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2022年高考数学新高考Ⅱ-9

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（5分）已知函数

$f(x)=\sin (2x+\varphi )(0 < \varphi < \pi )$ 的图像关于点

$(\dfrac{2\pi }{3}$ ，

$0)$ 中心对称，则(　　)
A．

$f(x)$ 在区间

$(0,\dfrac{5\pi }{12})$ 单调递减
B．

$f(x)$ 在区间

$(-\dfrac{\pi }{12}$ ，

$\dfrac{11\pi }{12})$ 有两个极值点
C．直线

$x=\dfrac{7\pi }{6}$ 是曲线

$y=f(x)$ 的对称轴
D．直线

$y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-x$ 是曲线

$y=f(x)$ 的切线
分析：直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断

$A$ 、

$B$ 、

$C$ 、

$D$ 的真假．
解：因为

$f(x)=\sin (2x+\varphi )(0 < \varphi < \pi )$ 的图象关于点

$(\dfrac{2\pi }{3}$ ，

$0)$ 对称，
所以

$2\times \dfrac{2\pi }{3}+\varphi =k\pi$ ，

$k\in Z$ ，
所以

$\varphi =k\pi -\dfrac{4\pi }{3}$ ，
因为

$0 < \varphi < \pi$ ，
所以

$\varphi =\dfrac{2\pi }{3}$ ，
故

$f(x)=\sin (2x+\dfrac{2\pi }{3})$ ，
令

$\dfrac{\pi }{2} < 2x+\dfrac{2\pi }{3} < \dfrac{3\pi }{2}$ ，解得

$-\dfrac{\pi }{12} < x < \dfrac{5\pi }{12}$ ，
故

$f(x)$ 在

$(0,\dfrac{5\pi }{12})$ 单调递减，

$A$ 正确；

$x\in (-\dfrac{\pi }{12}$ ，

$\dfrac{11\pi }{12})$ ，

$2x+\dfrac{2\pi }{3}\in (\dfrac{\pi }{2}$ ，

$\dfrac{5\pi }{2})$ ，
根据函数的单调性，故函数

$f(x)$ 在区间

$(-\dfrac{\pi }{12}$ ，

$\dfrac{11\pi }{12})$ 只有一个极值点，故

$B$ 错误；
令

$2x+\dfrac{2\pi }{3}=k\pi +\dfrac{\pi }{2}$ ，

$k\in Z$ ，得

$x=\dfrac{k\pi }{2}-\dfrac{\pi }{12}$ ，

$k\in Z$ ，

$C$ 显然错误；
结合正弦函数的图象可知，

直线

$y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-x$ 显然与

$y=\sin (2x+\dfrac{2\pi }{3})$ 相切，故直线

$y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}-x$ 显然是曲线的切线，故

$D$ 正确．
故选：

$AD$ ．
点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

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