2022年上海春

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2022年高考数学上海春1（4分）已知

$z=2+i$ （其中

$i$ 为虚数单位），则

$\overline{z}=$ ____．
【答案详解】

2022年高考数学上海春2（4分）已知集合

$A=(-1,2)$ ，集合

$B=(1,3)$ ，则

$A\bigcap B=$ ____．【答案详解】

2022年高考数学上海春3（4分）不等式

$\dfrac{x-1}{x} < 0$ 的解集为____．
【答案详解】

2022年高考数学上海春4（4分）若

$\tan \alpha =3$ ，则

$\tan (\alpha +\dfrac{\pi }{4})=$ ____．【答案详解】

2022年高考数学上海春5（4分）设函数

$f(x)=x^{3}$ 的反函数为

$f^{-1}(x)$ ，则

$f^{-1}(27)=$ ____．【答案详解】

2022年高考数学上海春6（4分）在

$(x^{3}+\dfrac{1}{x})^{12}$ 的展开式中，则含

$\dfrac{1}{x^4}$ 项的系数为　____．
【答案详解】

2022年高考数学上海春7（5分）若关于

$x$ ，

$y$ 的方程组

$\left\{{\left.\begin{array}{l}{x+my=2}\\ {mx+16y=8}\end{array}\right.}\right.$ 有无穷多解，则实数

$m$ 的值为____．【答案详解】

2022年高考数学上海春8（5分）已知在

$\Delta ABC$ 中，

$\angle A=\dfrac{\pi }{3}$ ，

$AB=2$ ，

$AC=3$ ，则

$\Delta ABC$ 的外接圆半径为 ____．【答案详解】

2022年高考数学上海春9（5分）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 ____.（用数字作答）【答案详解】

2022年高考数学上海春10（5分）在

$\Delta ABC$ 中，

$\angle A=90^\circ$ ，

$AB=AC=2$ ，点

$M$ 为边

$AB$ 的中点，点

$P$ 在边

$BC$ 上，则

$\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{CP}$ 的最小值为____．
【答案详解】

2022年高考数学上海春11（5分）已知

$P_{1}(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$P_{2}(x_{2}$ ，

$y_{2})$ 两点均在双曲线

$\Gamma :\dfrac{x^2}{a^2}-y^{2}=1(a > 0)$ 的右支上，若

$x_{1}x_{2} > y_{1}y_{2}$ 恒成立，则实数

$a$ 的取值范围为____．【答案详解】

2022年高考数学上海春12（5分）已知函数

$y=f(x)$ 为定义域为

$R$ 的奇函数，其图像关于

$x=1$ 对称，且当

$x\in (0$ ，

$1]$ 时，

$f(x)=\ln x$ ，若将方程

$f(x)=x+1$ 的正实数根从小到大依次记为

$x_{1}$ ，

$x_{2}$ ，

$x_{3}$ ，

$\ldots$ ，

$x_{n}$ ，则

$\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow \infty }(x_{n+1}-x_{n})=$ ____．【答案详解】

2022年高考数学上海春13（5分）下列函数定义域为

$R$ 的是(　　)
A．

$y={x}^{-\dfrac{1}{2}}$ B．

$y=x^{-1}$ C．

$y={x}^{\dfrac{1}{3}}$ D．

$y={x}^{\dfrac{1}{2}}$ 【答案详解】

2022年高考数学上海春14（5分）若

$a > b > c > d$ ，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．

$a+d > b+c$ B．

$a+c > b+d$ C．

$ac > bd$ D．

$ad > bc$ 【答案详解】

2022年高考数学上海春15（5分）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为(　　)

A．0 B．2 C．4 D．12【答案详解】

2022年高考数学上海春16（5分）已知等比数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和为

$S_{n}$ ，前

$n$ 项积为

$T_{n}$ ，则下列选项判断正确的是(　　)
A．若

$S_{2022} > S_{2021}$ ，则数列

$\{a_{n}\}$ 是递增数列
B．若

$T_{2022} > T_{2021}$ ，则数列

$\{a_{n}\}$ 是递增数列
C．若数列

$\{S_{n}\}$ 是递增数列，则

$a_{2022}\geqslant a_{2021}$
D．若数列

$\{T_{n}\}$ 是递增数列，则

$a_{2022}\geqslant a_{2021}$ 【答案详解】

2022年高考数学上海春17（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为

$O$ 、

$O_{1}$ ，

$AA_{1}$ 为圆柱的母线，底面半径长为1．
（1）若

$AA_{1}=4$ ，

$M$ 为

$AA_{1}$ 的中点，求直线

$MO_{1}$ 与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）若圆柱过

$OO_{1}$ 的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．

【答案详解】

2022年高考数学上海春18（14分）已知在数列

$\{a_{n}\}$ 中，

$a_{2}=1$ ，其前

$n$ 项和为

$S_{n}$ ．
（1）若

$\{a_{n}\}$ 是等比数列，

$S_{2}=3$ ，求

$\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow \infty }S_{n}$ ；
（2）若

$\{a_{n}\}$ 是等差数列，

$S_{2n}\geqslant n$ ，求其公差

$d$ 的取值范围．【答案详解】

2022年高考数学上海春19（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块

$ABCD$ ，

$AB=30m$ ，

$AD=15m$ ．为保护

$D$ 处的一棵古树，有关部门划定了以

$D$ 为圆心、

$DA$ 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为

$AB$ 边上的点

$E$ ，出线口为

$CD$ 边上的点

$F$ ，施工要求

$EF$ 与封闭区边界相切，

$EF$ 右侧的四边形地块

$BCFE$ 将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到

$0.1m$ ，计算面积精确到

$0.01m^{2})$
（1）若

$\angle ADE=20^\circ$ ，求

$EF$ 的长；
（2）当入线口

$E$ 在

$AB$ 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

【答案详解】

2022年高考数学上海春20（16分）已知椭圆

$\Gamma :\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+y^{2}=1(a > 1)$ ，

$A$ 、

$B$ 两点分别为

$\Gamma$ 的左顶点、下顶点，

$C$ 、

$D$ 两点均在直线

$l:x=a$ 上，且

$C$ 在第一象限．
（1）设

$F$ 是椭圆

$\Gamma$ 的右焦点，且

$\angle AFB=\dfrac{\pi }{6}$ ，求

$\Gamma$ 的标准方程；
（2）若

$C$ 、

$D$ 两点纵坐标分别为2、1，请判断直线

$AD$ 与直线

$BC$ 的交点是否在椭圆

$\Gamma$ 上，并说明理由；
（3）设直线

$AD$ 、

$BC$ 分别交椭圆

$\Gamma$ 于点

$P$ 、点

$Q$ ，若

$P$ 、

$Q$ 关于原点对称，求

$\vert CD\vert$ 的最小值．【答案详解】

2022年高考数学上海春21（18分）已知函数

$f(x)$ 的定义域为

$R$ ，现有两种对

$f(x)$ 变换的操作：

$\varphi$ 变换：

$f(x)-f(x-t)$ ；

$\omega$ 变换：

$\vert f(x+t)-f(x)\vert$ ，其中

$t$ 为大于0的常数．
（1）设

$f(x)=2^{x}$ ，

$t=1$ ，

$g(x)$ 为

$f(x)$ 做

$\varphi$ 变换后的结果，解方程：

$g(x)=2$ ；
（2）设

$f(x)=x^{2}$ ，

$h(x)$ 为

$f(x)$ 做

$\omega$ 变换后的结果，解不等式：

$f(x)\geqslant h(x)$ ；
（3）设

$f(x)$ 在

$(-\infty ,0)$ 上单调递增，

$f(x)$ 先做

$\varphi$ 变换后得到

$u(x)$ ，

$u(x)$ 再做

$\omega$ 变换后得到

$h_{1}(x)$ ；

$f(x)$ 先做

$\omega$ 变换后得到

$v(x)$ ，

$v(x)$ 再做

$\varphi$ 变换后得到

$h_{2}(x)$ ．若

$h_{1}(x)=h_{2}(x)$ 恒成立，证明：函数

$f(x)$ 在

$R$ 上单调递增．【答案详解】

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