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2021年高考数学新高考Ⅰ-19<-->2021年高考数学新高考Ⅰ-21
（12分）如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．
（1）证明：OA⊥CD；
（2）若ΔOCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E−BC−D的大小为45∘，求三棱锥A−BCD的体积．
分析：（1）利用等腰三角形中线就是高，得到AO⊥BD，然后利用面面垂直的性质，得到AO⊥平面BCD，再利用线面垂直的性质，即可证明AO⊥CD；
（2）建立合适的空间直角坐标系，设A(0，0，t)，利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求出t的值，然后利用锥体的体积公式求解即可．
解：（1）证明：因为AB=AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面BCD，
所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，
所以AO⊥CD；
（2）取OD的中点F，因为ΔOCD为正三角形，所以CF⊥OD，
过O作OM//CF与BC交于点M，则OM⊥OD，
所以OM，OD，OA两两垂直，
以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则B(0，−1，0)，C(√32,12,0)，D(0，1，0)，
设A(0，0，t)，则E(0,13,2t3)，
因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为→OA=(0,0,t)，
设平面BCE的法向量为→n=(x,y,z)，
又→BC=(√32,32,0),→BE=(0,43,2t3)，
所以由{→n⋅→BC=0→n⋅→BE=0，得{√32x+32y=043y+2t3z=0，
令x=√3，则y=−1，z=2t，故→n=(√3,−1,2t)，
因为二面角E−BC−D的大小为45∘，
所以|cos<→n,→OA>|=|→n⋅→OA||→n||→OA|=2t√4+4t2=√22，
解得t=1，所以OA=1，
又SΔOCD=12×1×1×√32=√34，所以SΔBCD=√32，
故VA−BCD=13⋅SΔBCD⋅OA=13×√32×1=√36．
点评：本题考查了面面垂直和线面垂直的性质，在求解有关空间角问题的时候，一般要建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题，属于中档题．
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