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2022年高考数学甲卷-理8

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（5分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，

$\widehat{AB}$ 是以

$O$ 为圆心，

$OA$ 为半径的圆弧，

$C$ 是

$AB$ 的中点，

$D$ 在

$\widehat{AB}$ 上，

$CD\bot AB$ ．“会圆术”给出

$\widehat{AB}$ 的弧长的近似值

$s$ 的计算公式：

$s=AB+\dfrac{C{D^2}}{OA}$ ．当

$OA=2$ ，

$\angle AOB=60^\circ$ 时，

$s=($ 　　)

A．

$\dfrac{11-3\sqrt{3}}{2}$ B．

$\dfrac{11-4\sqrt{3}}{2}$ C．

$\dfrac{9-3\sqrt{3}}{2}$ D．

$\dfrac{9-4\sqrt{3}}{2}$
分析：由已知求得

$AB$ 与

$CD$ 的值，代入

$s=AB+\dfrac{C{D^2}}{OA}$ 得答案．
解答：解：

$\because OA=OB=2$ ，

$\angle AOB=60^\circ$ ，

$\therefore AB=2$ ，

$\because C$ 是

$AB$ 的中点，

$D$ 在

$\widehat{AB}$ 上，

$CD\bot AB$ ，

$\therefore$ 延长

$DC$ 可得

$O$ 在

$DC$ 上，

$CD=OD-OC=2-\sqrt{3}$ ，

$\therefore s=AB+\dfrac{C{D^2}}{OA}=2+\dfrac{(2-\sqrt{3})^{2}}{2}=2+\dfrac{7-4\sqrt{3}}{2}=\dfrac{11-4\sqrt{3}}{2}$ ．
故选：

$B$ ．
解答：本题考查扇形及其应用，考查运算求解能力，是基础题．

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