二、重点难点
    重点:指﹑对数的运算性质, 指﹑对数函数的概念、图象和性质.

    难点:指﹑对数函数的概念、图象和性质的综合应用.

    三、特别提示
    1、式的运算、变形、求值、化简及证明在数学中占有重要地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视；
    2、指数函数${\displaystyle y=a^x}$与对数函数${\displaystyle y={log}_{a}x(a＞0，且a\ne 1)}$互为反函数，可从概念、图象、性质几方面理解它们的联系与区别；
    3、比较两个幂值的大小是一种常见的题型，也是一类容易做错的问题．解决这类问题，首先要分清是底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可利用图象(如下表)．
    同一坐标系下的图象关系：

    当底大于1时，底越大图象越靠近坐标轴，当底小于1大于O时，底越小，图象越靠近坐标轴，如果底数、指数都不同，则要利用中间变量．
    4、指数函数、对数函数中绝大部分问题是指数函数、对数函数与其他函数的复合函数问题，讨论复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径之一．

    知识梳理
    1、指数幂的概念
    (1)根式
    如果一个数的n次方等于a(n＞1，且n∈${\displaystyle N^{\star }}$)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若${\displaystyle x^n=a}$，则x叫做底数，
其中n＞1，且n∈${\displaystyle N^{\star }}$．式子${\displaystyle \sqrt[n]{a}}$叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
    (2)根式的性质
    ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号${\displaystyle \sqrt[n]{a}}$表示．

    ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时,正数的正的n次方根用符号${\displaystyle \sqrt[n]{a}}$表示，负的n次方根用符号${\displaystyle -\sqrt[n]{a}}$表示．正 负两个n次方根可以合写为${\displaystyle \pm \sqrt[n]{a}(a＞0)}$.

    ③${\displaystyle {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a}$．

    ④当n为奇数时，${\displaystyle \sqrt[n]{a^n}=a}$；当n为偶数时，${\displaystyle \sqrt[n]{a^n}=\left|a\right|}$.

    ⑤负数没有偶次方根．

    ⑥零的任何次方根都是零．
    (3)分数指数幂的意义
    ①${\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}(a＞0，m、n\in N^{\star }，且n＞1)}$；
    ②${\displaystyle a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}(a＞0，m、n\in N^{\star }，且n＞1)}$．
    (4)有理数指数幂的运算性质
    ①${\displaystyle a^r\cdot a^s=a^{r+s}}$(a＞0，r∈Q，s∈Q)；
    ②${\displaystyle a^r÷a^s=a^{r-s}}$(a＞0，r∈Q，s∈Q)；
    ③${\displaystyle {\left(a^r\right)}^s=a^{rs}}$(a＞0，r∈Q，s∈Q)；
    ④${\displaystyle {\left(ab\right)}^r=a^r{b}^r}$(a＞0，b＞0，r∈Q)．
    2、对数
    (1)对数的概念：如果${\displaystyle a(a＞0，n\ne 1)}$的${\displaystyle b}$次幂等于${\displaystyle N}$，就是${\displaystyle a^b}$=N，那么，数${\displaystyle b}$叫做以${\displaystyle a}$为底${\displaystyle N}$的对数，记作${\displaystyle {log}_{a}N}$${\displaystyle =}$${\displaystyle b}$，其中a叫做对数的底数，N叫做对数的真数．
    (2)常用对数：通常将${\displaystyle {log}_{10}N}$的对数叫做常用对数，记作${\displaystyle lgN}$.
    自然对数：通常将以无理数${\displaystyle e=2.71828\dots }$为底的对数叫做自然对数，记作${\displaystyle lnN}$．
    (3)对数的性质
    ①零和负数没有对数；
    ②${\displaystyle {log}_{a}1=0(a＞0，a\ne 1)；}$
    ③${\displaystyle {log}_{a}a=1(a＞0，n\ne 1)；}$
    ④${\displaystyle a^{{log}_{a}N}=N(a＞0，n\ne 1，N＞0)}$．
    3、对数的运算性质
    如果${\displaystyle a＞0}$，${\displaystyle a\ne 1}$，${\displaystyle M＞O}$，${\displaystyle N＞0}$，那么
    (1)${\displaystyle {log}_a\left(MN\right)={log}_{a}M+{log}_{a}N}$；
    (2)${\displaystyle {log}_a\frac{M}{N}={log}_{a}M-{log}_{a}N}$；
    (3)${\displaystyle {log}_a{M}^n=n{log}_{a}M(n\in R)}$．
    4、基本概念
    (1)对数函数的概念：
    函数${\displaystyle y={log}_{a}x}$叫做对数函数，其中a是一个大于零且不等于1的常量，函数的定义域是(0,+∞)；
    (2)指数函数的概念：函数${\displaystyle y=a^x}$(其中${\displaystyle a＞0}$且${\displaystyle a\ne 1}$)叫做指数函数；
　　(3)指数函数与对数函数互为反函数．
    5、指数函数、对数函数的图象及性质

    应用举例
    一、应用特点
    1、两个幂的大小比较;对数的运算性质及换底公式的应用.
    2、指数函数的概念、图象和性质;对数函数的图象和性质的应用.
    3、指数函数与其他函数的综合问题;对数函数与其他知识的综合应用.

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、(1)三个数${\displaystyle 6^{0.7}、{0.7}^6、{\text{log}}_{0.7}6}$的大小顺序是(   )
    A.${\displaystyle {0.7}^6＜{\text{log}}_{0.7}6＜6^{0.7}}$     B.${\displaystyle {0.7}^6＜6^{0.7}＜{\text{log}}_{0.7}6}$
    C.${\displaystyle {\text{log}}_{0.7}6＜6^{0.7}＜{0.7}^6}$     D.${\displaystyle {\text{log}}_{0.7}6＜{0.7}^6＜6^{0.7}}$
    (2)已知x，y，z＞0且lgx+lgy+lgz=0，求${\displaystyle x^{\frac{1}{\text{lg}y}+\frac{1}{\text{lg}z}}·y^{\frac{1}{\text{lg}z}+\frac{1}{\text{lg}x}}·z^{\frac{1}{\text{lg}x}+\frac{1}{\text{lg}y}}}$的值

提示	示范
(1)尽管${\displaystyle {\text{log}}_{0.7}6}$不是幂的形式，但它是个负值．因此关键是比较两个正数${\displaystyle 6^{0.7}}$与${\displaystyle {0.7}^6}$的大小，可用中间值“1”比较.     (2)由于所求式子的形式是三项积的形式，每一项又都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算法则，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些．故想到用参数法，设所求式子的值为t．
解:(1)∵${\displaystyle {\text{log}}_{0.7}6＜0,{0.7}^6＞0,6^{0.7}＞0}$,∴${\displaystyle {\text{log}}_{0.7}6}$最小．     又0＜${\displaystyle {0.7}^6}$＜1，${\displaystyle 6^{0.7}}$＞1，∴${\displaystyle {0.7}^6＜1＜6^{0.7}}$．因此选D．     答案：D     (2)令${\displaystyle x^{\frac{1}{\text{lg}y}+\frac{1}{\text{lg}z}}·y^{\frac{1}{\text{lg}z}+\frac{1}{\text{lg}x}}·z^{\frac{1}{\text{lg}x}+\frac{1}{\text{lg}y}}}$=t，则     ${\displaystyle \text{lg}t=(\frac{1}{\text{lg}y}+\frac{1}{\text{lg}z})·\text{lg}x+(\frac{1}{\text{lg}z}+\frac{1}{\text{lg}x})·\text{lg}y+(\frac{1}{\text{lg}x}+\frac{1}{\text{lg}y})·\text{lg}z}$     =${\displaystyle \frac{\text{lg}x}{\text{lg}y}+\frac{\text{lg}x}{\text{lg}z}+\frac{\text{lg}y}{\text{lg}z}+\frac{\text{lg}y}{\text{lg}x}+\frac{\text{lg}z}{\text{lg}x}+\frac{\text{lg}z}{\text{lg}y}}$     =${\displaystyle \frac{\text{lg}x+\text{lg}z}{\text{lg}y}+\frac{\text{lg}x+\text{lg}y}{\text{lg}z}+\frac{\text{lg}y+\text{lg}z}{\text{lg}x}}$     =${\displaystyle \frac{-\text{lg}y}{\text{lg}y}+\frac{-\text{lg}z}{\text{lg}z}+\frac{-\text{lg}x}{\text{lg}x}}$     =-3     ∴${\displaystyle t={10}^{-3}=\frac{1}{1000}}$即为所求．     评注:(1)利用指数函数的单调性比较大小，通常需要选一个中间量．中间量的选取比较灵活，其基本原则是：中间量与两个指数的底数或指数相同．

    2、(1)在${\displaystyle P(1，1)}$、${\displaystyle Q(1，2)}$、${\displaystyle M(2，3)}$和${\displaystyle N(\frac{1}{2}，\frac{1}{4})}$四点中，函数${\displaystyle y=a^x}$的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点(   )
    A．P     B．Q     C．M     D．N
    (2)根据下列不等式确定a的取值范围：
    ①${\displaystyle {\text{log}}_a\frac{2}{3}}$＜1；②${\displaystyle {\text{log}}_a(1-2a)}$＜1；③${\displaystyle {\text{log}}_a(1-2a)}$＞0．

提示	示范
(1)本题可以求出${\displaystyle y=a^x}$的反函数${\displaystyle y={\text{log}}_{a}x}$，用逐个验证法选出答案.     (2)根据对数的性质，对字母a进行分类讨论．
解:(1)显然A、B选项不正确，因为text(log)_a1=0，其值不可能为1、2．     若M(2，3)在函数${\displaystyle y=a^x}$的图象上，则${\displaystyle 3=a^2}$．     又M(2，3)在其反函数${\displaystyle y={\text{log}}_{a}x}$的图象上，则${\displaystyle 3={\text{log}}_{a}2}$，此时a无解．     若N${\displaystyle (\frac{1}{2}，\frac{1}{4})}$在函数${\displaystyle y=a^x}$的图象上，则${\displaystyle \frac{1}{4}=a^{\frac{1}{2}}}$，解得${\displaystyle a=\frac{1}{16}}$．     又N${\displaystyle (\frac{1}{2}，\frac{1}{4})}$在其反函数${\displaystyle y={\text{log}}_{a}x}$的图象上，则${\displaystyle \frac{1}{4}={\text{log}}_a\frac{1}{2}}$， 解得${\displaystyle a=\frac{1}{16}}$，故N为公共点．     答案：D     (2)①显然，当a＞1时，不等式成立．当0＜a＜1时，由l${\displaystyle {\text{log}}_a\frac{2}{3}＜1={\text{log}}_{a}a}$，     得${\displaystyle 0＜a＜\frac{2}{3}}$．故所求a的取值范围为${\displaystyle 0＜a＜\frac{2}{3}}$或a＞1．     ②原不等式等价于${\displaystyle \{\begin{array}{l}a＞1，\\ 0＜1-2a＜a\end{array}}$I或${\displaystyle \{\begin{array}{l}0＜a＜1，\\ 1-2a＞a\end{array}}$II     由I得a∈${\displaystyle \varnothing }$；由II知${\displaystyle 0＜a＜\frac{1}{3}}$．     ∴${\displaystyle a\in (0，\frac{1}{3})}$．     ③原不等式等价于${\displaystyle \{\begin{array}{l}a＞1，\\ 1-2a＞1\end{array}}$或${\displaystyle \{\begin{array}{l}0＜a＜1，\\ 0＜1-2a＜1\end{array}}$．     解之，得${\displaystyle 0＜a＜\frac{1}{2}}$．     评注:(1)考查指数函数的图象和性质的高考题非常重要，要弄准记熟，并注意结合图象分析．     (2)由此类不等式确定a的取值范围，本质上是单调性的应用，但要注意对a的取值情况进行分类讨论．讨论的原因就是欲利用对数函数的单调性，将含对数的不等式，转化为代数不等式．

    3、(1)设${\displaystyle f\left(x\right)=\text{lg}\frac{1+2^x+4^x•a}{3}}$，其中${\displaystyle a\in R}$，如果当${\displaystyle x\in (-\infty ，1]}$时，f(x)有意义，求a的取值范围．
    (2)已知x满足不等式${\displaystyle 2{\left({\text{log}}_{\frac{1}{2}}x\right)}^2+7{\text{log}}_{\frac{1}{2}}x+3}$≤0，求函数${\displaystyle f\left(x\right)={\text{log}}_2\frac{x}{4}•{\text{log}}_2\frac{x}{2}}$的最大值和最小值．

提示	示范
(1)本题可采用命题转化思想．f(x)有意义，必须${\displaystyle \frac{1+2^x+4^x•a}{3}＞0}$，将原命题转化为不等式，再变形为${\displaystyle a＞-{\left(\frac{1}{4}\right)}^x-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x}$，进行转化为求指数函数的最值，最后转化为求指数函数的单调区间.     (2)运用对数函数的单调性以及求函数最值的方法先求出${\displaystyle {\text{log}}_{\frac{1}{2}}x}$的范围，再求f(x)的最值.
解:(1)∵${\displaystyle \frac{1+2^x+4^x•a}{3}＞0}$，x∈(-∞，1],∴${\displaystyle a＞-{\left(\frac{1}{4}\right)}^x-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x}$,     当且仅当a大于${\displaystyle g\left(x\right)=-{\left(\frac{1}{4}\right)}^x-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x}$的最大值时，${\displaystyle a＞-{\left(\frac{1}{4}\right)}^x-{\left(\frac{1}{2}\right)}^x}$恒成立．     而g(x)在R上是单调递增函数，又x∈(-∞，1]，     ∴当且仅当x=1时，g(x)的最大值为${\displaystyle -\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{4}}$．     ∴${\displaystyle a＞-\frac{3}{4}}$．     (2)由${\displaystyle 2{\left({\text{log}}_{\frac{1}{2}}x\right)}^2+7{\text{log}}_{\frac{1}{2}}x+3}$≤0     可解得-3≤${\displaystyle {\text{log}}_{\frac{1}{2}}x}$≤-${\displaystyle \frac{1}{2}}$即sqrt(2)≤x≤8     ∴${\displaystyle \frac{1}{2}}$≤${\displaystyle {\text{log}}_{2}x}$≤3     ∵${\displaystyle f\left(x\right)=({\text{log}}_{2}x-2)({\text{log}}_{2}x-1)={({\text{log}}_{2}x-\frac{3}{2})}^2-\frac{1}{4}}$     ∴当${\displaystyle {\text{log}}_{2}x=\frac{3}{2}}$，即${\displaystyle x=2\sqrt{2}}$时，f(x)有最小值-${\displaystyle \frac{1}{4}}$．     又当${\displaystyle {\text{log}}_{2}x=3}$，即x=8时，f(x)有最大值2.     ∴${\displaystyle {f\left(x\right)}_{min}=-\frac{1}{4}，{f\left(x\right)}_{max}=2}$．     评注:(1)转化思想是一种重要的数学思想，掌握这种题型的解法，便会大幅度提升你的数学能力．解f(x)≥a(或f(x)≤a)在定义域内恒成立问题，通常都要求f(x)的最大值或最小值，从而转化为解不等式的问题．      (2)此类题目用配方法求最值，在求最值时要注意自变量的取值范围.

    学习感悟
    1、指数式、对数式的运算，求值、化简、证明等问题主要运用幂、对数的运算则及性质加以解决，在使用运算法则时要注意法则的逆用．在指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．
    2、在分数指数幂的运算中，要注意公式变式使用，如${\displaystyle a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}=\frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}},a+b=(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})[a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}]}$等形式．
    3、比较大小的一般步骤：(1)先分类，即以O，1等为界数，把各数进行归类；(2)同类数中再找同底数、同指数、同真数借用函数的性质与图象进行比较，再复杂的，可用引入 中间量、作差、作商、换底等方法比较．
    4、对于指数函数、对数与其它函数的复合函数的定义域、值域、最值的运算，要注意用换元的思想去解决．
    5、对含参数的指数函数、对数函数研究单调性时，要注意对底分类讨论．解决对数问题时，首先要考虑定义域.