解:(1)要使${\displaystyle y=\frac{\sqrt[3]{4x+8}}{\sqrt{3x-2}}}$有意义，
    则必须3x-2＞0，即${\displaystyle x＞\frac{2}{3}}$，
    故所求函数的定义域为${\displaystyle \{x|x＞\frac{2}{3}\}}$．

    (2)要使${\displaystyle y=\sqrt{x+1}+\frac{1}{2-x}}$有意义,
    则必须${\displaystyle \{\begin{array}{l}x+1\ge 0\\ 2-x\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x1\ge -1\\ x\ne 2\end{array}}$
    即x≥-1且x≠2．
    故所求函数的定义域为{x|x≥-1且x≠2}．

    评注:求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所合运算可以施行为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：
    ①分式中，分母不为零；
    ②偶次方根中，被开方数非负；
    ③对于${\displaystyle y=x^0}$，要求x≠O；
    ④对数式中，真数大于O，底数大于0且不等于1；
    ⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．
    如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分有意义的公共部分的集合．

    解:由条件知不等式${\displaystyle x^2-2x+a＞}$0的解集是R，则${\displaystyle 4-4a＜0}$，解得${\displaystyle a\in (1，+\infty )}$．
    如果值域是R，则真数${\displaystyle x^2-2x+a}$必须“取遍”所有正实数，则${\displaystyle 4-4a\ge 0}$，
    ∴${\displaystyle a\in (-\infty ，1]}$

    评注: 二次不等式恒成立问题通常利用二次函数图象和判别式通过数形结合的方法来思考．

    解:对所含参数需要进行恰当的讨论．
    (1)依题意，有${\displaystyle \{\begin{array}{l}b＞a\\ a+b＞0\end{array}}$
    ∴b＞0，且b＞|a|．
    由a≤${\displaystyle x^2}$≤b，得
    当a≤0时，定义域为${\displaystyle [-\sqrt{b},\sqrt{b}]}$．
    当a＞0时，定义域为${\displaystyle [-\sqrt{b}，-\sqrt{a}]\cup [\sqrt{a},\sqrt{b}]}$．
    (2)由①
    ∵a＞-b，b＞-a，
    ∴当a＞O时，不等式组①的解集为${\displaystyle \varnothing }$，这时函数g(x)不存在．
    当a=O时，不等式组①的解为x=0，这时函数g(x)的定义域为{0}．
    当a＜O时，不等式组①的解为a≤x≤-a，这时函数g(x)的定义域为[a，-a]．

    评注:这类题型从更深层上考查了函数的概念，同时又考查了方程、不等式等知识，综合性强，应引起重视．

    解:(1)函数的定义域、值域、对应法则均相同，所以是同一函数．
    (2)${\displaystyle y=\frac{x^2-1}{x-1},g\left(x\right)=x+1}$，但x≠1，故两函数定义域不同，所以它们不是同一函数．
    (3)函数${\displaystyle f\left(x\right)=\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$的定义域为{x|x≥0}，而${\displaystyle g\left(x\right)=\sqrt{x^2+x}}$的定义域为{x|x≤-1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数．
    (4)因为${\displaystyle g\left(x\right)=f^{-1}\left(x\right)=\{\begin{array}{l}x+1\text{,}-1＜x＜0\\ x-1\text{,}0＜x＜1\end{array}}$，f(x)与g(x)的对应法则、定义域和值域分别相同，故它们是同一函数.

    评注:(1)第(1)小题易错判断为它们不是同一函数，错误的原因在于没能真正理解函数的概念．实际上，在函数的定义域与对应法则不变的条件下，自变量用何字母表示，并不影响这个函数的本身．
    (2)函数的对应法则可以简化，例如f(x)=x与g(x)=${\displaystyle \sqrt[3]{x^3}}$，单从表面上看它们的对应法则不同，但实质上是相同的．
    (3)当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域随之得到确定，故函数的三要素(定义域、值域、对应法则)可简化为两要素(定义域、对应法则)，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，为同一函数．

    解:(1)由分步计数原理和映射的概念，知这样的映射有3×3×3=27个．
    (2)若f(a)=2，f(b)=O，则f(c)=O或f(c)=-2；
    若f(a)=2，f(b)=-2，则f(c)=-2；
    若f(a)=O，则f(b)=f(c)=-2．
    故共有4个不同映射．
    答案：27， 4

    评注:本题主要考查映射的概念，关键在于集合M中的每个元素在集合B中有唯一的元素与之对应.

    解:由对应法则，知1对应4，2对应7，3对应10，m对应3m+1.
    ∵m∈${\displaystyle N^{\star }}$,a∈${\displaystyle N^{\star }}$，
　　∴${\displaystyle a^4}$≠0,${\displaystyle a^2+3a=10}$,a=2(a=-5舍去)
    又3m+1=${\displaystyle 2^4}$.
    ∴m=5
    故A={1，2，3，5},B={4，7，10，16}

    评注:此分析有关函数定义问题，一定要与映射结合，由映射中原象与象的特点解决问题.

    则与f[g(1)]相同的是(    )
    A．g[f(1)]   B．g[f(2)]    C．g[f(3)]   D．g[f(4)]
    4、函数${\displaystyle y=\sqrt{{\text{log}}_{2}x-2}}$的定义域是______．
    5、函数${\displaystyle f\left(x\right)={log}_{\frac{1}{2}}(x-1)+\sqrt{2-x}}$的定义域为______；值域为______．
    6、设函数y=(ax-1)/root(3)(ax^2+4ax+3)的定义域为R，求实数a的取值范围．
    7、已知函数${\displaystyle y=\frac{a{x}^2-8x+b}{x^2+1}}$的值域是{y|1≤y≤9}，求a、b的值．
    8、已知函数${\displaystyle f\left(x\right)=x^2-4ax+2a+6(a\in R)}$．
    (1)若f(x)的值域为[0，+∞)，求a的值；
    (2)若f(x)的值均为非负值，求函数g(a)=2-a|a+3|的值域．

    则与f[g(1)]相同的是( A )
    A．g[f(1)]   B．g[f(2)]    C．g[f(3)]   D．g[f(4)]
    4、函数${\displaystyle y=\sqrt{{\text{log}}_{2}x-2}}$的定义域是______．
    答案:[4,+∞)
    5、函数${\displaystyle f\left(x\right)={log}_{\frac{1}{2}}(x-1)+\sqrt{2-x}}$的定义域为______；值域为______．
    答案:(1,2]   [0,+∞)
    6、设函数y=(ax-1)/root(3)(ax^2+4ax+3)的定义域为R，求实数a的取值范围．
    答案:
    7、已知函数${\displaystyle y=\frac{a{x}^2-8x+b}{x^2+1}}$的值域是{y|1≤y≤9}，求a、b的值．
    答案:a=b=5
    8、已知函数${\displaystyle f\left(x\right)=x^2-4ax+2a+6(a\in R)}$．
    (1)若f(x)的值域为[0，+∞)，求a的值；
    (2)若f(x)的值均为非负值，求函数g(a)=2-a|a+3|的值域．
    答案:(1)a=-1(2)a=${\displaystyle \frac{3}{2}}$