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2023年高考数学上海春10<-->2023年高考数学上海春12
（5分）已知$z_{1}$，$z_{2}\in C$且$z_{1}=i\overline{z_2}(i$为虚数单位），满足$\vert z_{1}-1\vert =1$，则$\vert z_{1}-z_{2}\vert$的取值范围为____．
分析：引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．
解：设$z_{1}-1=\cos \theta +i\sin \theta$，则$z_{1}=1+\cos \theta +i\sin \theta$，
因为$z_{1}=i\cdot \overline{z_2}$，所以$z_{2}=\sin \theta +i(\cos \theta +1)$，
所以$\vert z_{1}-z_{2}\vert =\sqrt{(\cos \theta -\sin \theta +1)^{2}+(\sin \theta -\cos \theta -1)^{2}}$
$=\sqrt{2[\sqrt{2}\sin (\theta -\dfrac{\pi }{4})-1]^{2}}=\sqrt{2}\vert \sqrt{2}\sin (\theta -\dfrac{\pi }{4})-1\vert$，
显然当$\sin (\theta -\dfrac{\pi }{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$时，原式取最小值0，
当$\sin (\theta -\dfrac{\pi }{4})=-1$时，原式取最大值$2+\sqrt{2}$，
故$\vert z_{1}-z_{2}\vert$的取值范围为$[0$，$2+\sqrt{2}]$．
故答案为：$[0$，$2+\sqrt{2}]$．
点评：本题考查复数的三角形式以及三角恒等变换，同时考查了复数的模长公式，属于中档题．
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