2022年新高考2

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2022年高考数学新高考Ⅱ-1（5分）已知集合

$A=\{-1$ ，1，2，

$4\}$ ，

$B=\{x\vert \vert x-1\vert \leqslant 1\}$ ，则

$A\bigcap B=$ (　　)
A．

$\{-1$ ，

$2\}$ B．

$\{1$ ，

$2\}$ C．

$\{1$ ，

$4\}$ D．

$\{-1$ ，

$4\}$ 【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-2（5分）

$(2+2i)(1-2i)=($ 　　)
A．

$-2+4i$ B．

$-2-4i$ C．

$6+2i$ D．

$6-2i$ 【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-3（5分）图1是中国古代建筑中的举架结构，

$AA\prime$ ，

$BB\prime$ ，

$CC\prime$ ，

$DD\prime$ 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中

$DD_{1}$ ，

$CC_{1}$ ，

$BB_{1}$ ，

$AA_{1}$ 是举，

$OD_{1}$ ，

$DC_{1}$ ，

$CB_{1}$ ，

$BA_{1}$ 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

$\dfrac{D{D_1}}{O{D_1}}=0.5$ ，

$\dfrac{C{C_1}}{D{C_1}}=k_{1}$ ，

$\dfrac{B{B_1}}{C{B_1}}=k_{2}$ ，

$\dfrac{A{A_1}}{B{A_1}}=k_{3}$ ．已知

$k_{1}$ ，

$k_{2}$ ，

$k_{3}$ 成公差为0.1的等差数列，且直线

$OA$ 的斜率为0.725，则

$k_{3}=($ 　　)

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-4（5分）已知向量

$\overrightarrow{a}=(3,4)$ ，

$\overrightarrow{b}=(1,0)$ ，

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$ ，若

$< \overrightarrow{a}$ ，

$\overrightarrow{c} > = < \overrightarrow{b}$ ，

$\overrightarrow{c} >$ ，则

$t=($ 　　)
A．

$-6$ B．

$-5$ C．5 D．6【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-5（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　　)
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-6（5分）若

$\sin (\alpha +\beta )+\cos (\alpha +\beta )=2\sqrt{2}\cos (\alpha +\dfrac{\pi }{4})\sin \beta$ ，则(　　)
A．

$\tan (\alpha -\beta )=1$ B．

$\tan (\alpha +\beta )=1$ C．

$\tan (\alpha -\beta )=-1$ D．

$\tan (\alpha +\beta )=-1$ 【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-7（5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为

$3\sqrt{3}$ 和

$4\sqrt{3}$ ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．

$100\pi$ B．

$128\pi$ C．

$144\pi$ D．

$192\pi$ 【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-8（5分）已知函数

$f(x)$ 的定义域为

$R$ ，且

$f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)$ ，

$f$ （1）

$=1$ ，则

$\sum\limits_{k=1}^{22}f(k)=($ 　　)
A．

$-3$ B．

$-2$ C．0 D．1【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-9（5分）已知函数

$f(x)=\sin (2x+\varphi )(0 < \varphi < \pi )$ 的图像关于点

$(\dfrac{2\pi }{3}$ ，

$0)$ 中心对称，则(　　)
A．

$f(x)$ 在区间

$(0,\dfrac{5\pi }{12})$ 单调递减
B．

$f(x)$ 在区间

$(-\dfrac{\pi }{12}$ ，

$\dfrac{11\pi }{12})$ 有两个极值点
C．直线

$x=\dfrac{7\pi }{6}$ 是曲线

$y=f(x)$ 的对称轴
D．直线

$y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-x$ 是曲线

$y=f(x)$ 的切线【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-10（5分）已知

$O$ 为坐标原点，过抛物线

$C:y^{2}=2px(p > 0)$ 焦点

$F$ 的直线与

$C$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，其中

$A$ 在第一象限，点

$M(p,0)$ ．若

$\vert AF\vert =\vert AM\vert$ ，则(　　)
A．直线

$AB$ 的斜率为

$2\sqrt{6}$ B．

$\vert OB\vert =\vert OF\vert$
C．

$\vert AB\vert > 4\vert OF\vert$ D．

$\angle OAM+\angle OBM < 180^\circ$ 【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-11（5分）如图，四边形

$ABCD$ 为正方形，

$ED\bot$ 平面

$ABCD$ ，

$FB//ED$ ，

$AB=ED=2FB$ ．记三棱锥

$E-ACD$ ，

$F-ABC$ ，

$F-ACE$ 的体积分别为

$V_{1}$ ，

$V_{2}$ ，

$V_{3}$ ，则(　　)

A．

$V_{3}=2V_{2}$ B．

$V_{3}=V_{1}$ C．

$V_{3}=V_{1}+V_{2}$ D．

$2V_{3}=3V_{1}$ 【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-12（5分）若

$x$ ，

$y$ 满足

$x^{2}+y^{2}-xy=1$ ，则(　　)
A．

$x+y\leqslant 1$ B．

$x+y\geqslant -2$ C．

$x^{2}+y^{2}\leqslant 2$ D．

$x^{2}+y^{2}\geqslant 1$ 【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-13（5分）已知随机变量

$X$ 服从正态分布

$N(2,\sigma ^{2})$ ，且

$P(2 < X\leqslant 2.5)=0.36$ ，则

$P(X > 2.5)=$ ____．【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-14（5分）曲线

$y=\ln \vert x\vert$ 过坐标原点的两条切线的方程为____.　　【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-15（5分）设点

$A(-2,3)$ ，

$B(0,a)$ ，若直线

$AB$ 关于

$y=a$ 对称的直线与圆

$(x+3)^{2}+(y+2)^{2}=1$ 有公共点，则

$a$ 的取值范围是____．
【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-16（5分）已知直线

$l$ 与椭圆

$\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 在第一象限交于

$A$ ，

$B$ 两点，

$l$ 与

$x$ 轴、

$y$ 轴分别相交于

$M$ ，

$N$ 两点，且

$\vert MA\vert =\vert NB\vert$ ，

$\vert MN\vert =2\sqrt{3}$ ，则

$l$ 的方程为____．【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-17（10分）已知

$\{a_{n}\}$ 是等差数列，

$\{b_{n}\}$ 是公比为2的等比数列，且

$a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=b_{4}-a_{4}$ ．
（1）证明：

$a_{1}=b_{1}$ ；
（2）求集合

$\{k\vert b_{k}=a_{m}+a_{1}$ ，

$1\leqslant m\leqslant 500\}$ 中元素的个数．【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-18（12分）记

$\Delta ABC$ 的内角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 的对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，分别以

$a$ ，

$b$ ，

$c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为

$S_{1}$ ，

$S_{2}$ ，

$S_{3}$ ．已知

$S_{1}-S_{2}+S_{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$\sin B=\dfrac{1}{3}$ ．
（1）求

$\Delta ABC$ 的面积；
（2）若

$\sin A\sin C=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ ，求

$b$ ．【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-19（12分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间

$[20$ ，

$70)$ 的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为

$0.1%$ ，该地区年龄位于区间

$[40$ ，

$50)$ 的人口占该地区总人口的

$16%$ ．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间

$[40$ ，

$50)$ ，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 )．

【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-20（12分）如图，

$PO$ 是三棱锥

$P-ABC$ 的高，

$PA=PB$ ，

$AB\bot AC$ ，

$E$ 为

$PB$ 的中点．
（1）证明：

$OE//$ 平面

$PAC$ ；
（2）若

$\angle ABO=\angle CBO=30^\circ$ ，

$PO=3$ ，

$PA=5$ ，求二面角

$C-AE-B$ 的正弦值．

【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-21（12分）已知双曲线

$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$ 的右焦点为

$F(2,0)$ ，渐近线方程为

$y=\pm \sqrt{3}x$ ．
（1）求

$C$ 的方程；
（2）过

$F$ 的直线与

$C$ 的两条渐近线分别交于

$A$ ，

$B$ 两点，点

$P(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$Q(x_{2}$ ，

$y_{2})$ 在

$C$ 上，且

$x_{1} > x_{2} > 0$ ，

$y_{1} > 0$ ．过

$P$ 且斜率为

$-\sqrt{3}$ 的直线与过

$Q$ 且斜率为

$\sqrt{3}$ 的直线交于点

$M$ ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①

$M$ 在

$AB$ 上；②

$PQ//AB$ ；③

$\vert MA\vert =\vert MB\vert$ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案详解】

2022年高考数学新高考Ⅱ-22（12分）已知函数

$f(x)=xe^{ax}-e^{x}$ ．
（1）当

$a=1$ 时，讨论

$f(x)$ 的单调性；
（2）当

$x > 0$ 时，

$f(x) < -1$ ，求

$a$ 的取值范围；
（3）设

$n\in N^{*}$ ，证明：

$\dfrac{1}{\sqrt{{1^2}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{2^2}+2}}+\ldots +\dfrac{1}{\sqrt{{n^2}+n}} > \ln (n+1)$ ．【答案详解】

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