2023年上海春

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2023年高考数学上海春1（4分）已知集合

$A=\{1$ ，

$2\}$ ，

$B=\{1$ ，

$a\}$ ，且

$A=B$ ，则

$a=$ ____．
【答案详解】

2023年高考数学上海春2（4分）已知向量

$\overrightarrow{a}=(3,4)$ ，

$\overrightarrow{b}=(1,2)$ ，则

$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=$ ____．
【答案详解】

2023年高考数学上海春3（4分）不等式

$\vert x-1\vert \leqslant 2$ 的解集为：____．（结果用集合或区间表示）
【答案详解】

2023年高考数学上海春4（4分）已知圆

$C$ 的一般方程为

$x^{2}+2x+y^{2}=0$ ，则圆

$C$ 的半径为____．
【答案详解】

2023年高考数学上海春5（4分）已知事件

$A$ 的对立事件为

$\overline{A}$ ，若

$P$ （A）

$=0.5$ ，则

$P(\overline{A})=$ ____．
【答案详解】

2023年高考数学上海春6（4分）已知正实数

$a$ 、

$b$ 满足

$a+4b=1$ ，则

$ab$ 的最大值为 ____．
【答案详解】

2023年高考数学上海春7（5分）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为

$186cm$ ，最小值为

$154cm$ ，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为____．
【答案详解】

2023年高考数学上海春8（5分）设

$(1-2x)^{4}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}$ ，则

$a_{0}+a_{4}=$ ____．
【答案详解】

2023年高考数学上海春9（5分）已知函数

$f(x)=2^{-x}+1$ ，且

$g(x)=\left\{{\left.\begin{array}{l}{{{\log }_2}(x+1),x\geqslant 0}\\ {f(-x),x < 0}\end{array}\right.}\right.$ ，则方程

$g(x)=2$ 的解为　____．
【答案详解】

2023年高考数学上海春10（5分）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为____．
【答案详解】

2023年高考数学上海春11（5分）已知

$z_{1}$ ，

$z_{2}\in C$ 且

$z_{1}=i\overline{z_2}(i$ 为虚数单位），满足

$\vert z_{1}-1\vert =1$ ，则

$\vert z_{1}-z_{2}\vert$ 的取值范围为____.【答案详解】

2023年高考数学上海春12（5分）已知

$\overrightarrow{OA}$ 、

$\overrightarrow{OB}$ 、

$\overrightarrow{OC}$ 为空间中三组单位向量，且

$\overrightarrow{OA}\bot \overrightarrow{OB}$ 、

$\overrightarrow{OA}\bot \overrightarrow{OC}$ ，

$\overrightarrow{OB}$ 与

$\overrightarrow{OC}$ 夹角为

$60^\circ$ ，点

$P$ 为空间任意一点，且

$\vert \overrightarrow{OP}\vert =1$ ，满足

$\vert \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OC}\vert \leqslant \vert \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OB}\vert \leqslant \vert \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}\vert$ ，则

$\vert \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OC}\vert$ 最大值为____．
【答案详解】

2023年高考数学上海春13（4分）下列函数是偶函数的是

$($ 　　

$)$
A．

$y=\sin x$ B．

$y=\cos x$ C．

$y=x^{3}$ D．

$y=2^{x}$ 【答案详解】

2023年高考数学上海春14（4分）如图为

$2017-2021$ 年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是

$($ 　　

$)$

A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大
B．从2018年开始，进出口总额逐年增大
C．从2018年开始，进口总额逐年增大
D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小【答案详解】

2023年高考数学上海春15（5分）如图所示，在正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，点

$P$ 为边

$A_{1}C_{1}$ 上的动点，则下列直线中，始终与直线

$BP$ 异面的是

$($ 　　

$)$

A．

$DD_{1}$ B．

$AC$ C．

$AD_{1}$ D．

$B_{1}C$ 【答案详解】

2023年高考数学上海春16（5分）已知无穷数列

$\{a_{n}\}$ 的各项均为实数，

$S_{n}$ 为其前

$n$ 项和，若对任意正整数

$k > 2022$ 都有

$\vert S_{k}\vert > \vert S_{k+1}\vert$ ，则下列各项中可能成立的是

$($ 　　

$)$
A．

$a_{1}$ ，

$a_{3}$ ，

$a_{5}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{2n-1}$ ，

$\dotsb$ 为等差数到，

$a_{2}$ ，

$a_{4}$ ，

$a_{6}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{2n}$ ，

$\dotsb$ 为等比数列
B．

$a_{1}$ ，

$a_{3}$ ，

$a_{5}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{2n-1}$ ，

$\dotsb$ 为等比数列，

$a_{2}$ ，

$a_{4}$ ，

$a_{6}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{2n}$ ，

$\dotsb$ 为等差数列
C．

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$a_{3}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{2022}$ 为等差数列，

$a_{2022}$ ，

$a_{2023}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{n}$ ，

$\dotsb$ 为等比数列
D．

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$a_{3}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{2022}$ 为等比数列，

$a_{2022}$ ，

$a_{2023}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{n}$ ，

$\dotsb$ 为等差数列【答案详解】

2023年高考数学上海春17（14分）已知三棱锥

$P-ABC$ 中，

$PA\bot$ 平面

$ABC$ ，

$AB\bot AC$ ，

$PA=AB=3$ ，

$AC=4$ ，

$M$ 为

$BC$ 中点，过点

$M$ 分别作平行于平面

$PAB$ 的直线交

$AC$ 、

$PC$ 于点

$E$ ，

$F$ ．
（1）求直线

$PM$ 与平面

$ABC$ 所成角的大小；
（2）求直线

$ME$ 到平面

$PAB$ 的距离．

【答案详解】

2023年高考数学上海春18（14分）在

$\Delta ABC$ 中，角

$A$ 、

$B$ 、

$C$ 所对应的边分别为

$a$ 、

$b$ 、

$c$ ，其中

$b=2$ ．
（1）若

$A+C=120^\circ$ ，

$a=2c$ ，求边长

$c$ ；
（2）若

$A-C=15^\circ$ ，

$a=\sqrt{2}c\sin A$ ，求

$\Delta ABC$ 的面积．【答案详解】

2023年高考数学上海春19（14分）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”

$S=\dfrac{F_0}{V_0}$ ，其中

$F_{0}$ 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），

$V_{0}$ 为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为

$R$ ，高度为

$H$ ，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”

$S$ ；（结果用含

$R$ 、

$H$ 的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为

$f=\dfrac{L^2}{A}$ ，其中

$A$ 为建筑物底面面积，

$L$ 为建筑物底面周长，又定义

$T$ 为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设

$n$ 为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为

$S=\sqrt{\dfrac{f\cdot n}{T}}+\dfrac{1}{3n}$ ．当

$f=18$ ，

$T=10000$ 时，试求当该宿舍楼的层数

$n$ 为多少时，“体形系数”

$S$ 最小．【答案详解】

2023年高考数学上海春20（18分）已知椭圆

$\Gamma :\dfrac{x^2}{m^2}+\dfrac{y^2}{3}=1(m > 0$ 且

$m\ne \sqrt{3})$ ．
（1）若

$m=2$ ，求椭圆

$\Gamma$ 的离心率；
（2）设

$A_{1}$ 、

$A_{2}$ 为椭圆

$\Gamma$ 的左右顶点，椭圆

$\Gamma$ 上一点

$E$ 的纵坐标为1，且

$\overrightarrow{E{A_1}}\cdot \overrightarrow{E{A_2}}=-2$ ，求实数

$m$ 的值；
（3）过椭圆

$\Gamma$ 上一点

$P$ 作斜率为

$\sqrt{3}$ 的直线

$l$ ，若直线

$l$ 与双曲线

$\dfrac{y^2}{5{m^2}}-\dfrac{x^2}{5}=1$ 有且仅有一个公共点，求实数

$m$ 的取值范围．【答案详解】

2023年高考数学上海春21（18分）已知函数

$f(x)=ax^{3}-(a+1)x^{2}+x$ ，

$g(x)=kx+m$ （其中

$a\geqslant 0$ ，

$k$ ，

$m\in R)$ ，若任意

$x\in [0$ ，

$1]$ 均有

$f(x)\leqslant g(x)$ ，则称函数

$y=g(x)$ 是函数

$y=f(x)$ 的“控制函数”，且对所有满足条件的函数

$y=g(x)$ 在

$x$ 处取得的最小值记为

$\overline{f}(x)$ ．
（1）若

$a=2$ ，

$g(x)=x$ ，试判断函数

$y=g(x)$ 是否为函数

$y=f(x)$ 的“控制函数”，并说明理由；
（2）若

$a=0$ ，曲线

$y=f(x)$ 在

$x=\dfrac{1}{4}$ 处的切线为直线

$y=h(x)$ ，证明：函数

$y=h(x)$ 为函数

$y=f(x)$ 的“控制函数”，并求

$\overline{f}(\dfrac{1}{4})$ 的值；
（3）若曲线

$y=f(x)$ 在

$x=x_{0}$ ，

$x_{0}\in (0,1)$ 处的切线过点

$(1,0)$ ，且

$c\in [x_{0}$ ，

$1]$ ，证明：当且仅当

$c=x_{0}$ 或

$c=1$ 时，

$\overline{f}$ （c）

$=f$ （c）．【答案详解】

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