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2023年高考数学上海春11<-->2023年高考数学上海春13
（5分）已知$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$为空间中三组单位向量，且$\overrightarrow{OA}\bot \overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OA}\bot \overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$夹角为$60^\circ$，点$P$为空间任意一点，且$\vert \overrightarrow{OP}\vert =1$，满足$\vert \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OC}\vert \leqslant \vert \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OB}\vert \leqslant \vert \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}\vert$，则$\vert \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OC}\vert$最大值为____．
分析：将问题坐标化，表示出$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$的坐标，再设$\overrightarrow{OP}=(x,y,z)$，代入条件，结合不等式的性质求解．
解：设$\overrightarrow{OA}=(0,0,1)$，$\overrightarrow{OB}=(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2},0)$，$\overrightarrow{OC}=(0,1,0)$，
$\overrightarrow{OP}=(x,y,z)$，不妨设$x$，$y$，$z > 0$，则$\vert \overrightarrow{OP}\vert =x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$，
因为$\vert \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OC}\vert \leqslant \vert \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OB}\vert \leqslant \vert \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}\vert$，
所以$y\leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}x+\dfrac{1}{2}y\leqslant z$，可得$x\geqslant \dfrac{\sqrt{3}}{3}y$，$z\geqslant y$，
所以$1={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\geqslant \dfrac{1}{3}{y}^{2}+{y}^{2}+{y}^{2}$，解得${y}^{2}\leqslant \dfrac{3}{7}$，
故$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OC}=y\leqslant \dfrac{\sqrt{21}}{7}$．
故答案为：$\dfrac{\sqrt{21}}{7}$．
点评：本题考查空间向量的坐标运算以及不等式的性质，属于中档题．
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