立体几何 - 91学

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2023年高考数学新高考Ⅱ-14（5分）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ____．【答案详解】

2023年高考数学新高考Ⅱ-9（5分）已知圆锥的顶点为

$P$ ，底面圆心为

$O$ ，

$AB$ 为底面直径，

$\angle APB=120^\circ$ ，

$PA=2$ ，点

$C$ 在底面圆周上，且二面角

$P-AC-O$ 为

$45^\circ$ ，则

$($ 　　

$)$
A．该圆锥的体积为

$\pi$ B．该圆锥的侧面积为

$4\sqrt{3}\pi$
C．

$AC=2\sqrt{2}$ D．

$\Delta PAC$ 的面积为

$\sqrt{3}$ 【答案详解】

2023年高考数学新高考Ⅰ-18（12分）如图，在正四棱柱

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，

$AB=2$ ，

$AA_{1}=4$ ．点

$A_{2}$ ，

$B_{2}$ ，

$C_{2}$ ，

$D_{2}$ 分别在棱

$AA_{1}$ ，

$BB_{1}$ ，

$CC_{1}$ ，

$DD_{1}$ 上，

$AA_{2}=1$ ，

$BB_{2}=DD_{2}=2$ ，

$CC_{2}=3$ ．
（1）证明：

$B_{2}C_{2}//A_{2}D_{2}$ ；
（2）点

$P$ 在棱

$BB_{1}$ 上，当二面角

$P-A_{2}C_{2}-D_{2}$ 为

$150^\circ$ 时，求

$B_{2}P$ ．

【答案详解】

2023年高考数学新高考Ⅰ-14（5分）在正四棱台

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，

$AB=2$ ，

$A_{1}B_{1}=1$ ，

$AA_{1}=\sqrt{2}$ ，则该棱台的体积为______．【答案详解】

2023年高考数学新高考Ⅰ-12（5分）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：

$m)$ 的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有

$($ 　　

$)$
A．直径为

$0.99m$ 的球体
B．所有棱长均为

$1.4m$ 的四面体
C．底面直径为

$0.01m$ ，高为

$1.8m$ 的圆柱体
D．底面直径为

$1.2m$ ，高为

$0.01m$ 的圆柱体【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-20（12分）如图，

$PO$ 是三棱锥

$P-ABC$ 的高，

$PA=PB$ ，

$AB\bot AC$ ，

$E$ 为

$PB$ 的中点．
（1）证明：

$OE//$ 平面

$PAC$ ；
（2）若

$\angle ABO=\angle CBO=30^\circ$ ，

$PO=3$ ，

$PA=5$ ，求二面角

$C-AE-B$ 的正弦值．

【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-11（5分）如图，四边形

$ABCD$ 为正方形，

$ED\bot$ 平面

$ABCD$ ，

$FB//ED$ ，

$AB=ED=2FB$ ．记三棱锥

$E-ACD$ ，

$F-ABC$ ，

$F-ACE$ 的体积分别为

$V_{1}$ ，

$V_{2}$ ，

$V_{3}$ ，则(　　)

A．

$V_{3}=2V_{2}$ B．

$V_{3}=V_{1}$ C．

$V_{3}=V_{1}+V_{2}$ D．

$2V_{3}=3V_{1}$ 【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-7（5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为

$3\sqrt{3}$ 和

$4\sqrt{3}$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．

$100\pi$ B．

$128\pi$ C．

$144\pi$ D．

$192\pi$ 【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅰ-19（12分）如图，直三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 的体积为4，△

$A_{1}BC$ 的面积为

$2\sqrt{2}$ ．
（1）求

$A$ 到平面

$A_{1}BC$ 的距离；
（2）设

$D$ 为

$A_{1}C$ 的中点，

$AA_{1}=AB$ ，平面

$A_{1}BC\bot$ 平面

$ABB_{1}A_{1}$ ，求二面角

$A-BD-C$ 的正弦值．

【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅰ-9（5分）已知正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ ，则(　　)
A．直线

$BC_{1}$ 与

$DA_{1}$ 所成的角为

$90^\circ$
B．直线

$BC_{1}$ 与

$CA_{1}$ 所成的角为

$90^\circ$
C．直线

$BC_{1}$ 与平面

$BB_{1}D_{1}D$ 所成的角为

$45^\circ$
D．直线

$BC_{1}$ 与平面

$ABCD$ 所成的角为

$45^\circ$ 【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅰ-8（5分）已知正四棱锥的侧棱长为

$l$ ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为

$36\pi$ ，且

$3\leqslant l\leqslant 3\sqrt{3}$ ，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　)
A．

$[18$ ，

$\dfrac{81}{4}]$ B．

$[\dfrac{27}{4}$ ，

$\dfrac{81}{4}]$ C．

$[\dfrac{27}{4}$ ，

$\dfrac{64}{3}]$ D．

$[18$ ，

$27]$ 【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅰ-4（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔

$148.5m$ 时，相应水面的面积为

$140.0km^{2}$ ；水位为海拔

$157.5m$ 时，相应水面的面积为

$180.0km^{2}$ ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔

$148.5m$ 上升到

$157.5m$ 时，增加的水量约为

$(\sqrt{7}\approx 2.65)($ 　　)
A．

$1.0\times 10^{9}m^{3}$ B．

$1.2\times 10^{9}m^{3}$ C．

$1.4\times 10^{9}m^{3}$ D．

$1.6\times 10^{9}m^{3}$ 【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅰ-20如图，在三棱锥

$A-BCD$ 中，平面

$ABD\bot$ 平面

$BCD$ ，

$AB=AD$ ，

$O$ 为

$BD$ 的中点．
（1）证明：

$OA\bot CD$ ；
（2）若

$\Delta OCD$ 是边长为1的等边三角形，点

$E$ 在棱

$AD$ 上，

$DE=2EA$ ，且二面角

$E-BC-D$ 的大小为

$45^\circ$ ，求三棱锥

$A-BCD$ 的体积．

【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅰ-12（5分）在正三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，

$AB=AA_{1}=1$ ，点

$P$ 满足

$\overrightarrow{BP}=\lambda \overrightarrow{BC}+\mu \overrightarrow{B{B}_{1}}$ ，其中

$\lambda \in [0$ ，

$1]$ ，

$\mu \in [0$ ，

$1]$ ，则(　　)
A．当

$\lambda =1$ 时，△

$AB_{1}P$ 的周长为定值
B．当

$\mu =1$ 时，三棱锥

$P-A_{1}BC$ 的体积为定值
C．当

$\lambda =\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点

$P$ ，使得

$A_{1}P\bot BP$
D．当

$\mu =\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点

$P$ ，使得

$A_{1}B\bot$ 平面

$AB_{1}P$ 【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅰ-12（5分）在正三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，

$AB=AA_{1}=1$ ，点

$P$ 满足

$\overrightarrow{BP}=\lambda \overrightarrow{BC}+\mu \overrightarrow{B{B}_{1}}$ ，其中

$\lambda \in [0$ ，

$1]$ ，

$\mu \in [0$ ，

$1]$ ，则(　　)
A．当

$\lambda =1$ 时，△

$AB_{1}P$ 的周长为定值
B．当

$\mu =1$ 时，三棱锥

$P-A_{1}BC$ 的体积为定值
C．当

$\lambda =\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点

$P$ ，使得

$A_{1}P\bot BP$
D．当

$\mu =\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点

$P$ ，使得

$A_{1}B\bot$ 平面

$AB_{1}P$ 【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅰ-12（5分）在正三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，

$AB=AA_{1}=1$ ，点

$P$ 满足

$\overrightarrow{BP}=\lambda \overrightarrow{BC}+\mu \overrightarrow{B{B}_{1}}$ ，其中

$\lambda \in [0$ ，

$1]$ ，

$\mu \in [0$ ，

$1]$ ，则(　　)
A．当

$\lambda =1$ 时，△

$AB_{1}P$ 的周长为定值
B．当

$\mu =1$ 时，三棱锥

$P-A_{1}BC$ 的体积为定值
C．当

$\lambda =\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点

$P$ ，使得

$A_{1}P\bot BP$
D．当

$\mu =\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点

$P$ ，使得

$A_{1}B\bot$ 平面

$AB_{1}P$ 【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅰ-3（5分）已知圆锥的底面半径为

$\sqrt{2}$ ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　)
A．2
B．

$2\sqrt{2}$
C．4
D．

$4\sqrt{2}$ 【答案详解】

2021年高考数学新高考Ⅰ-3（5分）已知圆锥的底面半径为

$\sqrt{2}$ ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　)
A．2
B．

$2\sqrt{2}$
C．4
D．

$4\sqrt{2}$ 【答案详解】

2020年高考数学新高考Ⅱ-20（12分）如图，四棱锥

$P-ABCD$ 的底面为正方形，

$PD\bot$ 底面

$ABCD$ ．设平面

$PAD$ 与平面

$PBC$ 的交线为

$l$ ．
（1）证明：

$l\bot$ 平面

$PDC$ ；
（2）已知

$PD=AD=1$ ，

$Q$ 为

$l$ 上的点，

$QB=\sqrt{2}$ ，求

$PB$ 与平面

$QCD$ 所成角的正弦值．【答案详解】

2020年高考数学新高考Ⅱ-13已知正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的棱长为2，

$M$ 、

$N$ 分别为

$BB_{1}$ 、

$AB$ 的中点，则三棱锥

$A-NMD_{1}$ 的体积为____．【答案详解】

2020年高考数学新高考Ⅱ-4日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为

$O)$ ，地球上一点

$A$ 的纬度是指

$OA$ 与地球赤道所在平面所成角，点

$A$ 处的水平面是指过点

$A$ 且与

$OA$ 垂直的平面．在点

$A$ 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点

$A$ 处的纬度为北纬

$40^\circ$ ，则晷针与点

$A$ 处的水平面所成角为(　　)
A．

$20^\circ$
B．

$40^\circ$
……【答案详解】

2020年高考数学全国卷Ⅲ--文19(2020全国Ⅲ卷计算题)如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，。证明：（1）当时，。（2）点在平面内。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ卷）：文数第19题【答案】（1）连接，，如图所示。根据长方体的性质，有平面，因为平面，所以，因为，所【答案详解】

2020年高考数学全国卷Ⅲ--文16(2020全国Ⅲ卷其他)已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥内半径最大的球的体积为_____。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ卷）：文数第16题【答案】【解析】本题主要考查空间几何体。画出圆锥的轴截【答案详解】

2020年高考数学全国卷Ⅲ--文9(2020全国Ⅲ卷单选题)右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）。【A】【B】【C】【D】【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ卷）：文数第9题【题情】本题共被作答15378次，正确率为56.65%，易错项为A【答案详解】

2020年高考数学全国卷Ⅱ--文20(2020全国Ⅱ卷计算题)如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于。（1）证明：，且平面平面。（2）设为的中心，若，平面，且，求四棱锥的体积。【出处】2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标【答案详解】

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