要求球面上两点间的球面距离，只要求出这两点对球心的弦的球心角`alpha`，则其球面距离为`alphaR`(其中`alpha`为弧度数)．

    ①`A、B`两点的球面距离：`A、B`两点在同一条纬线上，因此纬度为`60°`的截面圆(设圆心为`O_1`)与经过`A、B`两点的大圆的交点正好为`A、B`，于是`/_AO_1B=``140°-``20°=120°`．

    设球心为`O`，则`OO'_|_小圆O_1`，于是`/_OAO_1=/_OBO_1=60°`如图，要求`AB`的长度，关键在于求出`/_AOB`的大小，因为`/_AOB`为等腰`△AOB`的顶角，两腰长为`R`，为求`/_AOB`先得求`AB`之长，问题转化为求小截面圆`O_1`的弦`AB`的长 ．由于`AB`所对圆心角为`120°`．

    为此，求出这个小圆的半径`AO_1`即可．

    ②`B、C`两点的球面距离：`B、C`两点在同一条经线上，因此，纬度差为`30°`，即`/_BOC=30°`

    解:`.:A、B`纬度均为`60°`    

`:.A、B`在同一纬线上     设此纬线圈中心为`O_1`     由已知得`/_AO_1B=120°`，且`/_OAO_1=/_OBO_1=60°`     `:.O_1A=O_1B=Rcos60°=1/2R`     在`△AO_1B`中，`AB^2=O_1A^2+O_1B^2-2O_1A·O_1Bcos120°=3/4R^2`     在`△AOB`中，`cos/_AOB=(AO^2+BO^2-AB^2)/(2AO·BO)=5/8`     `:./_AOB=(arc cos)5/8`     `:.A、B`两点的球面距离等于`arc cos(5/8)`     `.:B、C`两点在同一条经线上，纬度差为`30°`，即`/_BOC=30°`     `:.B、C`两点的球面距离等于`(piR)/6`

    评注:计算两点间的球面距离的关键是搞清地球纬度、经度等概念．我们常把地球近似地看成球体，为了在地球表面建立球面坐标，地理学上规定：经线是球面上从北极到南极的半个大圆，在地球上均匀地分布着许多经线，其中经过英国格林威治天文台的经线规定为`0°`经线，从它向东称为东经，向西为西经．

    本题求解的关键是求出球的半径，因此必须明确球心和正四棱柱的关系

    解:正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为`2sqrt6`

    `:.`球的半径为`sqrt6`，球的表面积是`24pi`

    答案：C      

    评注:解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系．

    提炼球心，构造正四棱锥，寻找`a、R、r`的数量关系．

    解:依题意，得`r=1/4a`，将五个球的球心提炼出来，构成正四棱锥`O-O_1O_2O_3O_4`    

其底面正方形的边长`2r=1/2a`，侧棱长为`R+r=R+1/4a`     正四棱锥的高`OH=sqrt(OO_1^2-O_1H^2)``=sqrt((R+1/4a)^2-(sqrt2/4a)^2)     `.:R+OH+r=a`     `:.R+sqrt((R+1/4a)^2-(sqrt2/4a)^2)+a/4=a`     即`sqrt(R^2+1/2aR-1/16a^2)=(3a)/4-R`     两边平方，化简得`R=5/16a`     `:.`所求的表达式为`r=1/4a，R=5/16a`

    评注:(1)解决多球问题的关键是抓住球心间的位置，从中提炼相关的多面体，进而便可求解．

    (2)在本例中若改为“大球与正方体的六个面都相切，四个等球与大球及所在直三面角的各个面都相切(相邻两个等球一般不相切)”，则如何求解？若改为“在正方体盒内放入9个等球(半径为`r`)”，则正方体的最短棱长为多少呢？若改为“四个半径为`r`的小球(放在桌面上)和一个半径为`R`的大球，大球放在四个小球(两两相邻的均相切)上，则大球的最高点距桌面的距离为多少？由此你还联想到哪些问题？

    解:由`PA_|_PB`，可知`P、A、B`确定一个平面，设它与球`O`的交线为`o.O_1`    

`.:PA_|_PB`     `:.AB`为`o.O_1`的直径，且`AB=sqrt(AP^2+BP^2)=sqrt2a`     `.:PC_|_PA，PC_|_PB`     `:.PC_|_`平面`PAB`     又`.:OO_1_|_`平面`PAB`     `:.OO_1"//"PC`     过`OO_1、PC`作平面`alpha`，平面`alpha`与球面的交线为大圆`O`     设`o.O`与`o.O_1`的另一交点为`D`，则`PD`为平面`alpha`和平面`PAB`的交线，点`O_1inPD`     连结`CD`，在`o.O`中，`.:PC_|_PD，/_CPD为直角`     `:.CD`为`o.O`的直径     设`o.O`的半径为`R`，也即球`O`的半径为`R`     在`△CPD`中，`CD=sqrt(PC^2+PD^2)=sqrt(a^2+2a^2)=sqrt3a`，即`2R=sqrt3a，R=sqrt3/2a`     `:.S_球=4piR^2=4pi·3/4a^2``=3pia^2`     `V_球=(4pi)/3R^3=(4pi)/3·(3sqrt3)/8a^3=(sqrt3pi)/2a^3`

    评注:根据条件作出球的截面圆是把空间问题转化为平面问题的主要方法．

    `△SAC`的外接圆是外接球的一个大圆，所以只要求出这个外接圆的半径即可，而内切球的球心`O`到棱锥的各个面的距离相等，所以可由正四棱锥的体积求出其半径．

    解:(1)设外接球的半径为`R`，球心为`0`，则`OA=OC=OS`   

`:.O`为`△SAC`的外心，即`△SAC`的外接圆半径就是球的半径     `.:AB=BC=a`     `:.AC=sqrt2a`     `.:SA=SC=AC=sqrt2a`     `:.△SAC`为正三角形     由正弦定理，得`2R=(AC)/sin/_ASC=(sqrt2a)/sin60°=(2sqrt6)/3a`     `:.R=(2sqrt6a)/3`，`V_球=4/3piR^3=(8sqrt6)/27pia^3`     (2)设内切球的半径为`r`，作`SE_|_`底面于`E`，作`SF_|_BC`于`F`，连结`EF`     则有`SF=sqrt(SB^2-BF^2)=sqrt((sqrt2a)^2-(a/2)^2)=sqrt7/2a`     `S_(△SBC)=1/2·BC·SF=1/2axxsqrt7/2a=sqrt7/4a^2`     `S_(棱锥全)=4S_(△SBC)+S_底=(sqrt7+1)a^2`     又`SE=sqrt(SF^2-EF^2)=sqrt((sqrt7/2a)^2-(a/2)^2)=sqrt6/2a`     `V_(棱锥)=1/3·S_底·h=1/3a^2xxsqrt6/2a=sqrt6/6a^3`     `r=(3xxV_(棱锥))/S_(全)=(3xxsqrt6/6a^3)/((sqrt7+1)a^2)=(sqrt42-sqrt6)/12a`     `S_(球)=4pir^2=(4-sqrt7)/3pia^2`

    评注:本例主要考查多面体与球的内切、外接等问题，以及转化的数学思想方法．

    1、正方休的内切球与其外接球的体积之比为(   )
    A.`1:sqrt3`     B.`1:3`     C.`1:3sqrt3`     D.`1:9`
    2、过半径为2的球`O`表面一点`A`作球`O`的截面，若`OA`与该截面所成的角是`60°`，则该截面的面积是(   )
    A.`pi`     B.`2pi`     C.`3pi`     D.`2sqrt3pi`
    3、半径为`R`的球面一点`Q`，作球的互相垂直的三条弦`QA`、`QB`、`QC`，则`QA^2+QB^2+QC^2`等于(   )
    A.`4R^2`     B.`2R^2`     C.`R^2`     D.不能确定
    4、圆柱形容器的内壁底面半径为`5cm`，两个直径为`5cm`的小球浸没于容器的水中，若同时取出这两个小球，则水而下降______
    5、有一棱长为`a`的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表而积的最大值为______

    6、圆`O_1`是以`R`为半径的球`O`的小圆，若圆`O_1`的面积`S_1`，和球`O`的表面积`S`的比为`S_1:S=2:9`，则圆心`O_1`到球心`O`的距离与球半径的比`OO_1:R`=______
    7、在`120°`的二面角内放一个半径为5的球，使球与两个半平面各仅有一个公共点，则这两点间的球面距离为
______

    8、求证：过球`O`内一定点`P`的各弦，被点`P`分成的两线段之积是一个定值

    1、正方休的内切球与其外接球的体积之比为( C )
    A.`1:sqrt3`     B.`1:3`     C.`1:3sqrt3`     D.`1:9`
    2、过半径为2的球`O`表面一点`A`作球`O`的截面，若`OA`与该截面所成的角是`60°`，则该截面的面积是( A )
    A.`pi`     B.`2pi`     C.`3pi`     D.`2sqrt3pi`
    3、半径为`R`的球面一点`Q`，作球的互相垂直的三条弦`QA`、`QB`、`QC`，则`QA^2+QB^2+QC^2`等于( A )
    A.`4R^2`     B.`2R^2`     C.`R^2`     D.不能确定
    4、圆柱形容器的内壁底面半径为`5cm`，两个直径为`5cm`的小球浸没于容器的水中，若同时取出这两个小球，则水而下降______

    答案：`5/3cm` 

    5、有一棱长为`a`的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表而积的最大值为______

    答案：`2pia^2`

    6、圆`O_1`是以`R`为半径的球`O`的小圆，若圆`O_1`的面积`S_1`，和球`O`的表面积`S`的比为`S_1:S=2:9`，则圆心`O_1`到球心`O`的距离与球半径的比`OO_1:R`=______

    答案：`1:3`
    7、在`120°`的二面角内放一个半径为5的球，使球与两个半平面各仅有一个公共点，则这两点间的球面距离为
______

    答案：`(5pi)/3`

    8、求证：过球`O`内一定点`P`的各弦，被点`P`分成的两线段之积是一个定值

    答案：略`

    1、两个完全相同的正方体的长、宽、高分别为`5cm`、`4cm`、`3cm`，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在
这些新长方体中，最长的对角线的长度是(   )
    A.`sqrt77cm`     B.`7sqrt2cm`     C.`5sqrt5cm`     D.`10sqrt2cm`
    2、过球面上两点可能作球的大圆个数是______

    3、已知正四面`ABCD`的棱长为`a`，它的内切球的半径为`R`，求它们的体积比．

    4、正四面体棱长为`a`，求其外接球和内切球的表面积．

    1、两个完全相同的正方体的长、宽、高分别为`5cm`、`4cm`、`3cm`，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在
这些新长方体中，最长的对角线的长度是( C )
    A.`sqrt77cm`     B.`7sqrt2cm`     C.`5sqrt5cm`     D.`10sqrt2cm`
    2、过球面上两点可能作球的大圆个数是______

    答案：一个或无数多个
    3、已知正四面`ABCD`的棱长为`a`，它的内切球的半径为`R`，求它们的体积比．

    答案：`6sqrt3:pi`

    4、正四面体棱长为`a`，求其外接球和内切球的表面积．

    答案：`S_外=3/2pia^2`  `S_内=1/6pia^2`