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2023年高考数学上海春17<-->2023年高考数学上海春19
（14分）在$\Delta ABC$中，角$A$、$B$、$C$所对应的边分别为$a$、$b$、$c$，其中$b=2$．
（1）若$A+C=120^\circ$，$a=2c$，求边长$c$；
（2）若$A-C=15^\circ$，$a=\sqrt{2}c\sin A$，求$\Delta ABC$的面积．
分析：（1）由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求$A$，$B$，$C$，然后结合锐角三角函数即可求解；
（2）由已知结合正弦定理先求出$\sin C$，进而可求$C$，再由正弦定理求出$a$，结合三角形面积公式可求．
解：（1）$\because A+C=120^\circ$，且$a=2c$，
$\therefore \sin A=2\sin C=2\sin (120^\circ -A)=\sqrt{3}\cos A+\sin A$，
$\therefore \cos A=0$，
$\therefore A=90^\circ$，$C=30^\circ$，$B=60^\circ$，
$\because b=2$，
$\therefore c=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$；
（2）$a=\sqrt{2}c\sin A$，
则$\sin A=\sqrt{2}\sin C\sin A$，
$\sin A > 0$，
$\therefore \sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
$\because A-C=15^\circ$，
$\therefore C$为锐角，
$\therefore C=45^\circ$，$A=60^\circ$，$B=75^\circ$，
$\therefore$$\dfrac{a}{\sin 60^\circ }=\dfrac{2}{\sin 75^\circ }=\dfrac{8}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}$，
$\therefore a=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$，
$\therefore S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}\times 2\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=3-\sqrt{3}$．
点评：本题主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
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