2023年高考数学上海春11

（5分）已知

$z_{1}$ ，

$z_{2}\in C$ 且

$z_{1}=i\overline{z_2}(i$ 为虚数单位），满足

$\vert z_{1}-1\vert =1$ ，则

$\vert z_{1}-z_{2}\vert$ 的取值范围为____．
分析：引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．
解：设

$z_{1}-1=\cos \theta +i\sin \theta$ ，则

$z_{1}=1+\cos \theta +i\sin \theta$ ，
因为

$z_{1}=i\cdot \overline{z_2}$ ，所以

$z_{2}=\sin \theta +i(\cos \theta +1)$ ，
所以

$\vert z_{1}-z_{2}\vert =\sqrt{(\cos \theta -\sin \theta +1)^{2}+(\sin \theta -\cos \theta -1)^{2}}$

$=\sqrt{2[\sqrt{2}\sin (\theta -\dfrac{\pi }{4})-1]^{2}}=\sqrt{2}\vert \sqrt{2}\sin (\theta -\dfrac{\pi }{4})-1\vert$ ，
显然当

$\sin (\theta -\dfrac{\pi }{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 时，原式取最小值0，
当

$\sin (\theta -\dfrac{\pi }{4})=-1$ 时，原式取最大值

$2+\sqrt{2}$ ，
故

$\vert z_{1}-z_{2}\vert$ 的取值范围为

$[0$ ，

$2+\sqrt{2}]$ ．
故答案为：

$[0$ ，

$2+\sqrt{2}]$ ．
点评：本题考查复数的三角形式以及三角恒等变换，同时考查了复数的模长公式，属于中档题．

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