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2023年高考数学上海春15<-->2023年高考数学上海春17
（5分）已知无穷数列$\{a_{n}\}$的各项均为实数，$S_{n}$为其前$n$项和，若对任意正整数$k > 2022$都有$\vert S_{k}\vert > \vert S_{k+1}\vert$，则下列各项中可能成立的是$($ $)$
A．$a_{1}$，$a_{3}$，$a_{5}$，$\dotsb$，$a_{2n-1}$，$\dotsb$为等差数到，$a_{2}$，$a_{4}$，$a_{6}$，$\dotsb$，$a_{2n}$，$\dotsb$为等比数列
B．$a_{1}$，$a_{3}$，$a_{5}$，$\dotsb$，$a_{2n-1}$，$\dotsb$为等比数列，$a_{2}$，$a_{4}$，$a_{6}$，$\dotsb$，$a_{2n}$，$\dotsb$为等差数列
C．$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$\dotsb$，$a_{2022}$为等差数列，$a_{2022}$，$a_{2023}$，$\dotsb$，$a_{n}$，$\dotsb$为等比数列
D．$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$\dotsb$，$a_{2022}$为等比数列，$a_{2022}$，$a_{2023}$，$\dotsb$，$a_{n}$，$\dotsb$为等差数列
答案：$C$
分析：由对任意正整数$k > 2022$，都有$\vert S_{k}\vert > \vert S_{k+1}\vert$，可以知道$a_{2022}$，$a_{2033}$，$a_{2024}$，$\dotsb$，$a_{n}$不可能为等差数列，若$d=0$，$a_{n}=0$，则$\vert S_{k}\vert =\vert S_{k+1}\vert$，矛盾；若$d=0$，$a_{n} < 0$，当$n\rightarrow +\infty$，$S_{n}\rightarrow -\infty$，$k$使得$\vert S_{k+1}\vert > \vert S_{k}\vert$，矛盾；若$d=0$，$a_{n} > 0$，当$n\rightarrow +\infty$，$S_{n}\rightarrow +\infty$，必有$k$使得$\vert S_{k+1}\vert > \vert S_{k}\vert$，矛盾；若$d > 0$，当$n\rightarrow +\infty$，$a_{n}\rightarrow +\infty$，$S_{n}\rightarrow +\infty$必有$k$使得$\vert S_{k+1}\vert > \vert S_{k}\vert$，矛盾；若$d < 0$，当$n\rightarrow +\infty$，$a_{n}\rightarrow -\infty$，$S_{n}\rightarrow -\infty$，必有$k$使得$\vert S_{k+1}\vert > \vert S_{k}\vert$，矛盾；即可判断．
解：由对任意正整数$k > 2022$，都有$\vert S_{k}\vert > \vert S_{k+1}\vert$，可以知道$a_{2022}$，$a_{2033}$，$a_{2024}$，$\dotsb$，$a_{n}$不可能为等差数列，
因为若$d < 0$，当$n\rightarrow +\infty$，$an\rightarrow -\infty$，$Sn\rightarrow -\infty$，必有$k$使得$\vert Sk+1\vert > \vert Sk\vert$，矛盾；若$d=0$，$a_{n}=0$，则$\vert S_{k}\vert =\vert S_{k+1}\vert$，矛盾；
若$d=0$，$a_{n} < 0$，当$n\rightarrow +\infty$，$S_{n}\rightarrow -\infty$，$k$使得$\vert S_{k+1}\vert > \vert S_{k}\vert$，矛盾；若$d=0$，$a_{n} > 0$，当$n\rightarrow +\infty$，$S_{n}\rightarrow +\infty$，必有$k$使得$\vert S_{k+1}\vert > \vert S_{k}\vert$，矛盾；
若$d > 0$，当$n\rightarrow +\infty$，$a_{n}\rightarrow +\infty$，$S_{n}\rightarrow +\infty$必有$k$使得$\vert S_{k+1}\vert > \vert S_{k}\vert$，矛盾；
所以选项$B$中的$a_{2}$，$a_{4}$，$a_{6}$，$\dotsb$，$a_{2n}$为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项$D$中的$a_{2022}$，$a_{2023}$，$a_{2024}$，$\dotsb$，$a_{n}$为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
选项$A$中的$a_{1}$，$a_{3}$，$a_{5}$，$\dotsb$，$a_{2n-1}$为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；
事实上，只需取$a_1=a_2=\cdots =a_{2022}=-1,a_n=(\dfrac{1}{2})^n,n\geqslant 2023,n\in N$即可．
故选：$C$．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，属于中档题．
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