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2023年高考数学上海春19<-->2023年高考数学上海春21
（18分）已知椭圆$\Gamma :\dfrac{x^2}{m^2}+\dfrac{y^2}{3}=1(m > 0$且$m\ne \sqrt{3})$．
（1）若$m=2$，求椭圆$\Gamma$的离心率；
（2）设$A_{1}$、$A_{2}$为椭圆$\Gamma$的左右顶点，椭圆$\Gamma$上一点$E$的纵坐标为1，且$\overrightarrow{E{A_1}}\cdot \overrightarrow{E{A_2}}=-2$，求实数$m$的值；
（3）过椭圆$\Gamma$上一点$P$作斜率为$\sqrt{3}$的直线$l$，若直线$l$与双曲线$\dfrac{y^2}{5{m^2}}-\dfrac{x^2}{5}=1$有且仅有一个公共点，求实数$m$的取值范围．
分析：（1）由题意可得$a$，$b$，$c$，可求离心率；
（2）由已知得$A_{1}(-m,0)$，$A_{2}(m,0)$，设$E(p,1)$，由已知可得$p^{2}=\dfrac{2}{3}m^{2}$，$p^{2}-m^{2}+1=-2$，求解即可；
（3）设直线$y=\sqrt{3}x+t$，与椭圆方程联立可得$t^{2}\leqslant 3m^{2}+3$，与双曲线方程联立可得$t^{2}=5m^{2}-15$，可求$m$的取值范围．
解：（1）若$m=2$，则$a^{2}=4$，$b^{2}=3$，$\therefore a=2$，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=1$，$\therefore e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2}$；
（2）由已知得$A_{1}(-m,0)$，$A_{2}(m,0)$，设$E(p,1)$，
$\therefore$$\dfrac{{p}^{2}}{{m}^{2}}+\dfrac{1}{3}=1$，即$p^{2}=\dfrac{2}{3}m^{2}$，
$\therefore$$\overrightarrow{E{A}_{1}}=(-m-p,-1)$，$\overrightarrow{E{A}_{2}}=(m-p,-1)$，$\therefore$$\overrightarrow{E{A}_{1}}\cdot \overrightarrow{E{A}_{2}}=(-m-p$，$-1)\cdot (m-p$，$-1)=p^{2}-m^{2}+1=-2$，
$\because p^{2}=\dfrac{2}{3}m^{2}$，代入求得$m=3$；
（3）设直线$y=\sqrt{3}x+t$，联立椭圆可得$\dfrac{{x}^{2}}{{m}^{2}}+\dfrac{(\sqrt{3}x+t)^{2}}{3}=1$，
整理得$(3+3m^{2})x^{2}+2\sqrt{3}tm^{2}x+(t^{2}-3)m^{2}=0$，
由△$\geqslant 0$，$\therefore t^{2}\leqslant 3m^{2}+3$，
联立双曲线可得$\dfrac{(\sqrt{3}x+t)^{2}}{5{m}^{2}}-\dfrac{{x}^{2}}{5}=1$，整理得$(3-m^{2})x^{2}+2\sqrt{3}tx+(t^{2}-5m^{2})=0$，
由△$=0$，$t^{2}=5m^{2}-15$，
$\therefore 5m^{2}-15\leqslant 3m^{2}+3$，
$\therefore -3\leqslant m\leqslant 3$，
又$5m^{2}-15\geqslant 0$，$\therefore m\geqslant \sqrt{3}$，$\because m\ne \sqrt{3}$，
综上所述：$m\in (\sqrt{3}$，$3]$．
点评：本题考查离心率的求法，考查椭圆与双曲线的几何性质，直线与椭圆的综合，属中档题．
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