2022年高考数学甲卷-理10

（5分）椭圆

$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的左顶点为

$A$ ，点

$P$ ，

$Q$ 均在

$C$ 上，且关于

$y$ 轴对称．若直线

$AP$ ，

$AQ$ 的斜率之积为

$\dfrac{1}{4}$ ，则

$C$ 的离心率为(　　)
A．

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ B．

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ C．

$\dfrac{1}{2}$ D．

$\dfrac{1}{3}$
分析：设

$P(x_{0}$ ，

$y_{0})$ ，则

$Q(-x_{0}$ ，

$y_{0})$ ，根据斜率公式结合题意可得：

$k_{AP}\cdot k_{AQ}=\dfrac{1}{4}$ ，再结合

$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，整理可得离心率．
解答：解：已知

$A(-a,0)$ ，设

$P(x_{0}$ ，

$y_{0})$ ，则

$Q(-x_{0}$ ，

$y_{0})$ ，

$k_{AP}=\dfrac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$ ，

$k_{AQ}=\dfrac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}$ ，
故

$k_{AP}\cdot k_{AQ}=\dfrac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}\cdot \dfrac{{y}_{0}}{a-{x}_{0}}=\dfrac{{y}_{0}^{2}}{a^{2}-{x}_{0}^{2}}=\dfrac{1}{4}$ ①，

$\because$

$\dfrac{{x}_{0}^{2}}{a^{2}}+\dfrac{{y}_{0}^{2}}{b^{2}}=1$ ，即

${y}_{0}^{2}=\dfrac{b^{2}(a^{2}-{x}_{0}^{2})}{a^{2}}$ ②，
②代入①整理得：

$\dfrac{b^{2}}{a^{2}}=\dfrac{1}{4}$ ，

$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ．
故选：

$A$ ．
解答：本题考查椭圆的简单几何性质，是基础题．

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