2022年高考数学新高考Ⅱ-7

（5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为

$3\sqrt{3}$ 和

$4\sqrt{3}$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．

$100\pi$ B．

$128\pi$ C．

$144\pi$ D．

$192\pi$
分析：求出上底面及下底面所在平面截球所得圆的半径，作出轴截面图，根据几何知识可求得球的半径，进而得到其表面积．
解：当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为

$\dfrac{3\sqrt{3}}{2\sin 60^\circ }=3$ ，下底面所在平面截球所得圆的半径为

$\dfrac{4\sqrt{3}}{2\sin 60^\circ }=4$ ，如图，

设球的半径为

$R$ ，则轴截面中由几何知识可得

$\sqrt{{R}^{2}-{3}^{2}}-\sqrt{{R}^{2}-{4}^{2}}=1$ ，解得

$R=5$ ，

$\therefore$ 该球的表面积为

$4\pi R^{2}=4\pi \times 25=100\pi$ ．
当球心在台体内时，如图，

此时

$\sqrt{{R}^{2}-{3}^{2}}+\sqrt{{R}^{2}-{4}^{2}}=1$ ，无解．
综上，该球的表面积为

$100\pi$ ．
故选：

$A$ ．
点评：本题考查球的表面积求解，同时还涉及了正弦定理的运用，考查了运算求解能力，对空间想象能力要求较高，属于较难题目．

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