第二章  函数
 §2.6 反函数

复习目标 知识梳理 应用举例 实践体验 拓展探究 基础训练 提高训练 学习感悟
    一、复习目标
    了解反函数的概念及互为反函数的图象间的关系,会求一些简单函数的反函数.

    二、重点难点
    重点:反函数的概念及互为反函数的图象间的关系, 掌握求反函数的步骤.

    难点:会求简单函数的反函数.

    三、特别提示
    1、单调函数存在反函数,但是存在反函数不一定单调,如函数`f(x)=1/x`.
    2、求反函数一要注意在开方时“±”的确定,由原函数的定义域决定;二要注意注明反函数的定义域,特别是当使反函数的解析式有意义的自变量的取值集合与反函数的定义域不相等时更要注明其定义域.
    3、反函数的有关问题可以通过原函数来研究,反之亦然.

    知识梳理
    1、反函数
    设y=f(x)表示y是变量x的函数,其定义域为A,值域为C,从式子y=f(x)中解得x=g(y),如果x=g(y)表示x是自变量y的函数,那么把x=g(y)叫做函数y=f(x)的反函数,记作`y=f^-1(x)`.
    习惯上用x表示自变量,y表示函数,函数y=f(x)的反函数记作y=`f^-1(x)`.函数f(x)的定义域是它的反函数的值域,其值域是它的反函数的定义域.
    2、互为反函数的函数图象间的关系
    函数y=f(x)的图象和它的反函数`y=f^-1(x)`的图象关于直线y=x对称.
    3.求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是
    (1)确定原函数的值域,也就是反函数的定义域;
    (2)由y=f(x)的解析式求出x=g(x);
    (3)将x、y对换,得反函数的一般表达式`y=f^-1(x)`.

    应用举例
    一、应用特点
    1、如何求反函数;
    2、原函数与反函数的图象关系的变式运用;
    3、求分段函数的反函数.

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法,寻找解题办法,若有困难,可以参考“提示”,还有困难,可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、函数`y={(2x,x>=0,),(-x^2,x<0,):}`的反函数是(   )
    A.`y={(x/2,x>=0),(sqrt(-x),x<0):}`     B.`y={(2x,x>=0),(sqrt(-x),x<0):}`
    C.`y={(x/2,x>=0),(-sqrt(-x),x<0):}`    D.`y={(2x,x>=0),(-sqrt(-x),x<0):}`

    提示 示范  

    2、已知`f(x)=(1-2x)/(1+x)`,函数g(x)的图象与函数`y=f^-1(x+1)`的图象关于直线y=x对称,则g(5)=___.
    提示 示范  

    3、求函数`f(x)={(x^2+1,x<=-1,),(-x+1,x>-1):}`的反函数.
    提示 示范  

    实践体验
    (在实践中提高能力,在体验中反思感悟,力求独立,力求提高)
    1、函数f(x)=ln(x-1)(x>1)的反函数是(   )
    A.`f^-1(x)=e^x+1`(x∈R)
    B.`f^-1(x)=10^x+1`(x∈R)
    C.`f^-1(x)=10^x+1`(x>1)
    D.`f^-1(x)=e^x+1`(x>1)
    提示 示范  

    2、函数f(x)有反函数`f^-1(x)`,已知f(x)图象经过点(O,-1),则`f^-1(x+4)`的反函数图象必过点(   )
    提示 示范  

    拓展探究
    已设a>1,函数f(x)=`a^(x+1)`-2.
    (1)求f(x)的反函数`f^-1(x)`;
    (2)若`f^-1(x)`在[O,1]上的最大值与最小值互为相反数,求a的值;
    (3)若`f^-1(x)`的图象不经过第二象限,求a的取值范围.
    提示 示范  

 

    基础训练
    参考答案

 
    提高训练
    参考答案

    学习感悟
    1、要深入理解函数`y=f(x)`与其反函数`y=f^-1(x)`的概念:
   
    `y=f(x)`和`x=f^-1(y)`互为反函数,但在同一坐标系下的图象相同.
    2、求函数`y=f(x)`的反函数`x=f^-1(y)`的一般步骤如下:
   
    3、恰当利用函数与其反函数的关系,可以将“反函数”有关问题转化为“原函数”问题,往往可以巧妙地解决一类问题.

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