2022年高考数学新高考Ⅱ-21（12分）已知双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$的右焦点为$F(2,0)$，渐近线方程为$y=\pm \sqrt{3}x$．
（1）求$C$的方程；
（2）过$F$的直线与$C$的两条渐近线分别交于$A$，$B$两点，点$P(x_{1}$，$y_{1})$，$Q(x_{2}$，$y_{2})$在$C$上，且$x_{1} > x_{2} > 0$，$y_{1} > 0$．过$P$且斜率为$-\sqrt{3}$的直线与过$Q$且斜率为$\sqrt{3}$的直线交于点$M$．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①$M$在$AB$上；②$PQ//AB$；③$\vert MA\vert =\vert MB\vert$．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案详解】 |
2022年高考数学新高考Ⅱ-22（12分）已知函数$f(x)=xe^{ax}-e^{x}$．
（1）当$a=1$时，讨论$f(x)$的单调性；
（2）当$x > 0$时，$f(x) < -1$，求$a$的取值范围；
（3）设$n\in N^{*}$，证明：$\dfrac{1}{\sqrt{{1^2}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{2^2}+2}}+\ldots +\dfrac{1}{\sqrt{{n^2}+n}} > \ln (n+1)$．【答案详解】 |
