2023年高考数学上海春21（18分）已知函数$f(x)=ax^{3}-(a+1)x^{2}+x$，$g(x)=kx+m$（其中$a\geqslant 0$，$k$，$m\in R)$，若任意$x\in [0$，$1]$均有$f(x)\leqslant g(x)$，则称函数$y=g(x)$是函数$y=f(x)$的“控制函数”，且对所有满足条件的函数$y=g(x)$在$x$处取得的最小值记为$\overline{f}(x)$．
（1）若$a=2$，$g(x)=x$，试判断函数$y=g(x)$是否为函数$y=f(x)$的“控制函数”，并说明理由；
（2）若$a=0$，曲线$y=f(x)$在$x=\dfrac{1}{4}$处的切线为直线$y=h(x)$，证明：函数$y=h(x)$为函数$y=f(x)$的“控制函数”，并求$\overline{f}(\dfrac{1}{4})$的值；
（3）若曲线$y=f(x)$在$x=x_{0}$，$x_{0}\in (0,1)$处的切线过点$(1,0)$，且$c\in [x_{0}$，$1]$，证明：当且仅当$c=x_{0}$或$c=1$时，$\overline{f}$（c）$=f$（c）．【答案详解】 |
