
设$PD$与平面$PAB$所成的角为$\theta$，则$\sin \theta =\vert \cos < \overrightarrow{PD},\overrightarrow{n} > \vert =\vert \dfrac{\overrightarrow{PD}\cdot \overrightarrow{n}}{\vert \overrightarrow{PD}\vert \vert \overrightarrow{n}\vert }\vert =\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore PD$与平面$PAB$所成的角的正弦值为$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$．
解答：本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
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