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2022年高考数学新高考Ⅱ-10

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（5分）已知

$O$ 为坐标原点，过抛物线

$C:y^{2}=2px(p > 0)$ 焦点

$F$ 的直线与

$C$ 交于

$A$ ，

$B$ 两点，其中

$A$ 在第一象限，点

$M(p,0)$ ．若

$\vert AF\vert =\vert AM\vert$ ，则(　　)
A．直线

$AB$ 的斜率为

$2\sqrt{6}$ B．

$\vert OB\vert =\vert OF\vert$
C．

$\vert AB\vert > 4\vert OF\vert$ D．

$\angle OAM+\angle OBM < 180^\circ$
分析：由已知可得

$A$ 的坐标，再由抛物线焦点弦的性质求得

$B$ 点坐标，然后逐一分析四个选项得答案．
解：如图，

$\because F(\dfrac{p}{2}$ ，

$0)$ ，

$M(p,0)$ ，且

$\vert AF\vert =\vert AM\vert$ ，

$\therefore A(\dfrac{3p}{4}$ ，

$\dfrac{\sqrt{6}p}{2})$ ，
由抛物线焦点弦的性质可得

${x}_{A}\cdot {x}_{B}=\dfrac{{p}^{2}}{4}$ ，则

${x}_{B}=\dfrac{p}{3}$ ，则

$B(\dfrac{p}{3}$ ，

$-\dfrac{\sqrt{6}p}{3})$ ，

$\therefore$

${k}_{AB}={k}_{AF}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{6}p}{2}-0}{\dfrac{3p}{4}-\dfrac{p}{2}}=2\sqrt{6}$ ，故

$A$ 正确；

$\vert OB\vert =\sqrt{\dfrac{{p}^{2}}{9}+\dfrac{6{p}^{2}}{9}}=\dfrac{\sqrt{7}p}{3}$ ，

$\vert OF\vert =\dfrac{p}{2}$ ，

$\vert OB\vert \ne \vert OF\vert$ ，故

$B$ 错误；

$\vert AB\vert =\dfrac{3p}{4}+\dfrac{p}{3}+p=\dfrac{25p}{12} > 2p=4\vert OF\vert$ ，故

$C$ 正确；

$\vert OA{\vert }^{2}=\dfrac{33{p}^{2}}{16}$ ，

$\vert OB{\vert }^{2}=\dfrac{7{p}^{2}}{9}$ ，

$\vert AM{\vert }^{2}=\dfrac{25{p}^{2}}{16}$ ，

$\vert BM{\vert }^{2}=\dfrac{10{p}^{2}}{9}$ ，

$\vert OM\vert =p$ ，

$\because \vert OA\vert ^{2}+\vert AM\vert ^{2} > \vert OM\vert ^{2}$ ，

$\vert OB\vert ^{2}+\vert BM\vert ^{2} > \vert OM\vert ^{2}$ ，

$\therefore \angle OAM$ ，

$\angle OBM$ 均为锐角，可得

$\angle OAM+\angle OBM < 180^\circ$ ，故

$D$ 正确．
故选：

$ACD$ ．
点评：本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．

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