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2022年高考数学上海春20

(16分)已知椭圆$\Gamma :\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+y^{2}=1(a > 1)$,$A$、$B$两点分别为$\Gamma$的左顶点、下顶点,$C$、$D$两点均在直线$l:x=a$上,且$C$在第一象限.
(1)设$F$是椭圆$\Gamma$的右焦点,且$\angle AFB=\dfrac{\pi }{6}$,求$\Gamma$的标准方程;
(2)若$C$、$D$两点纵坐标分别为2、1,请判断直线$AD$与直线$BC$的交点是否在椭圆$\Gamma$上,并说明理由;
(3)设直线$AD$、$BC$分别交椭圆$\Gamma$于点$P$、点$Q$,若$P$、$Q$关于原点对称,求$\vert CD\vert$的最小值.
分析:(1)根据条件可得$\tan \angle AFB=\dfrac{1}{c}$,解出$c$,利用$a2=b2+c2$,求得$a$,即可求得答案;
(2)分别表示出此时直线$BC$、直线$AD$的方程,求出其交点,验证即可;
(3)设$P(a\cos \theta ,\sin \theta )$,$Q(-a\cos \theta ,-\sin \theta )$,表示出直线$BP$、直线$AQ$方程,解出$C$、$D$坐标,表示出$\vert CD\vert$,再利用基本不等式即可求出答案.
解:(1)由题可得$B(0,-1)$,$F(c,0)$,
因为$\angle AFB=\dfrac{\pi }{6}$,所以$\tan \angle AFB=\dfrac{b}{c}=\dfrac{1}{c}=\tan \dfrac{\pi }{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,解得$c=\sqrt{3}$,
所以$a2=1+(\sqrt{3})2=4$,故$\Gamma$的标准方程为$\dfrac{{x}^{2}}{4}+y2=1$;
(2)直线$AD$与直线$BC$的交点在椭圆上,
由题可得此时$A(-a,0)$,$B(0,-1)$,$C(a,2)$,$D(a,1)$,
则直线$BC:y=\dfrac{3}{a}x-1$,直线$AD:y=\dfrac{1}{2a}x+\dfrac{1}{2}$,交点为$(\dfrac{3a}{5}$,$\dfrac{4}{5})$,满足$\dfrac{(\dfrac{3a}{5})^{2}}{{a}^{2}}+(\dfrac{4}{5})^{2}=1$,
故直线$AD$与直线$BC$的交点在椭圆上;
(3)$B(0,-1)$,$P(a\cos \theta ,\sin \theta )$,则直线$BP:y=\dfrac{\sin \theta +1}{a\cos \theta }x-1$,所以$C(a,\dfrac{\sin \theta +1}{\cos \theta }-1)$,
$A(-a,0)$,$Q(-a\cos \theta ,-\sin \theta )$,则直线$AQ:y=\dfrac{\sin \theta }{a\cos \theta -a}(x+a)$,所以$D(a,\dfrac{2\sin \theta }{\cos \theta -1})$,
所以$\vert CD\vert =\dfrac{\sin \theta +1}{\cos \theta }-1-\dfrac{2\sin \theta }{\cos \theta -1}=\dfrac{2\sin \dfrac{\theta }{2}\cos \dfrac{\theta }{2}+\sin^{2}\dfrac{\theta }{2}+\cos^{2}\dfrac{\theta }{2}}{\cos^{2}\dfrac{\theta }{2}-\sin^{2}\dfrac{\theta }{2}}-\dfrac{4\sin \dfrac{\theta }{2}\cos \dfrac{\theta }{2}}{-2\sin^{2}\dfrac{\theta }{2}}-1$,
设$\tan \dfrac{\theta }{2}=t$,则$\vert CD\vert =2(\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{t})-2$,
因为$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geqslant \dfrac{4}{a+b}$,所以$\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{t}\geqslant \dfrac{4}{1-t+t}=4$,
则$\vert CD\vert \geqslant 6$,即$\vert CD\vert$的最小值为6.
点评:本题考查直线与椭圆的综合,涉及椭圆方程的求解,直线交点求解,基本不等式的应用,属于中档题.
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