一、高考大纲  
    考试内容：
    平面及其基本性质。平面图形直观图的画法。
    平行直线。
    直线和平面平行的判定与性质。直线和平面垂直的判定。三垂线定理及其逆定理。
    两个平面的位置关系。
    空间向量及其加法、减法与数乘。空间向量的坐标表示。空间向量的数量积。
    直线的方向向量。异面直线所成的角。异面直线的公垂线。异面直线的距离。
    直线和平面垂直的性质。平面的法向量。点到平面的距离。直线和平面所成的角。向量在平面内的射影。
    平行平面的判定和性质。平行平面间的距离。二面角及其平面角。两个平面垂直的判定和性质。
    多面体。正多面体。棱柱。棱锥。球。
    考试要求：
    (1)掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系。
    (2)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理。
    (3)理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。
    (4)了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。
    (5)掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式。
    (6)理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。
    (7)掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念。对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。掌握直线和平面垂直的性质定理。掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理。
    (8)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。
    (9)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。
    (10)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。
    (11)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积公式、体积公式。
    二、高考要览

    三、命题趋势
    从上表可以看出：近几年本章考查呈现以下特点：

    1、题型和题量：从历年的高考来看，对立体几何知识的考察还是比较稳定的，题型一般是“两小一大”，即两个选择题(或一个选择题一个填空题)加一个大题，解答题又有2～3问，分值约占整个试卷的15%～20%．

    2、知识点考察

   《直线、平面、简单儿何体(A)》这章的主要内容包括空间直线和平面的各种位置关系，几何空间几何体的概念和具有的几何性质，以及以空间几何体为载体深入探究空间中直线、平面的位置关系等问题．

    空间直线和平面的位置关系主要包括：各种位置关系的判定(线线、线画、面面)，对平行和垂直关系的判定和证明、对夹角和距离的运算等，这部分内容有很强的规律性．两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角都可以转化为平面内两条相交直线所成的角来运算，空间中的平行和垂直关系之间也是可以相互转化，互为条件和结论的．

    空间中简单几何体包括棱柱、棱锥、正多面体和球，只有准确把握了这些几何体的结构特征(概念、性质等)后，才能对其中的线面等关系有准确的认识，同时也便于其中的角与距离(球的表面积、体积)的运算．

    3、难度与创新

    本章是高中数学中的重要内容，是历年高考决定考分高低的关键．试题难度多为低档、中档，从与新课标的关系看，2006年的高考命题不同程度体现三视图等思想方法．因此应适当注意联系新课标教材．

    四、复习建议
    根据本章知识的重要性以及高考对本章内容的考查情况，复习时，应注意以下几个方面：

    1、立足教材，控制难点，突出重点

    首先要夯实基础，准确理解和把握有关概念，其次对于定理的内容(图形语言、文字语言、符号语言)、作用、常用形式等要熟悉，即把知识网络化，要让学生知道只有熟练掌握基础知识和基本的计算和论证方法，知识才能转化为灵活运用的能力．

    2、通过典型问题掌握基本解题方法

    高考中立体几何解答题的基本题型是：

    (1)证明空间线面平行或垂直；

    (2)求空间中线面的夹角或距离；

    (3)求几何体体积(多面体体积有争议，本文下面还将作详细说明)．

    (1)证明线面平行或垂直需注意以下几点：

    ①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路；

    ②在立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一；

    ③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论；

    ④证明线线、线面、画画的平行或垂直时，要注意向量法或坐标法的用，特别是垂直关系．

    (2)求空间中线面的夹角或距离需要注意以下几点：

    ①注意根据定义找出或作出所求的角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置；

    ②求异面直线所成角的常用方法是“平移”，从而转化到可解三角形中解决．作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”(垂足与斜足)，而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理；

    ③二面角复习时必须高度重视．二面角的平面角的常用作法有三种：

    (ⅰ)根据定义或图形特征作；

    (ⅱ)根据三垂线定理(或其逆定理)作，难点在于找到面的垂线，解决办法是：先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理即可找到画的垂线；

    (ⅲ)作棱的垂面．作二面角的平面角，应把握先找后作的原则．此外，还可转化为二面角两个半平面的法向量的夹角(或其补角)．
    

    ④求点到平面的距离常用方法足直接法与间接法．利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质．而间接法中常用的是等积法及向量法．
　

    ⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离或借助向量工具转化为代数问题．

    (3)体积问题需注意：

    球的体积要理解且灵活运用．关于棱柱、棱锥体积公式现行教材及大纲中已删去，但这些公式在小学、初中阶段已学习过，高考是否涉及，尚无定论．不过应该适当训练一些关于体积的题目，有备无患，可补充等积法求距离．这也给同学们增加了一种求距离的方法．

    3、依托知识，培养能力

    (1)由于近年高考数学加强了对能力的考查，因此应重视空间想象能力、逻辑思维能力、化归转化能力的培养，尤其突出的是空间想象能力，而空间想象并不是漫无边际的想，而应该以题设为根据，以某一几何体为依托．做题时要多画、多看、多想，经常这样思考会给空间想象能力插上飞翔的翅膀．

    (2)坚持培养识图、理解图、应用图的能力，注意数学符号语言、文字语言、图形语言的相互转化．在训练中，还应变换图形的位置角度，克服“标准图”带来的定势思维．

    (3)逻辑思维能力是数学能力的核心，在平时应注意训练．做到条理清晰、理由充分、表达准确．化归转化思想贯穿立体几何始终，是处理立体几何问题的基本数学思想．常用的化归转化方法有：立体几何问题向平面几何问题转化(面面问题→线面问题→线线问题)、等积转化、正难则反的转化、几何关系与代数运算的转化、图形信息与文字及符号语言的转化等．另外，分类讨论的思想，即对空间各种位置关系的认识要全面，特殊与一般的关系要把握好．这也是学生思维品质(思维的严密性)的具体体现．

    (4)近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体．由此，复习时应该重视以多面体为依托的问题，重视多面体性质的应用，才能发现隐蔽条件，利用隐蔽条件解题．

    4、从立体几何的长远发展，从数学的整体来看，同时结合新课程标准的要求，用空间向量处理立体几何问题，为解决空间几何问题提供了新的视角．为了支持和鼓励新课程、新教材的改革，本章鼓励使用9B教材．从近几年的高考题来看，用空间向量解决立体几何问题与用纯正立体几何推理和运算来解决立体几何问题并列出题．但由于使用向量法解题，主要是确定空间坐标、空间向量，通过空间向量的模和数量积等运算达到目的，有着思维含量低，容易入手的特点，降低了学生对立体几何问题的陌生度，提高了得分率，但仍要注意有效使用几何推理来辅助向量运算，以起到简化和检验的作用．

    五、思想与方法综览
    1、转化思想
    解题中要注意立体几何问题，向平面几何问题的转化，即立体问题平面化，在论证线线、线面、面面的平行与垂直关系时，要注意平行与垂直关系的转化 ．求距离与角的关键是把空间距离与角转化为平面内的距离与角．
   

    [案例]如图所示，海岛`O`上有一座海拔1000米的山，山顶上有一个观察站`A`．上午11点测得一轮船在岛北偏东`60°`的C`处，俯角`30°`，11点10分又测得该船在岛的北 偏西`60°`的`D`处，俯角`60°`，问：        

(1)这船的速度是每小时多少公里?(结果可保留根式)；     (2)如果船的航向不变，它何时达到岛的正西方向？此时所在点`E`离岛多少公里?     解:(1)如图，由`Rt△AOC`和`Rt△AOD`，可求得`OC=sqrt3`公里，     `OD=sqrt3/3`公里     又在`△ODC`中     `DC^2=OC^2+OD^2-2·OC·ODcosl20°`     `=3+1/3+1=13/3     `:.DC=sqrt39/3`(公里)     `:.`速度`v=(DC)/10xx60=sqrt39/3xx6=2sqrt39`(公里/小时)     (2)如图，过`C`点作`CF"//"OD`，则`/_CFE=/_DOE=30°`，     `OC=CF=sqrt3`     `.:△OED~△FEC`     `:.OE=1/3EF`     作`CM_|_OF`，则`OM=1/2OF`     `:.OE=OM=MF`     在`Rt△OMC`中，`OM=OC·cos30°=sqrt3·sqrt3/2=OE=3/2`     在`Rt△EOC`中，`CE^2=OE^2+OC^2-2OE·OCcos150°=39/4`

    `:.CE=sqrt39/2`，故`t=(CE)/v=1/4`(小时)，即11点15分到达岛的正西方向，此时船在`E`点距离岛1.5公里．

    2、数形结合的思想
    运用几何知识通过对图形性质的研究，去解决数量关系问题，这是数形结合思想在几何中的应用，借助几何图形
忭质研究代数问题，需构造几何模利，把数量关系转化为图形的特征来研究．

    [案例]已知`alpha、beta、gamma`均为锐角，且`cos^2alpha+cos^2beta+cos^2gamma=1`

    求证：`tanalpha+tanbeta+tangamma≥3sqrt2`
    分析:这是一道三角不等式证明题，直接证非常困难．如果从`alpha、beta、gamma`间关系的结构联想长方体中的角具有这个关系，启发我们构造长方体，化数为形，利用几何的直观性，沟通信息就能使解法更简明．
    

    证明:由已知条件作长方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`，如图，使`/_C_1AD=alpha，/_C_1AB=beta，/_C_1A A_l=gamma`

    设`AD=a，AB=b，A A_1=c`，则`tanalpha=sqrt(b^2+c^2)/a`，`tanbeta=sqrt(c^2+a^2)/b`，`tangamma=sqrt(a^2+b^2)/c`        

由不等式`x^2+y^2-((x+y)/sqrt2)^2=(x-y)^2/2≥0`     `:.x^2+y^2≥((x+y)/sqrt2)^2`，运用此不等式得，     `tanalpha+tanbeta+tangamma`     `=sqrt(b^2+c^2)/a+sqrt(c^2+a^2)/b+sqrt(a^2+b^2)/c`     `≥(b+c)/(sqrt2a)+(c+a)/(sqrt2b)+(a+b)/(sqrt2c)`     `=sqrt2/2((b/a+c/b+a/c)+(c/a+b/c+a/b))`     `≥sqrt2/2(3·root(3)(b/a·c/b·a/c)+3·root(3)(c/a·b/c·a/b))     `=3sqrt2`     `:.tanalpha+tanbeta+tangamma≥3sqrt2`

    3、分类讨论思想
   

    [案例]四面体的四个顶点到某平面距离之比`1:1:1:3`，求平面的个数．
    解:分四种情况讨论：

    (1)4个顶点都在平面的同侧，则有`C_4^1·1=4`个(平面)；

    (2)距离比为3的顶点与其它3个顶点不同侧，则有`C_4^1·1=4`个(平面)；

    (3)距离比为3的顶点与其它3个顶点中的1个同侧，则有`C_3^1·C_4^1·1=12`个(平面)；

    (4)距离比为3的顶点与其它3个顶点中的2个同侧，则有`C_3^2·C_4^1=12`，

    由加法原理，可知，共有`4+4+12+12=32`个(平面)

    一、知识结构
   

    二、知识梳理

    (一)直线与平面的有关定理(以下定理一部分是教科书列出的定理，另一些是教科书中相关内容被当作定理引用)
   

    1、判定两条直线平行的定理．
    (1)同平行于一条直线的两条直线互相平行．
    (2)如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
    (3)如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
    (4)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
    (5)若`vec(a)=lambda vec(b)`，则`vec(a)`所在直线a与`vec(b)`所在直线`b`平行或重合．
   

    2、判定两条直线垂直的定理．
    (1)一条直线和两条平行线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条．
    (2)如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直这个平面内的任何一条直线．
    (3)在平面内的一条直线
    ①如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；
    ②如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．
    (4)若`vec(a)•vec(b)=0`，且`vec(a)，vec(b)`均为非零向量，则`vec(a)`所在直线`a`与`vec(b)`所在直线`b`垂直．
   

    3、判定直线和平面平行的定理．
    (1)如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
    (2)两个平面平行，其中一个平面-内的直线必平行于另一个平面．
    (3)若向量`vec(a)`，`vec(b)`不共线，`vec(c)=lambdavec(a)+muvec(b)`，且`vec(c)`所在直线`c`不在由`vec(a)`、`vec(a)`所在直线确定的平面`alpha`内，则`c"//"alpha`．
   

    4、判定直线和平面垂直的定理．
    (1)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
    (2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．
    (3)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
    (4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
   

    5、判定两个平面平行的定理．
    (1)如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
    (2)垂直于同一条直线的两个平面平行．
    (3)如果一个平面内有两条相交直线都平行另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．
   

    6、判定两个平面垂直的定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
   

    7、存在性及唯一性定理．
    (1)经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
    (2)经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
    (3)经过两条相交直线，有且只有一个平面．
    (4)经过两条平行直线，有且只有一个平面．
    (5)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．
    (6)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．
    (7)经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．
   

    8、异面直线判定定理：平面内一点与平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．
　

    9、斜线长、射影长定理．
    从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中

    (1)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；反之相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长．
    (2)垂线段比任何一条斜线段都短．
   

    10、两个平面相交的判定：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
   

    11、平行平面间的平行线段：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
   

    (二)空间角的有关定理及公式
    1、等角定理：如果一个角的两边`A'B'`、`A'C'`和另一个角的两边`AB`、`AC`分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
    2、线面夹角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角．
    3、`l`是平面`alpha`的斜线，`O`是斜足，`Ainl`，`AB_|_alpha`于`B`，`OCsubalpha`，则`cosAOC=cosAOB•cosBOC`．
    4、`cos<vec(a)，vec(b)> =(vec(a)•vec(b))/(|vec(a)||vec(b)|)`．其中`vec(a)，vec(b)`都是非零向量．
   

    (三)空间距离的有关定理及公式
    1、空间两点间的距离公式．
    在空间直角坐标系中，已知`A(x_1，y_1，z_1)`，`B(x_2，y_2，z_2)`，若`d_(A，B)`表示A、B两点间的距离，则`d_(A，B)=sqrt((x_1－x_2)^2+(y_1－y_2)^2+(z_1－z_2)^2)`．
　

    2、两条异面直线上两点间的距离公式：若两条异面直线`a`，b`所成的角为`theta`，`A A'_|_a`，`A A'nn a=A'`，`A A'_|_b`，`A A'nn b=A`，`A'E=m`，`AF=n`，`A A'=d`．则
    `EF=sqrt(d^2+m^2+n^2-2mncos theta)`如下图
   
    或`EF=sqrt(d^2+m^2+n^2+2mncos theta)`如下图
   
    (四)空间向量的有关定理及公式
    1、`vec(AB)=vec(AC)+vec(CD)+vec(DB)`．
    2、同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
    3、共线向量定理．
    定理：对空间任意两个向量`vec(a)、vec(b)(vec(b)≠0)，vec(a)∥vec(b)`的充要条件是存在实数`lambda`，使`vec(a)=lambda vec(b)`．
    推论：如果x为经过已知点A且平行于已知非零向量`vec(a)`的直线，那么对于任一点O，点P在直线`l`上的充要条件是存在实数t，满足等式`vec(OP)=vec(OA)+tvec(a)`，其中`vec(a)`叫做直线`l`的方向向量．
   

    4、共面向量定理．
    定理：如果两个向量`vec(a)，vec(b)`不共线，则向量`vec(p)`与向量`vec(a)、vec(b)`共面的充要条件是存在实数对x，y，使`vec(p)=xvec(a)+yvec(b)`
    推论1：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使`vec(MP)=x vec(MA)+y vec(MB)`．
    推论2：对空间任一定点O，等式`vec(OP)=vec(OM)+x vec(MA)+y vec(MB)`是P、M、A、B四点共面的充要条件．
　

    5、空间向量基本定理．
    定理：如果三个向量`vec(a)、vec(b)、vec(c)`不共面，那么对空间任一向量`vec(p)`，存在一个唯一的有序实
数组x，y，z，使`vec(p)=x vec(a)+y vec(b)+z vec(c)`．
    推论：设O、A、B、C是不共面四点，那么对空间任一点P，存在唯一的有序实数组x，y，x，使`vec(OP)=x vec(OA)+y vec(OB)+z vec(0C)`．
　

    6、`vec(a)•vec(b)==|vec(a)||vec(b)|cos<vec(a)，vec(b)>`，其中`vec(a)，vec(b)`都是非零向量．
　

    7、`A'B'=|vec(AB)| cos<vec(AB)，vec(e)>`，其中`A'B'`是`vec(AB)`在单位向量`vec(e)`上的射影．
　

    8、`vec(a)⊥vec(b) hArr vec(a)•vec(b)=0，其中`vec(a)，vec(b)`是非零向量．
　

    9、`|vec(a)|^2=vec(a)•vec(a)`．
　

    10、在空间直角坐标系下，`vec(a)=(a_1，a_2，a_3)，vec(b)=(b_1，b_2，b_3)`，则
    `vec(a)±vec(b)=(a_1±b_1，a_2±b_2，a_3±b_3)`；
    `lambda vec(a)=(lambda a_1，lambda a_2，lambda a_3)`；
    `vec(a)•vec(b)=a_1b_1＋a_2b_2＋a_3b_3`；
    `vec(a)"//"vec(b) hArr  a_1=lambda b_1，a_2=lambda b_2，a_3=lambda b_3`；
    `vec(a)_|_vec(b) hArr  a_1b_1＋a_2b_2＋a_3b_3=0`．
　

    11、在空间直角坐标系下，若`A(x_1，y_1，z_1)，B(x_2，y_2，z_2)`，则
    `vec(AB)=(x_2-x_1，y_2-y_l，z_2-z_1)，|vec(AB)|=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2)`．
　

    (五)简单多面体与球
    1、棱柱、正棱锥的性质： 

棱柱 正棱锥 侧棱 相等 相等 侧面 平行四边形 全等的等腰三角形，斜高都相等 平行底面的截面 截面和底面全等 截面和底面相似，且满足`S_截：S_底=h_1^2：h^2，h_1、h`分别为顶点到截面、底面的距离． 对角面 平行四边形 等腰三角形 特征图形   `h'`、`h`分别为斜高、高，`R`、`r`分别为外接圆半径、内切圆半径，`a`为底面正多边形边长，`l`为侧棱长．

    2、长方体的性质：长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
    3、棱锥截面的重要性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比．
    4、球的性质及公式．
    (1)截面：①截面是圆．②球心和截面圆心的连线垂直于截面．③球心到截面的距离`d`与球的半径`R`及截面的半径`r`有下面的关系：`r=sqrt(R^2－d^2)`．
    (2)球面面积：`S=4piR^2`．
    (3)球的体积：`V=4/3piR^3`．

    §9.2 直线与平面平行和平面与平面平行 (1) (2)

    §9.3 直线与平面垂直和平面与平面垂直 (1) (2)

    §9.4 空间向量及坐标运算 (1)

    §9.5 直线与平面所成的角和平面与平面所成的角 (1)

    §9.6 空间距离 (1)

    §9.7 棱柱与棱锥 (1)

    §9.8 多面体与球 (1)

    2、第一轮基础训练 (1) (2)

    3、第一轮单元训练 (1) (2)