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2022年高考数学上海春18<-->2022年高考数学上海春20
（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块$ABCD$，$AB=30m$，$AD=15m$．为保护$D$处的一棵古树，有关部门划定了以$D$为圆心、$DA$为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为$AB$边上的点$E$，出线口为$CD$边上的点$F$，施工要求$EF$与封闭区边界相切，$EF$右侧的四边形地块$BCFE$将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到$0.1m$，计算面积精确到$0.01m^{2})$
（1）若$\angle ADE=20^\circ$，求$EF$的长；
（2）当入线口$E$在$AB$上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
分析：（1）作$DH\bot EF$，然后结合锐角三角函数定义表示出$EF$，
（2）设$\angle ADE=\theta$，结合锐角三角函数定义可表示$AE$，$FH$，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求．
解：（1）作$DH\bot EF$，垂足为$H$，
则$EF=EH+HF=15\tan 20^\circ +15\tan 50^\circ \approx 23.3m$；
（2）设$\angle ADE=\theta$，则$AE=15\tan \theta$，$FH=15\tan (90^\circ -2\theta )$，
${{S}_{ADFE}}=2{{S}_{\Delta ADE}}+{{S}_{\Delta DFH}}=2\times \dfrac{1}{2}\times 15\times 15\tan\theta +\dfrac{1}{2}\times 15\times 15\tan\left( 90{}^\circ -2\theta \right)$，
$=\dfrac{15}{2}(30\tan \theta +15\cot 2\theta )=\dfrac{15}{2}(30\tan \theta +15\times \dfrac{1+\tan^{2}\theta }{2\tan \theta })=\dfrac{225}{4}(3\tan \theta +\dfrac{1}{\tan \theta })\geqslant \dfrac{225\sqrt{3}}{3}$，
当且仅当$3\tan \theta =\dfrac{1}{\tan \theta }$，即$\tan \theta =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$时取等号，此时$AE=15\tan \theta =5\sqrt{3}$，最大面积为$450-\dfrac{225\sqrt{3}}{2}\approx 255.14m^{2}$．
点评：本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．
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