2023年高考数学新高考Ⅱ-14

（5分）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ____．
分析：根据题意易知△

$SO_{1}A_{1}\backsim \Delta SOA$ ，从而可求出台体的高，再根据台体的体积公式，计算即可得解．
解：如图所示，根据题意易知△

$SO_{1}A_{1}\backsim \Delta SOA$ ，

$\therefore$

$\dfrac{S{O}_{1}}{SO}=\dfrac{{O}_{1}{A}_{1}}{OA}=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}$ ，又

$SO_{1}=3$ ，

$\therefore SO=6$ ，

$\therefore OO_{1}=3$ ，又上下底面正方形边长分别为2，4，

$\therefore$ 所得棱台的体积为

$\dfrac{1}{3}\times (4+16+\sqrt{4\times 16})\times 3=28$ ．
故答案为：28．
点评：本题考查台体的体积的求解，化归转化思想，方程思想，属基础题．

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