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2023年高考数学上海春16<-->2023年高考数学上海春18
（14分）已知三棱锥$P-ABC$中，$PA\bot$平面$ABC$，$AB\bot AC$，$PA=AB=3$，$AC=4$，$M$为$BC$中点，过点$M$分别作平行于平面$PAB$的直线交$AC$、$PC$于点$E$，$F$．
（1）求直线$PM$与平面$ABC$所成角的大小；
（2）求直线$ME$到平面$PAB$的距离．
分析：（1）连接$AM$，$PM$，$\angle PMA$为直线$PM$与平面$ABC$所成的角，在$\Delta PAM$中，求解即可；
（2）先证明$AC\bot$平面$PAB$，可得$AE$为直线$ME$到平面$PAB$的距离．进则求$AE$的长即可．
解：（1）连接$AM$，$PM$，
$\because PA\bot$平面$ABC$，
$\therefore \angle PMA$为直线$PM$与平面$ABC$所成的角，
在$\Delta PAM$中，$\because AB\bot AC$，$\therefore BC=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$，
$\because M$为$BC$中点，$\therefore AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{5}{2}$，
$\therefore \tan \angle PMA=\dfrac{6}{5}$，即直线$PM$与平面$ABC$所成角为$\arctan \dfrac{6}{5}$；
（2）由$ME//$平面$PAB$，$MF//$平面$PAB$，$ME\bigcap MF=M$，
$\therefore$平面$MEF//$平面$PAB$，$\because ME\subset$平面$MEF$，$\therefore ME//$平面$PAB$，
$\because PA\bot$平面$ABC$，$AC\subset$平面$ABC$，
$\therefore PA\bot AC$，$\because AB\bot AC$，$PA\bigcap AB=A$，$PA$，$AB\subset$平面$PAB$，
$\therefore AC\bot$平面$PAB$，$\therefore AE$为直线$ME$到平面$PAB$的距离，
$\because ME//$平面$PAB$，$ME\subset$平面$ABC$，平面$ABC\bigcap$平面$PAB=AB$，
$\therefore ME//AB$，$\because M$为$BC$中点，$\therefore E$为$AC$中点，$\therefore AE=2$，
$\therefore$直线$ME$到平面$PAB$的距离为2．
点评：本题考查直线与平面所成的角，考查直线与平面的距离的求法，属中档题．
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