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2022年高考数学上海春21

(18分)已知函数$f(x)$的定义域为$R$,现有两种对$f(x)$变换的操作:$\varphi$变换:$f(x)-f(x-t)$;$\omega$变换:$\vert f(x+t)-f(x)\vert$,其中$t$为大于0的常数.
(1)设$f(x)=2^{x}$,$t=1$,$g(x)$为$f(x)$做$\varphi$变换后的结果,解方程:$g(x)=2$;
(2)设$f(x)=x^{2}$,$h(x)$为$f(x)$做$\omega$变换后的结果,解不等式:$f(x)\geqslant h(x)$;
(3)设$f(x)$在$(-\infty ,0)$上单调递增,$f(x)$先做$\varphi$变换后得到$u(x)$,$u(x)$再做$\omega$变换后得到$h_{1}(x)$;$f(x)$先做$\omega$变换后得到$v(x)$,$v(x)$再做$\varphi$变换后得到$h_{2}(x)$.若$h_{1}(x)=h_{2}(x)$恒成立,证明:函数$f(x)$在$R$上单调递增.
分析:(1)推导出$g(x)=f(x)-f(x-1)=2^{x}-2^{x-1}=2^{x-1}=2$,由此能求出$x$.
(2)推导出$x^{2}\geqslant \vert (x+t)^{2}-x^{2}\vert =\vert 2tx+t^{2}\vert$,当$x\leqslant -\dfrac{t}{2}$时,$f(x)\geqslant h(x)$恒成立;当$x > -\dfrac{t}{2}$时,$2tx+t^{2}\leqslant x^{2}$,由此能求出$f(x)\geqslant h(x)$的解集.
(3)先求出$u(x)=f(x)-f(x-t)$,从而$h_{1}(x)=\vert f(x+t)-f(x)-[f(x)-f(x-t)]\vert$,先求出$v(x)=\vert f(x+t)-f(x)\vert$,从而$h_{2}(x)=\vert f(x+t)-f(x)\vert -\vert f(x)-f(x-t)\vert$,由$h_{1}(x)=h_{2}(x)$,得$\vert f(x+t)-f(x)-[f(x)-f(x-t)]\vert =\vert f(x+t)-f(x)\vert -\vert f(x)-f(x-t)\vert$,再由$f(x)$在$(-\infty ,0)$上单调递增,能证明函数$f(x)$在$R$上单调递增.
解:(1)$\because f(x)=2^{x}$,$t=1$,$g(x)$为$f(x)$做$\varphi$变换后的结果,$g(x)=2$,
$\therefore g(x)=f(x)-f(x-1)=2^{x}-2^{x-1}=2^{x-1}=2$,
解得$x=2$.
(2)$\because f(x)=x^{2}$,$h(x)$为$f(x)$做$\omega$变换后的结果,$f(x)\geqslant h(x)$,
$\therefore x^{2}\geqslant \vert (x+t)^{2}-x^{2}\vert =\vert 2tx+t^{2}\vert$,
当$x\leqslant -\dfrac{t}{2}$时,$f(x)\geqslant h(x)$恒成立;
当$x > -\dfrac{t}{2}$时,$2tx+t^{2}\leqslant x^{2}$,
解得$x\geqslant (1+\sqrt{2})t$,或$x\leqslant (1-\sqrt{2})t$,
综上,不等式:$f(x)\geqslant h(x)$的解集为$(-\infty$,$(1-\sqrt{2})t]\bigcup{[}(1+\sqrt{2})t$,$+\infty )$.
(3)证明:$f(x)$先做$\varphi$变换后得到$u(x)$,$u(x)$再做$\omega$变换后得到$h_{1}(x)$,
$\therefore u(x)=f(x)-f(x-t)$,$h_{1}(x)=\vert f(x+t)-f(x)-[f(x)-f(x-t)]\vert$,
$f(x)$先做$\omega$变换后得到$v(x)$,$v(x)$再做$\varphi$变换后得到$h_{2}(x)$,
$\therefore v(x)=\vert f(x+t)-f(x)\vert$,$h_{2}(x)=\vert f(x+t)-f(x)\vert -\vert f(x)-f(x-t)\vert$,
$\because h_{1}(x)=h_{2}(x)$,$f(x)$在$(-\infty ,0)$上单调递增,
$\therefore \vert f(x+t)-f(x)-[f(x)-f(x-t)]\vert =\vert f(x+t)-f(x)\vert -\vert f(x)-f(x-t)\vert$,
$\because t > 0$,$\therefore$$\left\{\begin{array}{l}{f(x+t)-f(t) > f(t)-f(t-1)}\\ {f(x+t)-f(x) > 0}\\ {f(x) > f(x-t)}\end{array}\right.$,
$\therefore$函数$f(x)$在$R$上单调递增.
点评:本题考查方程、不等式的解的求法,考查函数是增函数的证明,考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
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