三、命题趋势
    从上表可以看出，近几年本章考查呈现以下特点：
    1、题型和题量：三种题型(选择、填空、解答)都有，至少有4道题，一般3道客观题，2道解答题，分值30分以上，解答题中的一道往往与导数等综合．
    2、知识点考查：
    (1)映射与函数：以考查概念与运算为主，部分涉及新定义运算；
    (2)定义域、值域、解析式是考查的重点，而且较稳定，有时结合其他知识点(以本部分内容为背景)，分段函数较多、花样翻新；
    (3)函数单调性在历年考试中久考不衰，且比例有上升趋势，和导数联系较多；
    (4)函数的奇偶性主要和单调性、不等式、最值、三角函数等综合，与周期、对称性、方程等抽象函数问题联系多；
    (5)反函数出现在填空、选择中，考反函数概念运算可能性大，若出现在解答题中，则必定与单调性、奇偶性、不等式、导数等知识综合，难度较大；
    (6)二次函数问题是每年的必考题，一方面直接考查二次函数，另一方面是利用二次函数的性质解题，三个“二次”问题(即二次函数、二次方程、二次不等式)是函数考试题中永恒的主题；
    (7)指数函数与对数函数以基本概念、性质为主设计试题，考查集中于指数、对数的定义域、值域、单调性和运算，选择、填空题属中等难度，若解答题涉及到指、对数函数，往往难度会上升；
    (8)函数的图象每年必考，体现“形是数的直观反映，数是形的抽象概括”，是数学思想方法中“数形结合”思想的最直接的表现形式；尤其是函数`y=x+a/n(a＞0)`的图象和性质，从1997年全国高考到2006年的试题，从未间断过；
    (9)函数应用题与综合应用题是最能体现考生函数水平的试题：一次、二次函数、`y=x+a/n(a＞0)`型、指数、对数型与现实生活中的SARS、禽流感等结合，必能产生新情景试题，是考查考生建模、应试能力的重点题型；而数列、不等式、向量、导数等众多知识点的交汇已成为函数综合应用中的典型问题．
    3、难度与创新：函数作为贯穿整个高中学段的轴线，使其在高考中占据了举足轻重的地位，难度基本稳定在中等或稍偏上，但其特殊的地位，使函数的考查创新题型不断涌现，诸如分段函数、抽象函数、周期函数、凹凸性与定比分点结合、与导数结合、新定义题型等不一而足．
    4、应用题：有诸多省市2006年试题涉及应用题，应用题仍为备考中应高度重视的重点对象．
    四、复习建议
    函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以函数知识在高考中占有极其重要的地位．试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力，知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考中考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主要知识．所以，复习中力争做到：
    1、定位准确
    (1)深刻理解函数的有关概念，掌握对应法则、图象等有关性质．
    (2)理解掌握函数的单调性和奇偶性的概念，并掌握基本的判定、证明方法，能利用导数等工具研究函数的单调性(周期性)等性质．
    (3)掌握反函数的概念，明确反函数的意义，求反函数的步骤与方法，明确求函数定义域(值域)、解析式的基本方法．
    (4)掌握指数函数和对数函数的性质、图象、运算，注意初等函数(包括二次函数)的应用，注意数学模型的建立方法．
    2、明确命题趋势
    函数的基础地位决定了函数试题较多，高、中、低档题目全有，题型齐全，重难点突出，创新容易，与其他知识块联系较多，像函数的凹凸性、分段函数、周期函数、新定义新情景题层出不穷．复习中应注意捕捉此类信息，注重新题训练，防止新颖考题呈现于面前而无从下手的情形出现．
    3、注重基础，抓住基本函数、结合数学思想，联系实际应用
    (1)熟练掌握二次函数、反比例函数、指数对数函数以及形如`y=x+a/n(a＞0)`的函数的性质，重点从定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数等方面提炼归纳，特别是以上述几种函数为模型的抽象函数．
    (2)注意与图象、图表相关的问题，能从图表中读取各种信息，注意利用平移、伸缩、对称变换，培养数形结合的能力．反函数问题是此类问题的典型，新定义、新情景问题也大多以图表形式给出，要以基本函数为基础强化南式到图和由图到式的转化训练．
    (3)指数、对数函数试题多数与其他函数组合为复合函数，是重点题型之一．多以方程或二次函数为背景，综合考查函数、方程和不等式的知识，注重代数推理能力，一般要转化为二次函数或利用导数求解，应掌握常见题的解题方法和思路，构建思维模式．
    五、思想与方法综览
    1、数形结合思想
    数形结合的解题方法，就是把数学问题中的数量关系和空间形式结合起来考虑的思维方法，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，抽象思维和形象思维结合起来，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，通过“数”和“形”的联系和转化，化难为易，从而使问题得以解决．
    [案例]若函数`y=(1/2)^(|1-x|)+m`的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是(   )
    A.m≤-1    B.-1≤m＜0    C.m≥1    D.0＜m≤1
   
    解:首先作出`y=(1/2)^(|1-x|)`的图象(如图)，
    欲使`y=(1/2)^(|1-x|)+m`的图象与轴有交点，则-1≤m＜0. 
    [案例]已知关于x的方程`x^2+(1/2-2m)x+m^2-1=0`(m是与x无关的实数)的两个实根在区间[O，2]内，求m的取值范围．
   
    解:设函数`f(z)=x^2+(1/2-2m)x+m^2-1`，由图知 ，方程的两根都在区间[0，2]内的充要条件为
    `{((1/2-2m)^2-4(m^2-1)>=0),(0＜(2m-1/2)/2＜2),(f(0)=m^2-1>=0),(f(2)=4+2(1/2-2m)+m^2-1>=0):}`
    即`{(m<=17/8),(1/4＜m＜9/4),(m<=-1或m>=1),((m-2)^2>=0):}`
    故m的取值范围为`[1，17/8]`．

    2、分类讨论思想
    解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的问题将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论思想．
    [案例]已知函数`f(x)=a^x-2sqrt(4-a^x)-1`(a＞O，a≠1)．
    (1)求函数f(x)的定义域、值域；
    (2)是否存在实数a，使得函数f(x)满足：对于区间`(2，+oo)`上的一切x，都有f(x)≥O．
    分析:就a进行分类讨论，确定定义域，通过换元法考查函数的值域．
    解:(1)由`4-a^x`≥O，得`a^x`≤4．
    当n＞1时，x≤`text(log)_a4`；当O＜a＜1时，x≥`text(log)_a4`．
    即当n＞1时，f(x)的定义域为`(-oo，text(log)_a4]`；
    当O＜a＜1时，f(x)的定义域为`[text(log)_a4，+oo)`．
    令`t=sqrt(4-a^x)`，则0≤t＜2，且`a^x=4-t^2`，
    `:.`原函数则变为`g(t)=4-t^2-2t-1=-(t+1)^2+4`，
    当t≥O时，g(f)是t的单调减函数，
    `:.`g(2)＜g(t)≤g(O)，即-5＜g(t)≤3，
    `:.`g(t)的值域为(-5，3]，即函数f(x)的值域是(-5，3]．
    (2)若存在实数n使得对于区间`(2，+oo)`上使函数f(x)有意义的一切x，都有f(x)≥0，则区间`(2，+oo)`是定义域的子集．
    由(1)知，a＞1不满足条件；
    若O＜a＜l，则`text(log)_a`4＜2，且f(x)是x的减函数．
    当x＞2时，`a^x＜a^2`．
    由于`0＜a^2＜1,:.t=sqrt(4-a^x)＞sqrt(3)`，
    `.:`t＞-1时，g(t)为减函数，且当t=1时g(t)=O，
    `:.t＞sqrt(3)时，g(t)＜0，
    即f(x)＜O，`:.`f(x)≥O不成立．
    综上，满足条件的n的取值范围是`O/`．

    点评:注意用整体的思想处理问题．在解题时，为将指数式或对数式转化为熟知的代数式，常采用换元的方法．分类讨论是学习本考点知识必须牢记的思想方法，分类的标准往往是底数的取值．

    3、等价转化思想
    [案例]若不等式`x^2+px＞4x+p-3`，对于一切0≤p≤4均成立，则实数x的取值范围是_____．
    解:原不等式转化为关于p的一次不等式
    p(x-1)+`x^2`-4x+3＞0．
    由题意设f(p)=p(x-1)+`x^2`-4x+3，在p∈[O，4]时，f(p)＞0成立，
    `:.{(f(0)＞0),(f(4)＞0):}  :.{(x^2-4x+3＞0),(x^2-1＞0):}`
    `:.`x＞3或x＜-1.
    答案：{x|x＞3或x＜-1}．

    4、函数与方程思想
    函数思想是指用联系变化的观点分析问题，通过函数的形式把问题中的数量关系表示出来，运用函数的概念、图
象、性质等对问题加以研究，使问题获得解决．
    方程的思想是指将问题转化为对方程(组)的认识，通过解方程或对方程的讨论使问题得以解决．
    函数与方程二者密不可分，如函数解析式y=f(x)也可看做方程，函数有意义则方程有解，方程有解，则函数有意义等．函数与方程思想体现了动与静、变量与常量的辩证统一，是重要的数学思想方法之一．
    [案例](2006·全国Ⅱ)已知a∈R，二次函数`f(x)=ax^2-2x-2a`．若f(x)＞O的解集为A，又知集合B={x|1＜
x＜3}，`A nn B≠O/`，求实数a的取值范围．
    解:方法一：(1)若a=O，f(x)=-2x，f(x)＞0 `hArr` x＜0，此时`A nn B=O/`不合题意．
    若a≠0，由`△=4+8a^2＞0`知，f(x)有两个不等实根：`x_1=1/a-sqrt(2+1/a),x_2=1/a+sqrt(2+1/a)`
    由`x_1x_2=-2＜0`知，`x_1＜O，x_2＞O`．
    ①当a＞O时，`A={x|x＜x_1} uu {x|x＞x_2}`，
    `A nn B=O/ hArr x_2＜3 hArr 1/a+sqrt(2+1/a)＜3 hArr a＞6/7`．
    ②当a＜O时，`A={x|x_1＜x＜x_2}`，
    `A nn B=O/ hArr x_1＞0 hArr 1/a+sqrt(2+1/a)＞1 hArr a＜-2`
    综上，使`A nn B≠O/`成立的`a`的取值范围为`(-oo，-2) uu (6/7，+oo)`．
    方法二：(1)若a=O，则f(x)=-2x．
    由f(x)＞0，解得x＜0．
    此时`A nnB=O/`，不合题意．
    (2)若a≠0，由`△=4+8a^2＞0`知，f(x)有两个不等实根`x_1`，`x_2`，设`x_1＜x_2`．
    又由韦达定理知`x_lx_2=-2＜0`，故`x_1＜0＜x_2`．
    ①当a＞0时，`A nn B≠O/ hArr f(3)＞0 hArr 7a＞6 hArr a＞6/7`．
    ②当a＜O时，`A nn B≠O/ hArr f(1)＞0 hArr -a-2＞0 hArr a＜-2`．
    综上，使`A nn B`成立的`a`的取值范围为`(-oo，-2) uu (6/7，+oo)`．

    

    二、知识梳理
    (一)映射与函数
    1、映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B，这时，集合A中的元素a所对应的集合B中的元素b叫做a的象，元素a叫做元素b的原象，如果A的元素的象的集合是C，那么C`sube`B．
    如果在映射f：A→B下，对于集合A中不同的元素，在集合B中有不同的象，而且集合B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射．
    2、函数的概念．
    函数y=f(x)是集合A到集合B的一个映射f：A→B，其中A，B都是非空的数集，对于自变量在定义域A内的任何一个值x，在集合B中都有唯一的函数值y和它对应；自变量的值x是原象，和它对应的值y是象；原象的集合A就是函数y=f(x)的定义域，象的集合C就是函数y=f(x)的值域，显然，C`sube`B．
    3、构成函数的三要素．
    定义域、对应法则、值域是构成函数的三要素．其中定义域与对应法则是基本要素，值域受这二者所制约．注意：(1)对应法则相同而定义域不同的两个函数是不同的函数．(2)若函数y=f(x)是由x的解析式表示的，则其定义域是使式子有意义的实数x的集合．这里主要考虑以下三条原则：①分式的分母不为零；②偶次根式的被开方式的值非负；③对数的真数为正数，对数的底大于0且不等于1．(3)若由解析式给出的函数f(x)的定义域为D，则其值域为集合{y|y=f(x)，x∈D}，也就是使关于x的方程f(x)=y(x∈D)有解的．y的取值范围．
    4、反函数．
    函数y=f(x)(x∈A)中，设它的值域为C，在这个函数中用y表示出x，得到x=g(y)．如果对于在C中的任何一个值y，通过x=g(y)，在A中都有唯一确定的值x和它对应，那么，x=g(y)表示y是自变量，x是自变量y的函数．这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作`x=f^-1(y)`，习惯上把y=f(x)的反函数记作`y=f^-1(x)`，反函数`y=f^-1(x)`的定义域和值域分别是函数y=f(x)的值域和定义域．两个互为反函数的函数图象关于直线y=x对称．
以解析式表示的函数y=f(x)的反函数的求法是：
    (1)判定y=f(x)是否存在反函数；
    (2)求y=f(x)的值域(即反函数的定义域)；
    (3)把y=f(x)看成关于x的方程，解出x，得`x=f^-1(y)`；
    (4)对调x，y的位置，依习惯写出`y=f^-1(x)`，并注明反函数的定义域．
    (二)函数的图象及其变换
    函数的图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供“形”的直观性工具．最常见的函数图象是曲线(包括直线)，函数关系式y=f(x)就是曲线的方程，是一般的曲线方程F(x，y)=0的特殊情况．因此研究函数的图象常应结合有关的平面解析几何知识进行．
    对于比较复杂的函数的图象可以通过对比较简单的函数图象的平移、对称或伸缩变换而得到．
    1、平移变换：“左右平移”(沿x轴负方向或正方向的平移)，“上下平移”(沿y轴正方向或负方向的平移)，变换前后的函数解析式(曲线方程)．见下表：
   
    2、对称变换：在点的对称变换的坐标显示基础上，通过“转移法”，容易得到曲线的对称变换后的方程显示，从而得到函数图象的对称变换的解析式显示．
    注意：
    (1)要区别“互相对称的图形”与“对称图形”，曲线`C_1`与`C_2`关于直线l(或点M)对称是指`C_1`在关于直线x(或点M)的轴(中心)对称变换下的象为`C_2`；曲线C关于直线l(或点M)或轴(中心)对称图形，是指曲线C在关于直线l(或点M)的对称变换下的象`C'`和C重合，所以图形的对称性就是该图形在一定的对称变换下的整体不变性．
    (2)关于“部分对称变换”问题，主要类型是：由函数y=f(x)图象变换为以下函数的图象：y=|f(x)|，y=f(|x|)，y=|f(|x|)|，y=f(-|x|)，y=|f(-|x|)|等．
    3、伸缩变换：见“三角函数”部分．
    (三)函数的性质
    1、单调性：在函数y=f(x)的定义域I内某个区间，如果对于自变量x的任意两个值`x_1，x_2`，且`x_1＜x_2`，都有`f(x_1)＜f(x_2)`，那么就说f(x)在此区间是增函数；如果对于自变量x的任意两个`x_1，x_2`，且`x_1＜x_2`，都有`f(x_1)＞f(x_2)`，那么就说函数f(x)在此区间是减函数．如果函数y=f(x)在这个区间是增函数(或减函数)，就说函数y=f(x)在此区间具有(严格的)单调性．这个区间就叫做函数f(x)的单调增区间(或减区间)，单调区间应是函数定义域的子集．
    2、奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于A内的任意一个x值，都有f(-x)=f(x)，那么函数y=f(x)就叫做偶函数；如果对于函数y=f(x)定义域内的任意一个x值，都有f(一x)=-f(x)，那么函数y=f(x)就叫做奇函数．应该注意的是：奇(偶)函数的定义域在数轴上的对应点集关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件．如果奇函数f(x)的定义域含有x=O，那么必有f(O)=0，即奇函数的图象如果与y轴有公共点，那么必过原点．奇函数的图象关于原点成中心对称；偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然．
    3、周期性：见“三角函数”部分．
    注意：(1)函数f(x)与其反函数`f^-1(x)`在相应区间上具有同样的单调性；若f(x)递增(减)，则`f^-1(x)`也是递增(减)；(2)对于奇函数还有以下结论：若f(x)是奇函数，则其反函数`f^-1(x)`也是奇函数；(3)复合函数的某些性质可以参照下表．

    §2.2 函数的定义域与解析式 (1)

    §2.3 函数的值域与最值 (1)

    §2.4 函数的奇偶性与周期性 (1)

    §2.5 函数的单调性 (1)

    §2.6 反函数 (1)

    §2.7 指数函数与对数函数 (1)

    §2.8 函数的图象变换 (1)

    §2.9 函数的综合应用 (1)

    2、第一轮基础训练 (1) (2)

    3、第一轮单元训练 (1) (2)