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2023年高考数学新高考Ⅱ-9

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（5分）已知圆锥的顶点为

$P$ ，底面圆心为

$O$ ，

$AB$ 为底面直径，

$\angle APB=120^\circ$ ，

$PA=2$ ，点

$C$ 在底面圆周上，且二面角

$P-AC-O$ 为

$45^\circ$ ，则

$($ 　　

$)$
A．该圆锥的体积为

$\pi$ B．该圆锥的侧面积为

$4\sqrt{3}\pi$
C．

$AC=2\sqrt{2}$ D．

$\Delta PAC$ 的面积为

$\sqrt{3}$
答案：

$AC$
分析：作图，取

$AC$ 中点

$D$ ，易知

$\angle PDO=45^\circ$ ，然后再逐项分析判断即可．
解：取

$AC$ 中点

$D$ ，则

$OD\bot AC$ ，

$PD\bot AC$ ，

由二面角的定义可知，二面角

$P-AC-O$ 的平面角即为

$\angle PDO=45^\circ$ ，
对于

$A$ ，

$\Delta PAB$ 中，由于

$PA=PB=2$ ，

$\angle APB=120^\circ$ ，
则

$PO=1$ ，

$AO=\sqrt{3}$ ，
则

$OD=1$ ，

$V=\dfrac{1}{3}\cdot 3\pi \cdot 1=\pi$ ，选项

$A$ 正确．
对于

$B$ ，

${{S}_{}}=\pi \times \sqrt{3}\times 2=2\sqrt{3}\pi$ ，选项

$B$ 错误．
对于

$C$ ，

$AC=2\sqrt{3-1}=2\sqrt{2}$ ，选项

$C$ 正确．
对于

$D$ ，

$PD=\sqrt{2}$ ，

${{S}_{\Delta PAC}}=\dfrac{1}{2}\times \sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=2$ ，选项

$D$ 错误．
故选：

$AC$ ．
点评：本题考查二面角的定义，考查立体几何中的距离求解，考查运算求解能力，属于中档题．

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