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2023年高考数学上海春16

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（5分）已知无穷数列

$\{a_{n}\}$ 的各项均为实数，

$S_{n}$ 为其前

$n$ 项和，若对任意正整数

$k > 2022$ 都有

$\vert S_{k}\vert > \vert S_{k+1}\vert$ ，则下列各项中可能成立的是

$($ 　　

$)$
A．

$a_{1}$ ，

$a_{3}$ ，

$a_{5}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{2n-1}$ ，

$\dotsb$ 为等差数到，

$a_{2}$ ，

$a_{4}$ ，

$a_{6}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{2n}$ ，

$\dotsb$ 为等比数列
B．

$a_{1}$ ，

$a_{3}$ ，

$a_{5}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{2n-1}$ ，

$\dotsb$ 为等比数列，

$a_{2}$ ，

$a_{4}$ ，

$a_{6}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{2n}$ ，

$\dotsb$ 为等差数列
C．

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$a_{3}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{2022}$ 为等差数列，

$a_{2022}$ ，

$a_{2023}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{n}$ ，

$\dotsb$ 为等比数列
D．

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$a_{3}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{2022}$ 为等比数列，

$a_{2022}$ ，

$a_{2023}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{n}$ ，

$\dotsb$ 为等差数列
答案：

$C$
分析：由对任意正整数

$k > 2022$ ，都有

$\vert S_{k}\vert > \vert S_{k+1}\vert$ ，可以知道

$a_{2022}$ ，

$a_{2033}$ ，

$a_{2024}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{n}$ 不可能为等差数列，若

$d=0$ ，

$a_{n}=0$ ，则

$\vert S_{k}\vert =\vert S_{k+1}\vert$ ，矛盾；若

$d=0$ ，

$a_{n} < 0$ ，当

$n\rightarrow +\infty$ ，

$S_{n}\rightarrow -\infty$ ，

$k$ 使得

$\vert S_{k+1}\vert > \vert S_{k}\vert$ ，矛盾；若

$d=0$ ，

$a_{n} > 0$ ，当

$n\rightarrow +\infty$ ，

$S_{n}\rightarrow +\infty$ ，必有

$k$ 使得

$\vert S_{k+1}\vert > \vert S_{k}\vert$ ，矛盾；若

$d > 0$ ，当

$n\rightarrow +\infty$ ，

$a_{n}\rightarrow +\infty$ ，

$S_{n}\rightarrow +\infty$ 必有

$k$ 使得

$\vert S_{k+1}\vert > \vert S_{k}\vert$ ，矛盾；若

$d < 0$ ，当

$n\rightarrow +\infty$ ，

$a_{n}\rightarrow -\infty$ ，

$S_{n}\rightarrow -\infty$ ，必有

$k$ 使得

$\vert S_{k+1}\vert > \vert S_{k}\vert$ ，矛盾；即可判断．
解：由对任意正整数

$k > 2022$ ，都有

$\vert S_{k}\vert > \vert S_{k+1}\vert$ ，可以知道

$a_{2022}$ ，

$a_{2033}$ ，

$a_{2024}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{n}$ 不可能为等差数列，
因为若

$d < 0$ ，当

$n\rightarrow +\infty$ ，

$an\rightarrow -\infty$ ，

$Sn\rightarrow -\infty$ ，必有

$k$ 使得

$\vert Sk+1\vert > \vert Sk\vert$ ，矛盾；若

$d=0$ ，

$a_{n}=0$ ，则

$\vert S_{k}\vert =\vert S_{k+1}\vert$ ，矛盾；
若

$d=0$ ，

$a_{n} < 0$ ，当

$n\rightarrow +\infty$ ，

$S_{n}\rightarrow -\infty$ ，

$k$ 使得

$\vert S_{k+1}\vert > \vert S_{k}\vert$ ，矛盾；若

$d=0$ ，

$a_{n} > 0$ ，当

$n\rightarrow +\infty$ ，

$S_{n}\rightarrow +\infty$ ，必有

$k$ 使得

$\vert S_{k+1}\vert > \vert S_{k}\vert$ ，矛盾；
若

$d > 0$ ，当

$n\rightarrow +\infty$ ，

$a_{n}\rightarrow +\infty$ ，

$S_{n}\rightarrow +\infty$ 必有

$k$ 使得

$\vert S_{k+1}\vert > \vert S_{k}\vert$ ，矛盾；
所以选项

$B$ 中的

$a_{2}$ ，

$a_{4}$ ，

$a_{6}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{2n}$ 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项

$D$ 中的

$a_{2022}$ ，

$a_{2023}$ ，

$a_{2024}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{n}$ 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项

$A$ 中的

$a_{1}$ ，

$a_{3}$ ，

$a_{5}$ ，

$\dotsb$ ，

$a_{2n-1}$ 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
事实上，只需取

$a_1=a_2=\cdots =a_{2022}=-1,a_n=(\dfrac{1}{2})^n,n\geqslant 2023,n\in N$ 即可．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，属于中档题．

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