2022年高考数学甲卷-理1

（5分）若

$z=-1+\sqrt{3}i$ ，则

$\dfrac{z}{z\overline{z}-1}=($ 　　)
A．

$-1+\sqrt{3}i$ B．

$-1-\sqrt{3}i$ C．

$-\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$ D．

$-\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$
分析：由已知求得

$z\cdot \overline{z}$ ，代入

$\dfrac{z}{z\overline{z}-1}$ ，则答案可求．
解答：解：

$\because z=-1+\sqrt{3}i$ ，

$\therefore$

$z\cdot \overline{z}=\vert z{\vert }^{2}=(\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}})^{2}=4$ ，
则

$\dfrac{z}{z\overline{z}-1}=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{4-1}=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$ ．
故选：

$C$ ．
解答：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

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