§2.2 函数的定义域与解析式

第二章函数
§2.2 函数的定义域与解析式

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
理解函数定义域的概念，会根据条件求函数的定义域，能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式.

二、重点难点
重点:求函数定义域和函数解析式的方法.

难点:用变量代换的方法求函数解析式, 求含参数函数的定义域.

    三、特别提示
    1、定义域的求法：当函数由解析式给出时，其定义域为使解析式有意义的自变量的取值集合；当函数由实际问题给出时，其定义域为不仅要使解析式有意义还要有实际意义的自变量的取值集合；复合函数的定义域f[g(x)]是由内函数g(x)的定义域A、值域B和外函数f(t)的定义域C共同确定的，即使B $\subseteq$ C的t=g(x)的自变量x的取值集合D与A的交集即为y=f[g(x)]的定义域．需要注意的是复合函数的定义域是自变量x的取值集合，而不是中间变量t=g(x)的取值集合．
    2、求函数的解析式一般有四种情况：
    ①根据某实际问题需建立一种函数关系式，这种情况需引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式．
    ②有时题中给出函数特征，求函数的解析式，可用待定系数法，比如函数是二次函数，可设为 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，其中a、b、c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出a、b、c即可．
    ③换元法求解析式，f[h(x)]=g(x)求f(x)的问题，往往可设h(x)=t，从中解出x，代入g(x)进行换元来解．
    ④解方程组法，已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如 $f (- x) 、 f (\frac{1}{x})$ 等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

知识梳理
1、常见函数的定义域

函数	$y = \frac{1}{x}$	$y = \sqrt{x}$	$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$	$y = lg x$	$y = tan x$
定义域	${x \in R \| x \neq 0}$	$[0, + \infty)$	$(0, + \infty)$	$(0, + \infty)$	${x \| x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z}$

    2、能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域
    确定函数定义域时，常从以下几个方面考虑：
    (1)分式的分母不为零；
    (2)偶次根式被开方式非负；
    (3)对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；
    (4)指数为0时，底数不为零．
    3、以函数y=f(x)的每一组对应值为坐标的点都在上．

    应用举例
    一、应用特点
    1、用待定系数法求函数解析式；
    2、用换元法求函数解析式；
    3、求实际问题的函数解析式.

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

1、已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x).

提示	示范
因为已知f(x)是一次函数，故可设f(x)=ax+b，从而根据题意列出恒等式，确定a、b的值.
解:(1)设f(x)=ax+b，则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b+2a-2b-2ax=ax+b+5a=2x+17 ∴a=2,b=7 ∴f(x)=2x+7 评注:本类题适用于待定系数法，这是已知明确的函数类型求函数解析式的常用方法.

2、已知

f (\sqrt{x} + 1) = x + 2 \sqrt{x}

，求

f (x) ， f (x + 1) 与 f (x^{2})

．

提示	示范
求这类复合函数的解析式通常用换元法求解．先设 $\sqrt{x} + 1 = t$ ，然后解出x，再分别代入 $f (\sqrt{x} + 1) = x + 2 \sqrt{x}$ 的两边，求出f(x)的解析式．
解:设 $t = \sqrt{x} + 1$ ≥1，则 $\sqrt{x} = t - 1$ ， $x = {(t - 1)}^{2}$ ，于是 $f (t) = {(t - 1)}^{2} + 2 (t - 1) = t^{2} - 1$ (t≥1)． ∴ $f (x) = x^{2} - 1$ (x≥1)． $f (x + 1) = {(x + 1)}^{2} - 1 = x^{2} + 2 x$ (x≥0)； $f (x^{2}) = {(x^{2})}^{2} - 1 = x^{4} - 1$ (\|x\|≥1)．评注:这在用换元法解此类题时，要注意定义域的变化．注意前边的x与后边的x的区别与联系．所以求得的函数关系要注明定义域．

3、设某车间生产某种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R(总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量Q(单位：件)的函数，满足关系式：

f (Q) = {\begin{cases} 400 Q - \frac{1}{2} Q^{2} 0 \leq Q \leq 400 \\ 80000 Q ＞ 400 \end{cases}

求每年总利润.

提示	示范
无提示
解: $y = R - 100 Q - 20000 = {\begin{cases} 300 Q - \frac{1}{2} Q^{2} - 20000, 0 \leq Q \leq 400 \\ 60000 - 100 Q, Q ＞ 400 \end{cases}$ (Q∈Z)．评注:由在实际问题中求函数解析式是在设定或选定自变量后去寻求等量关系，同时要注意函数定义域由实际问题确定．

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、已知函数f(x)定义域为(O，2)，求下列函数的定义域：

(1)

f (x^{2}) ；

(2)

y = \frac{2 f (x^{2}) + 1}{\sqrt{{log}_{\frac{1}{2}} (2 - x)}}

提示	示范
x的函数 $f (x^{2})$ 是由 $u = x^{2}$ 与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故由已知，得 $O ＜ u ＜ 2$ ，即 $O ＜ x^{2} ＜ 2$ ，进而可求出 $x$ 的取值范围.
解:(1)由O＜ $x^{2}$ ＜2，得 $- \sqrt{2} ＜ x ＜ \sqrt{2}$ 且x≠0．所以 $f (x^{2})$ 的定义域为( $- \sqrt{2}$ ，0) $\cup$ (0， $- \sqrt{2}$ )． (2)由(1)，解 ${(- \sqrt{2} ＜ x ＜ \sqrt{2}, 且 x \neq 0)$ , $({log}_{\frac{1}{2}} (2 - x) ＞ 0) :}$ 得 $1 ＜ x ＜ \sqrt{2}$ 所以所求的定义域为(1， $\sqrt{2}$ ). 评注:对于.

2、(1)已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求下列函数的定义域．

①

f (x^{2})

；②

f (x^{2} - 1)

．

(2)已知函数f[lg(x+1)]的定义域是[0，9]，则函数f(x^2)的定义域为____.

提示	示范
(提示内容)
解:(1)①∵f(x)的定义域是[0，1]， ∴要使 $f (x^{2})$ 有意义，则必有O≤ $x^{2}$ ≤1．解得-1≤x≤1 ∴ $f (x^{2})$ 的定义域为[-1，1]． ②由0≤ $x^{2} - 1$ ≤l，得1≤ $x^{2}$ ≤2 ∴函数 $f (x^{2} - 1)$ 的定义域为 $[- \sqrt{2} ， - 1] \cup [1 ， \sqrt{2}]$ ． (2)∵f[lg(x+1)]的定义域为[O，9]， ∴0≤-x≤9． ∴1≤x+1≤10． ∴0≤lg(x+1)≤1． ∴f(x)的定义域为[O，1]．由0≤ $x^{2}$ ≤1，解得-1≤x≤1． ∴ $f (x^{2})$ 的定义域为[-1，1]. 评注:要求 $f (x^{2})$ 的定义域，需求f(x)的定义域，而f(x)的定义域可根据复合函数f[g(x+1)]的定义域求得．若已知复合函数f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域，可令t=g(x)，由x的范围推出t的范围，再以x换t即得f(x)的定义域．若已知f(x)的定义域求复合函数 $f [ϕ (x)]$ 的定义域，可将f(x)的定义域写成关于x的不等式，然后将x换成中间变量 $ϕ (x)$ ，再解不等式即可得到复合函数 $f [ϕ (x)]$ 的定义域．

拓展探究
某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低O.02元，但实际出厂单价不能低于51元．

(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元?

(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式；

(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个，利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本).

提示	示范
(提示内容)
解:(1)设一次订购量为m个时，零件的实际出厂单价恰降为51元．由题意，得60-(m-100)×0.02=51，得x=550．故当一次订购550个时，零件实际出厂单价恰为51元． (2)由题意，知当0＜x≤100时，f(x)=60；当100＜x＜550时， $f (x) = 61 - (x - l O O) • 0.02 = 62 - \frac{x}{50}$ 当x≥550时，f(x)=51． ∴函数P=f(x)的表达式是 $f (x) = {\begin{cases} 60, 0 ＜ x \leq 100 \\ 62 - \frac{x}{50}, 0 ＜ x ＜ 550 x \in N^{⋆} \\ 51, x \geq 550 \end{cases}$ (3)由(2)知当销售商一次订购500个零件和1000个零件时销售单价分别为 $62 - \frac{500}{50} = 52$ 元和51元，故其利润分别是500×52-500×40=6 000元和1000×51-1000×40=11000元．评注:本题考查了由实际问题建立函数关系式，这种情况需仔细分析题目中的数量关系(如等量关系、不等关系)，引入合适的变量，据数学的有关知识列出函数关系式，并从实际情况出发求出定义域．

基础训练

1、函数y=f(x)的图象与函数

g (x) = {log}_{2} x (x ＞ 0)

的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为( )
A.

f (x) = \frac{1}{{log}_{2} x} (x ＞ 0)

f (x) = \frac{1}{{log}_{2} (- x)} (x ＞ 0)

f (x) = - {log}_{2} x (x ＞ 0)

f (x) = - {log}_{2} (- x) (x ＜ 0)

2、已知f(x)是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)=lgx．设

a = f (\frac{6}{5}) ， b = f (\frac{3}{2}) ， c = f (\frac{5}{2}) 则 ()

A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.c＜a＜b
3、若函数

f (x) = {\begin{cases} {(\frac{1}{4})}^{x}, x \in [- 1, 0] \\ 4^{x}, x \in [0, 1] \end{cases}

，则

f ({log}_{4} 3)

等于( )
A．

\frac{1}{3}

B．3 C．

\frac{1}{4}

     D．4
    4、据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间，我国农村人均居住面积如下图所示，其中，从______年到______年的五年间增长最快．

5、下列函数中与函数y=x相同的序号是______．
①

y = {(\sqrt{x})}^{2}

②

y = \frac{x^{2}}{x}

③

\sqrt[3]{x^{3}}

④

y = \sqrt{x^{2}}

⑤

y = {\begin{cases} x, x \geq 0 \\ x, x ＜ 0 \end{cases}

6、对任意实数x，函数f(x)取

x 、 2^{x} - 1 、 7 - x

三者中的最小值，那么f(x)的最大值是______．
7、已知集合A=B={1，2，3}，映射f：A→B满足f[f(x)]=f(x)，这样的映射有几个?
8、宅某商场经营一批进价是30元／台的商品．在市场试销中发现，此商品销售单价x元与日销售量y台之间有
如下关系：

x	35	40	45	50
y	57	42	27	12

在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)的对应点，并确定x与y的一个函数关系式y=f(x)．

参考答案

1、函数y=f(x)的图象与函数

g (x) = {log}_{2} x (x ＞ 0)

的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为( D )
A.

f (x) = \frac{1}{{log}_{2} x} (x ＞ 0)

f (x) = \frac{1}{{log}_{2} (- x)} (x ＞ 0)

f (x) = - {log}_{2} x (x ＞ 0)

f (x) = - {log}_{2} (- x) (x ＜ 0)

2、已知f(x)是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)=lgx．设

a = f (\frac{6}{5}) ， b = f (\frac{3}{2}) ， c = f (\frac{5}{2}) 则 (

D )
A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.c＜a＜b
3、若函数

f (x) = {\begin{cases} {(\frac{1}{4})}^{x}, x \in [- 1, 0] \\ 4^{x}, x \in [0, 1] \end{cases}

，则

f ({log}_{4} 3)

等于( B )
A．

\frac{1}{3}

B．3 C．

\frac{1}{4}

     D．4
    4、据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间，我国农村人均居住面积如下图所示，其中，从______年到______年的五年间增长最快．

    答案:1995
    5、下列函数中与函数y=x相同的序号是______．
    ①

y = {(\sqrt{x})}^{2}

②

y = \frac{x^{2}}{x}

③

\sqrt[3]{x^{3}}

④

y = \sqrt{x^{2}}

⑤

y = {\begin{cases} x, x \geq 0 \\ x, x ＜ 0 \end{cases}

答案:③⑤
6、对任意实数x，函数f(x)取

x 、 2^{x} - 1 、 7 - x

三者中的最小值，那么f(x)的最大值是______．
    答案:3.5
    7、已知集合A=B={1，2，3}，映射f：A→B满足f[f(x)]=f(x)，这样的映射有几个?
    答案:10
    8、宅某商场经营一批进价是30元／台的商品．在市场试销中发现，此商品销售单价x元与日销售量y台之间有
如下关系：

x	35	40	45	50
y	57	42	27	12

在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)的对应点，并确定x与y的一个函数关系式y=f(x)．
答案:y=162-3x(0≤x≤54)

提高训练

1、已知f(1，1)=1，f(m，n)∈

N^{⋆}

(m、n∈

N^{⋆}

)，且对任何m、n∈

N^{⋆}

都有：
    ①f(m，n+1)=f(m，n)+2；②f(m+1，n)=2f(m，n)．
    给出以下三个结论：(1)f(1，5)=9；(2)f(5，1)=16；(3)f(5，6)=26．其中正确的个数为(    )
    A.3   B.2    C.1    D.0
    2、函数

f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

(x∈R)的值域是(    )
    A．(0，1)   B．(0，1]   C．[0，1)    D．[0，1]
    3、已知a∈R，函数f(x)=x^2|x—a|，当a=2时，求使f(x)=x成立的x的集合．
    4、(1)设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)=1，且对任意实数a、b，有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)．求f(x)；
    (2)函数f(x)(x∈(-1，1))满足2f(x)=f(-x)=lg(x+1)，求f(x)．

参考答案

1、已知f(1，1)=1，f(m，n)∈

N^{⋆}

(m、n∈

N^{⋆}

)，且对任何m、n∈

N^{⋆}

都有：
    ①f(m，n+1)=f(m，n)+2；②f(m+1，n)=2f(m，n)．
    给出以下三个结论：(1)f(1，5)=9；(2)f(5，1)=16；(3)f(5，6)=26．其中正确的个数为( B )
    A.3   B.2    C.1    D.0
    2、函数

f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

(x∈R)的值域是( B )
    A．(0，1)   B．(0，1]   C．[0，1)    D．[0，1]
    3、已知a∈R，函数f(x)=x^2|x—a|，当a=2时，求使f(x)=x成立的x的集合．
    答案:

{0, 1, 1 + \sqrt{2}}

    4、(1)设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)=1，且对任意实数a、b，有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)．求f(x)；
    (2)函数f(x)(x∈(-1，1))满足2f(x)=f(-x)=lg(x+1)，求f(x)．
    答案:(1)

f (x) = x^{2} + x + 1

； (2)

f (x) = l = \frac{1}{3} l g (1 + x - x^{2} - x^{3}) (- 1 ＜ x ＜ 1)

    学习感悟
    1、由函数的解析式能够求出定义域、求出的定义域应该用集合或区间表示．
    2、求函数定义域的过程实质上就是根据解析式列出不等式(组)后解不等式(组)的过程，常见基本初等函数列不等式的条件是：(1)分式函数，使分母不等于零；(2)偶次根式函数，使被开方式非负；(3)对数函数的真数必须大于零，底必须大于零且不等于1；(4)含 $x^{0}$ 时x≠O；(5)正切函数y=tanx要求 $x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z$ 等等．
    3、求实际问题的函数定义域时，除了使解析式有意义，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．
    4、在函数的三要素中，定义域是基本要素，当对应法则和定义域确定之后，其值域相应被确定，研究函数性质必须从定义域出发．特别要重视函数定义域在解决方程、不等式等问题和在研究函数最值、奇偶性、周期性、单调性等问题中所起的作用．
    5、在变量换元和消元的过程中也要注意函数定义域的变化和限制．

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