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2023年高考数学上海春18<-->2023年高考数学上海春20
（14分）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” $S=\dfrac{F_0}{V_0}$，其中$F_{0}$为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），$V_{0}$为建筑物的体积（单位：立方米）．
（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为$R$，高度为$H$，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数” $S$；（结果用含$R$、$H$的代数式表示）
（2）定义建筑物的“形状因子”为$f=\dfrac{L^2}{A}$，其中$A$为建筑物底面面积，$L$为建筑物底面周长，又定义$T$为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设$n$为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为$S=\sqrt{\dfrac{f\cdot n}{T}}+\dfrac{1}{3n}$．当$f=18$，$T=10000$时，试求当该宿舍楼的层数$n$为多少时，“体形系数” $S$最小．
分析：（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中$S$的定义求解即可；
（2）利用导函数求$S$的单调性，即可求出$S$最小时$n$的值．
解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得：
${F}_{0}=2\pi RH+\pi R^{2}\cdot {V}_{0}=\pi R^{2}H$，
所以$S=\dfrac{{F}_{0}}{{V}_{0}}=\dfrac{\pi R(2H+R)}{\pi R^{2}H}=\dfrac{2H+R}{HR}$．
（2）由题意可得$S=\sqrt{\dfrac{18n}{10000}}+\dfrac{1}{3n}=\dfrac{3\sqrt{2n}}{100}+\dfrac{1}{3n}$，$n\in N^{*}$，
所以$S\prime =\dfrac{3\sqrt{2}}{200\sqrt{n}}-\dfrac{1}{3{n}^{2}}=\dfrac{9\sqrt{2}{n}^{\dfrac{3}{2}}-200}{600{n}^{2}}$，
令$S\prime =0$，解得$n=\sqrt[3]{\dfrac{20000}{81}}\approx 6.27$，
所以$S$在$[1$，$6.27]$单调递减，在$[6.27$，$+\infty )$单调递增，
所以$S$的最小值在$n=6$或7取得，
当$n=6$时，$S=\dfrac{3\sqrt{2\times 6}}{100}+\dfrac{1}{3\times 6}\approx 0.31$，
当$n=7$时，$S=\dfrac{3\sqrt{2\times 7}}{100}+\dfrac{1}{3\times 7}\approx 0.16$，
所以在$n=6$时，该建筑体$S$最小．
点评：本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．
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