2023年高考数学新高考Ⅰ-14

（5分）在正四棱台

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，

$AB=2$ ，

$A_{1}B_{1}=1$ ，

$AA_{1}=\sqrt{2}$ ，则该棱台的体积为　

$\dfrac{7\sqrt{6}}{6}$ 　．
分析：先根据题意求出四棱台的高，再代入台体的体积公式即可求解．
解：

如图，设正四棱台

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的上下底面中心分别为

$M$ ，

$N$ ，
过

$A_{1}$ 作

$A_{1}H\bot AC$ ，垂足点为

$H$ ，由题意易知

$A_{1}M=HN=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，又

$AN=\sqrt{2}$ ，

$\therefore AH=AN-HN=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，又

$AA_{1}=\sqrt{2}$ ，

$\therefore A_{1}H=MN=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ ，

$\therefore$ 该四棱台的体积为

$\dfrac{1}{3}\times (1+4+\sqrt{1\times 4})\times \dfrac{\sqrt{6}}{2}=\dfrac{7\sqrt{6}}{6}$ ．
故答案为：

$\dfrac{7\sqrt{6}}{6}$ ．
点评：本题考查台体的体积公式的应用，属基础题．

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