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2022年高考数学新高考Ⅱ-16<-->2022年高考数学新高考Ⅱ-18
（10分）已知$\{a_{n}\}$是等差数列，$\{b_{n}\}$是公比为2的等比数列，且$a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=b_{4}-a_{4}$．
（1）证明：$a_{1}=b_{1}$；
（2）求集合$\{k\vert b_{k}=a_{m}+a_{1}$，$1\leqslant m\leqslant 500\}$中元素的个数．
分析：（1）设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，由题意可得$a_{1}+d-2b_{1}=a_{1}+2d-4b_{1}$，$a_{1}+d-2b_{1}=4d-(a_{1}+3d)$，根据这两式即可证明$a_{1}=b_{1}$；
（2）由题设条件可知$2^{k-1}=2m$，由$m$的范围，求出$k$的范围，进而得出答案．
解：（1）证明：设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，
由$a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}$，得$a_{1}+d-2b_{1}=a_{1}+2d-4b_{1}$，则$d=2b_{1}$，
由$a_{2}-b_{2}=b_{4}-a_{4}$，得$a_{1}+d-2b_{1}=8b_{1}-(a_{1}+3d)$，
即$a_{1}+d-2b_{1}=4d-(a_{1}+3d)$，
$\therefore a_{1}=b_{1}$．
（2）由（1）知，$d=2b_{1}=2a_{1}$，
由$b_{k}=a_{m}+a_{1}$知，${b}_{1}\cdot {2}^{k-1}={a}_{1}+(m-1)d+{a}_{1}$，
$\therefore$${b}_{1}\cdot {2}^{k-1}={b}_{1}+(m-1)\cdot 2{b}_{1}+{b}_{1}$，即$2^{k-1}=2m$，
又$1\leqslant m\leqslant 500$，故$2\leqslant 2^{k-1}\leqslant 1000$，则$2\leqslant k\leqslant 10$，
故集合$\{k\vert b_{k}=a_{m}+a_{1}$，$1\leqslant m\leqslant 500\}$中元素个数为9个．
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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