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2022年高考数学上海春20<-->返回列表
（18分）已知函数$f(x)$的定义域为$R$，现有两种对$f(x)$变换的操作：$\varphi$变换：$f(x)-f(x-t)$；$\omega$变换：$\vert f(x+t)-f(x)\vert$，其中$t$为大于0的常数．
（1）设$f(x)=2^{x}$，$t=1$，$g(x)$为$f(x)$做$\varphi$变换后的结果，解方程：$g(x)=2$；
（2）设$f(x)=x^{2}$，$h(x)$为$f(x)$做$\omega$变换后的结果，解不等式：$f(x)\geqslant h(x)$；
（3）设$f(x)$在$(-\infty ,0)$上单调递增，$f(x)$先做$\varphi$变换后得到$u(x)$，$u(x)$再做$\omega$变换后得到$h_{1}(x)$；$f(x)$先做$\omega$变换后得到$v(x)$，$v(x)$再做$\varphi$变换后得到$h_{2}(x)$．若$h_{1}(x)=h_{2}(x)$恒成立，证明：函数$f(x)$在$R$上单调递增．
分析：（1）推导出$g(x)=f(x)-f(x-1)=2^{x}-2^{x-1}=2^{x-1}=2$，由此能求出$x$．
（2）推导出$x^{2}\geqslant \vert (x+t)^{2}-x^{2}\vert =\vert 2tx+t^{2}\vert$，当$x\leqslant -\dfrac{t}{2}$时，$f(x)\geqslant h(x)$恒成立；当$x > -\dfrac{t}{2}$时，$2tx+t^{2}\leqslant x^{2}$，由此能求出$f(x)\geqslant h(x)$的解集．
（3）先求出$u(x)=f(x)-f(x-t)$，从而$h_{1}(x)=\vert f(x+t)-f(x)-[f(x)-f(x-t)]\vert$，先求出$v(x)=\vert f(x+t)-f(x)\vert$，从而$h_{2}(x)=\vert f(x+t)-f(x)\vert -\vert f(x)-f(x-t)\vert$，由$h_{1}(x)=h_{2}(x)$，得$\vert f(x+t)-f(x)-[f(x)-f(x-t)]\vert =\vert f(x+t)-f(x)\vert -\vert f(x)-f(x-t)\vert$，再由$f(x)$在$(-\infty ,0)$上单调递增，能证明函数$f(x)$在$R$上单调递增．
解：（1）$\because f(x)=2^{x}$，$t=1$，$g(x)$为$f(x)$做$\varphi$变换后的结果，$g(x)=2$，
$\therefore g(x)=f(x)-f(x-1)=2^{x}-2^{x-1}=2^{x-1}=2$，
解得$x=2$．
（2）$\because f(x)=x^{2}$，$h(x)$为$f(x)$做$\omega$变换后的结果，$f(x)\geqslant h(x)$，
$\therefore x^{2}\geqslant \vert (x+t)^{2}-x^{2}\vert =\vert 2tx+t^{2}\vert$，
当$x\leqslant -\dfrac{t}{2}$时，$f(x)\geqslant h(x)$恒成立；
当$x > -\dfrac{t}{2}$时，$2tx+t^{2}\leqslant x^{2}$，
解得$x\geqslant (1+\sqrt{2})t$，或$x\leqslant (1-\sqrt{2})t$，
综上，不等式：$f(x)\geqslant h(x)$的解集为$(-\infty$，$(1-\sqrt{2})t]\bigcup{[}(1+\sqrt{2})t$，$+\infty )$．
（3）证明：$f(x)$先做$\varphi$变换后得到$u(x)$，$u(x)$再做$\omega$变换后得到$h_{1}(x)$，
$\therefore u(x)=f(x)-f(x-t)$，$h_{1}(x)=\vert f(x+t)-f(x)-[f(x)-f(x-t)]\vert$，
$f(x)$先做$\omega$变换后得到$v(x)$，$v(x)$再做$\varphi$变换后得到$h_{2}(x)$，
$\therefore v(x)=\vert f(x+t)-f(x)\vert$，$h_{2}(x)=\vert f(x+t)-f(x)\vert -\vert f(x)-f(x-t)\vert$，
$\because h_{1}(x)=h_{2}(x)$，$f(x)$在$(-\infty ,0)$上单调递增，
$\therefore \vert f(x+t)-f(x)-[f(x)-f(x-t)]\vert =\vert f(x+t)-f(x)\vert -\vert f(x)-f(x-t)\vert$，
$\because t > 0$，$\therefore$$\left\{\begin{array}{l}{f(x+t)-f(t) > f(t)-f(t-1)}\\ {f(x+t)-f(x) > 0}\\ {f(x) > f(x-t)}\end{array}\right.$，
$\therefore$函数$f(x)$在$R$上单调递增．
点评：本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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