二、重点难点
    重点:函数的单调性的概念及应用.

    难点:简单函数单调性的判断方法.

    三、特别提示
    1、单调性是函数的一个局部性质．一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．
    2、函数的单调区间是定义域的子集，定义中的${\displaystyle x_1、x_2}$相对于单调区间具有任意性，不能用特殊值代替．
    3、若要证明f(x)在区间[a，b]上的单调性必须依据定义进行证明；若要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函数，只要举反例，即要找到两个特殊的${\displaystyle x_1、x_2}$值不满足定义即可．
    4、判定函数单调性的常用方法有：
    ①定义法；②函数的图象；③复合函数的单调性；④导数法．
    5、f(x)在区间${\displaystyle D_1、D_2}$上是增函数，但不一定在区间${\displaystyle D_1\cup D_2}$上是增函数；同样在区间${\displaystyle D_1、D_2}$上是减函数，但不一定在区间${\displaystyle D_1\cup D_2}$上是减函数．例如函数f(x)=${\displaystyle \frac{1}{x}}$在${\displaystyle (-\infty ，0)}$上是减函数，在${\displaystyle (0，+\infty )}$上也是减函数，但在${\displaystyle D_1\cup D_2}$上不是减函数．

    1、函数单调性的定义
    对于函数定义域内某个区间的任意两个变量${\displaystyle x_1、x_2}$，当${\displaystyle x_1}$＜${\displaystyle x_2}$时，有f(${\displaystyle x_1}$)＜f(${\displaystyle x_2}$)，则称f(-x)在这个区间上是增函数；若当${\displaystyle x_1}$＞${\displaystyle x_2}$时，有f(${\displaystyle x_1}$)＞f(${\displaystyle x_2}$)，则称f(x)在这个区间上是减函数．
    这个定义有如下两种等价形式：
    设${\displaystyle x_1}$、${\displaystyle x_2}$∈[a，b]，那么
    (1)${\displaystyle \frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}＞0(＜0)\iff f\left(x\right)在[a，b]}$上是增(减)函数；
    (2)${\displaystyle (x_1-x_2)[f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)]＞0(＜0)\iff f\left(x\right)在[a，b]}$上是增(减)函数．
    几何意义：增(减)函数图象上任意两点${\displaystyle (x_1，f\left(x_1\right))，(x_2，f\left(x_2\right))}$连线的斜率都大于(小于)0．
    2、奇偶函数的单调性．

a＞O，b＞O，a＜b [-b，-a] [a，b] f(x)是奇函数 增函数 增函数 减函数 减函数 f(x)是偶函数 增函数 减函数 减函数 增函数

    即在对称区间上的单调性为相同(奇)或相反(偶)．
    3、复合函数的单调性
    复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

    简记为“同增异减”．

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、求函数${\displaystyle y={\text{log}}_{0.7}(x^2-3x+2)}$的单调区间及其增减性．

提示	示范
首先要考虑定义域，其次结合对数函数和二次函数的单调性求解.
解:由${\displaystyle u=x^2-3x+2＞0}$，得x＜1或x＞2．结合二次函数的图象及单调性知，     当x∈(-∞，1)时，u(x)是减函数；     当x∈(2，+∞)时，u(x)是增函数．     又${\displaystyle y={\text{log}}_{0.7}u}$在定义域内是减函数，     由复合函数的单调性知，当x∈(-∞，1)时，y为增函数；当x∈(2，+∞)时，y为减函数．     评注:函数的定义域是讨论函数性质的前提，任何问题的解决必须在定义域内进行．判断复合函数y=f[g(x)]的单调区间的规律是“同增异减”，即函数y=f(u)与u=(x)具有相同的单调性，y=f[g(x)]必是增函数．若y=f(u)与u=(x)具有不同的单调性，则y=f[g(x)]必是减函数．

提示	示范
欲证f(x)在(-∞，0)上是增函数，须在(-∞，0)内任取两值${\displaystyle x_1、x_2}$，且${\displaystyle x_1＜x_2}$，然后比较${\displaystyle f\left(x_1\right)}$与${\displaystyle f\left(x_2\right)}$的大小．因f(x)的表达式未给出，直接比较大小不能进行，考虑已知中的信息：f(x)在R上是奇函数，且在(0，+∞)上是增函数，可将函数f(x)转化到区间(0，+∞上，进而达到目的.
解:设全集为证明：设${\displaystyle x_1＜x_2＜0}$，则${\displaystyle -x_1＞-x_2＞0}$．     ∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，     ∴f(${\displaystyle -x_1}$)＞f(${\displaystyle -x_2}$)．又f(x)在R上是奇函数，     ∴-f(${\displaystyle x_1}$)＞-f(${\displaystyle x_2}$)，即f(${\displaystyle x_1}$)＜f(${\displaystyle x_2}$)．     ∴函数y=f(x)在(0，+∞)上是增函数．     评注:比较法是通过比差、比商两个途径去判定、证明函数的单调性，这是证明函数单调性的常用方法．当函数解析式中含参变量时，通常都要就参变量的各种情况分类讨论．

提示	示范
本题需要判断F(${\displaystyle x_1}$)-F(${\displaystyle x_2}$)=${\displaystyle \frac{1}{f\left(x_1\right)}-\frac{1}{f\left(x_2\right)}=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{f\left(x_1\right)•f\left(x_2\right)}}$正负，只要通过已知条件判断f(${\displaystyle x_1}$)•f(${\displaystyle x_2}$)，f(${\displaystyle x_1}$)-f(${\displaystyle x_2}$)的正负即可.
解:任取${\displaystyle x_1、x_2}$∈(-∞，0)，且${\displaystyle x_1＜x_2}$，则${\displaystyle -x_1＞-x_2}$＞0．     ∵y=f(x)在(0，+∞)上是增函数，且f(x)＜0，     ∴f(-${\displaystyle x_2}$)＜f(-${\displaystyle x_1}$)＜0．     又y=f(x)是奇函数，于是f(-${\displaystyle x_2}$)=-f(${\displaystyle x_2}$)，f(-${\displaystyle x_1}$)=-f(${\displaystyle x_1}$)．     于是f(${\displaystyle x_2}$)＞f(${\displaystyle x_1}$)＞0．     因此F(${\displaystyle x_1}$)-F(${\displaystyle x_2}$)=${\displaystyle \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{f\left(x_1\right)f\left(x_2\right)}}$＞0，即F(${\displaystyle x_1}$)＞F(${\displaystyle x_2}$)．     ∴F(x)=${\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$在(-∞，0)上是减函数．     评注:抽象函数的单调性、奇偶性的综合问题，是高考中出现过多次的题型，解题时一定要紧扣定义、细心求解．

    学习感悟
    1、注意定义的两种等价形式：设${\displaystyle x_1,x_2}$∈[a,b]，那么
    (1)${\displaystyle \frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}＞0\iff f\left(x\right)在[a，b]上增\iff (x_1-x_2)[f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)]＞0}$；
    (2)${\displaystyle \frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}＜0\iff f\left(x\right)在[a，b]上减\iff (x_1-x_2)[f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)]＜0}$．
    其几何意义是：增(减)函数图象上任意两点${\displaystyle (x_1，f\left(x_1\right))，(x_2，f\left(x_2\right))}$连线的斜率都大于(或小于)零．
    2、如果f(x)在区间D上是增(减)函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增(减)函数．
    3、利用函数单调性可以比较函数值的大小，以及求值域最值等．
    4、复合函数单调性的复合规律只适用于自变量与中间变量彼此“相关”的区间上．