证明:${\displaystyle \because SA\perp 平面ABCD}$    

${\displaystyle \therefore SA\perp BC，又AB\perp BC}$     ${\displaystyle \therefore BC\perp 平面SAB，又AE\subset 平面SAB}$     ${\displaystyle \therefore BC\perp AE}$     ${\displaystyle \because SC\perp 平面AEFG}$     ${\displaystyle \therefore SC\perp AB}$     ${\displaystyle \because AE\perp 平面SBC}$     ${\displaystyle \therefore AE\perp SB}$     同理，${\displaystyle AG\perp SD}$

    评注:在线线垂直与线面垂直的转化中，平面在其中起到了至关重要的作用，应考虑线和线所在的平面特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

    证明:如图，过${\displaystyle A}$作平面${\displaystyle BCD}$的垂线

    (1)若${\displaystyle AB\perp }$平面${\displaystyle BCD}$，垂线即是${\displaystyle AB}$，由条件${\displaystyle BC\perp AD}$，则${\displaystyle BC\perp BD}$，而${\displaystyle BC}$是${\displaystyle AC}$的射影

    ${\displaystyle \therefore BD\perp AC}$

(2)若${\displaystyle AB}$是平面${\displaystyle BCD}$的斜线，过${\displaystyle A}$作平面${\displaystyle BCD}$的垂线${\displaystyle AO}$，垂足为${\displaystyle O}$     ${\displaystyle \because AB\perp CD}$     ${\displaystyle \therefore CD\perp BO}$     同理，${\displaystyle BC\perp DO}$，则${\displaystyle O}$为${\displaystyle △BCD}$的垂心     ${\displaystyle \therefore BD\perp OC}$     ${\displaystyle \because CO}$是${\displaystyle AC}$的射影     ${\displaystyle \therefore BD\perp AC}$

    评注:运用三垂线定理或其逆定理时，必然涉及平面的斜线，因此要进行必要的讨论．

    解:(1)证明：连结${\displaystyle OC}$

${\displaystyle \because BO=DO，AB=AD}$     ${\displaystyle \therefore AO\perp BD}$     ${\displaystyle \because BO=DO，BC=CD}$     ${\displaystyle \therefore CO\perp BD，}$     在${\displaystyle △AOC}$中，由已知可得${\displaystyle AO=1}$，${\displaystyle CO=\sqrt{3}}$，而${\displaystyle AC=2}$     ${\displaystyle \therefore A{O}^2+C{O}^2=A{C}^2}$     ${\displaystyle \therefore \angle AOC=90°，即AO\perp OC}$     ${\displaystyle \because BD\cap OC=O}$     ${\displaystyle \therefore AO\perp 平面BCD}$

    (2)取${\displaystyle AC}$的中点${\displaystyle M}$，连结${\displaystyle OM}$、${\displaystyle ME}$、${\displaystyle OE}$，由${\displaystyle E}$为${\displaystyle BC}$的中点，知，    

${\displaystyle \therefore }$直线${\displaystyle OE}$与${\displaystyle EM}$所成的锐角就是异面直线${\displaystyle AB}$与${\displaystyle CD}$所成角的大小${\displaystyle }$     在${\displaystyle △OME}$中，${\displaystyle EM=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}}$，${\displaystyle OE=\frac{1}{2}DC=1}$     ${\displaystyle \because OM}$是${\displaystyle Rt△AOC}$斜边${\displaystyle AC}$上的中线     ${\displaystyle \therefore OM=\frac{1}{2}AC=1}$     ${\displaystyle \therefore cos\angle OEM=\frac{\sqrt{2}}{4}}$     ${\displaystyle \therefore }$异面直线${\displaystyle AB}$与${\displaystyle CD}$所成角的大小为${\displaystyle (arccos)\frac{\sqrt{2}}{4}}$ 　     (3)设点${\displaystyle E}$到平面${\displaystyle ACD}$的距离为${\displaystyle h}$     ${\displaystyle \because V_{E-ACD}=V(A-CDE)}$     ${\displaystyle \therefore \frac{1}{3}h·S_{△ACD}=\frac{1}{3}·AO·S_{△CDE}}$     在${\displaystyle △ACD中，CA=CD=2，AD=\sqrt{2}}$     ${\displaystyle \therefore S_{△ACD}=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{2^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{7}}{2}}$     而${\displaystyle AO=1，S_{△CDE}＝\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2=\frac{\sqrt{3}}{2}}$     ${\displaystyle \therefore h=\frac{A0\times S_{△CDE}}{S_{△ACD}}=\frac{1\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{7}}$     ${\displaystyle \therefore }$点${\displaystyle E}$到平面${\displaystyle ACD}$的距离为${\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{7}}$

    评注:证明线面垂直常利用判定定理；“等积变换”是计算点面距离的重要方法．

    本题是一道探索性的开放试题，对于此类题应当先假设存在满足条件的${\displaystyle Q}$点，然后分析、计算，看是否得出矛盾 ．此题意在考查学生的创新意识和分析问题解决问题的能力，也是近几年数学高考的命题趋势和高考的热点．

    解:若${\displaystyle BC}$边上存在点${\displaystyle Q}$，使得${\displaystyle PQ\perp DQ}$

    ${\displaystyle \because PA\perp }$平面${\displaystyle ABC}$

    由三垂线逆定理知${\displaystyle AQ\perp DQ}$

    在矩形${\displaystyle ABCD}$中，当时，直线${\displaystyle BC}$和以${\displaystyle AD}$为直径的圆相离，故时不存在点${\displaystyle Q}$，使${\displaystyle AQ\perp DQ}$

    ${\displaystyle \therefore }$仅当${\displaystyle a\ge 2}$时，才存在点${\displaystyle Q}$使${\displaystyle PQ\perp DQ}$

    评注:(1)本题中${\displaystyle a=2}$时，在${\displaystyle BC}$边上存在唯一的点${\displaystyle Q}$使${\displaystyle PQ\perp QD}$；
    (2)本题一改通常情况下给出已知条件来求证${\displaystyle PQ\perp QD}$，而是预先给出结论，去寻找使得结论成立的充分条件，是一道条件开放题．主要考查的是通过三垂线逆定理证明线线垂直，此题把通常的逻辑推理题目改造成一个探索性问题，这是近几年高考在立体几何方面的一种创新与尝试，应引起足够的重视．

    证明两平面垂直，一般是通过判定定理转化为证明线面垂直，进而转化为一个平面内的一条直线与另一平面的两条相交直线都垂直．

    证明:${\displaystyle \because ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$为正方体

${\displaystyle \therefore AD\perp }$平面${\displaystyle D_{1}C{C}_1{D}_1}$，又${\displaystyle D_{1}F\subset }$平面${\displaystyle D_{1}C{C}_1{D}_1}$     ${\displaystyle \therefore AD\perp D_{1}F}$     取${\displaystyle AB}$中点${\displaystyle G}$，连结${\displaystyle A_{1}G}$、${\displaystyle FG}$     ${\displaystyle \because F}$为${\displaystyle CD}$中点                     ${\displaystyle \because E}$是${\displaystyle B{B}_1}$中点，     ${\displaystyle \therefore Rt△A_{1}AG\cong Rt△ABE}$     ${\displaystyle \therefore \angle A{A}_{1}G=\angle EAG}$     ${\displaystyle \therefore \angle AH{A}_1=90°}$，即${\displaystyle A_{1}G\perp AE}$     ${\displaystyle \therefore D_{1}F\perp AE}$     ${\displaystyle \because AD\cap AE=A}$     ${\displaystyle \therefore D_{1}F\perp }$平面${\displaystyle ADE}$     又${\displaystyle D_{1}F\subset }$平面${\displaystyle A_{1}F{D}_1}$     ${\displaystyle \therefore }$平面${\displaystyle A_{1}F{D}_1\perp }$平面${\displaystyle ADE}$

    评注:抓住线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化关系．

    1、若一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若，则${\displaystyle a\perp b}$；④若${\displaystyle a\perp b}$，则过${\displaystyle b}$有唯一的一个平面与${\displaystyle a}$垂直 ．上述四个命题中，真命题是(   )
    A.①②       B.②③          C.③④       D.②④
    2、已知直线平面${\displaystyle \alpha }$，且${\displaystyle a}$与${\displaystyle \alpha }$之间的距离为${\displaystyle 4m(m>0)}$，则到直线${\displaystyle a}$的距离和到平面${\displaystyle \alpha }$的距离都为${\displaystyle 3m}$的点的集合是(   )
    A.一个平面   B.两个相交平面   C.一条直线   D.两条平行直线

    3、设${\displaystyle m、n}$是两条不同的直线，${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$是两个不同的平面．下列命题中正确的命题是(   )
    A.${\displaystyle m\perp \alpha }$，${\displaystyle n\subset \beta }$，${\displaystyle m\perp n}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \alpha \perp \beta }$  

    B.，${\displaystyle m\perp \alpha }$，${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle m\perp n}$
    C.${\displaystyle \alpha \perp \beta }$，${\displaystyle m\perp \alpha }$，${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle m\perp n}$
    D.${\displaystyle \alpha \perp \beta }$，${\displaystyle \alpha \cap \beta =m}$，${\displaystyle n\perp m}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle n\perp \beta }$
    4、${\displaystyle AB}$是${\displaystyle \odot O}$的直径，${\displaystyle PA}$垂直于${\displaystyle \odot O}$所在平面，${\displaystyle C}$是圆周上任意一点，则四面体${\displaystyle P-ABC}$的四个面中是直角三角形的共有(   )
    A.1个        B.2个          C.3个         D.4个
    5、在棱长为1的正方体${\displaystyle ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$中，点${\displaystyle D}$到平面${\displaystyle AC{D}_1}$的距离为______，若点${\displaystyle P}$为${\displaystyle △BCD}$的重心，则${\displaystyle D_{1}P}$与平面${\displaystyle AD{D}_1{A}_1}$所成角的大小为______

    6、梯形${\displaystyle ABCD}$的下底${\displaystyle AB}$在平面${\displaystyle \alpha }$内，对角线${\displaystyle AC}$与${\displaystyle BD}$的交点${\displaystyle O}$到平面${\displaystyle \alpha }$的距离为3，若${\displaystyle AB:CD=3:2}$，则${\displaystyle CD}$到${\displaystyle \alpha }$的距离为______
    7、已知矩形${\displaystyle ABCD}$中，${\displaystyle AB=1}$，${\displaystyle BC=a}$，${\displaystyle PA\perp 平面ABCD}$，若在${\displaystyle BC}$上只有一点${\displaystyle Q}$满足${\displaystyle PQ\perp QD}$，则${\displaystyle a}$的值等于______
    8、如图，在空间四边形${\displaystyle ABCD}$中，若${\displaystyle AB\perp CD}$，${\displaystyle AD\perp BC}$，求证：四点${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle D}$在相对三角形所在平面内的射影是此三角形的垂心．

    1、若一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若，则${\displaystyle a\perp b}$；④若${\displaystyle a\perp b}$，则过${\displaystyle b}$有唯一的一个平面与${\displaystyle a}$垂直 ．上述四个命题中，真命题是( C )
    A.①②       B.②③          C.③④       D.②④
    2、已知直线平面${\displaystyle \alpha }$，且${\displaystyle a}$与${\displaystyle \alpha }$之间的距离为${\displaystyle 4m(m>0)}$，则到直线${\displaystyle a}$的距离和到平面${\displaystyle \alpha }$的距离都为${\displaystyle 3m}$的点的集合是( D )
    A.一个平面   B.两个相交平面   C.一条直线   D.两条平行直线

    3、设${\displaystyle m、n}$是两条不同的直线，${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$是两个不同的平面．下列命题中正确的命题是( B )
    A.${\displaystyle m\perp \alpha }$，${\displaystyle n\subset \beta }$，${\displaystyle m\perp n}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \alpha \perp \beta }$  

    B.，${\displaystyle m\perp \alpha }$，${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle m\perp n}$
    C.${\displaystyle \alpha \perp \beta }$，${\displaystyle m\perp \alpha }$，${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle m\perp n}$
    D.${\displaystyle \alpha \perp \beta }$，${\displaystyle \alpha \cap \beta =m}$，${\displaystyle n\perp m}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle n\perp \beta }$
    4、${\displaystyle AB}$是${\displaystyle \odot O}$的直径，${\displaystyle PA}$垂直于${\displaystyle \odot O}$所在平面，${\displaystyle C}$是圆周上任意一点，则四面体${\displaystyle P-ABC}$的四个面中是直角三角形的共有( D )
    A.1个        B.2个          C.3个         D.4个
    5、在棱长为1的正方体${\displaystyle ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$中，点${\displaystyle D}$到平面${\displaystyle AC{D}_1}$的距离为______，若点${\displaystyle P}$为${\displaystyle △BCD}$的重心，则${\displaystyle D_{1}P}$与平面${\displaystyle AD{D}_1{A}_1}$所成角的大小为______

    答案：${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$  ${\displaystyle arctan\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)}$

    6、梯形${\displaystyle ABCD}$的下底${\displaystyle AB}$在平面${\displaystyle \alpha }$内，对角线${\displaystyle AC}$与${\displaystyle BD}$的交点${\displaystyle O}$到平面${\displaystyle \alpha }$的距离为3，若${\displaystyle AB:CD=3:2}$，则${\displaystyle CD}$到${\displaystyle \alpha }$的距离为______

    答案：${\displaystyle 5}$

    7、已知矩形${\displaystyle ABCD}$中，${\displaystyle AB=1}$，${\displaystyle BC=a}$，${\displaystyle PA\perp 平面ABCD}$，若在${\displaystyle BC}$上只有一点${\displaystyle Q}$满足${\displaystyle PQ\perp QD}$，则${\displaystyle a}$的值等于______

    答案：${\displaystyle 2}$

    8、如图，在空间四边形${\displaystyle ABCD}$中，若${\displaystyle AB\perp CD}$，${\displaystyle AD\perp BC}$，求证：四点${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle D}$在相对三角形所在平面内的射影是此三角形的垂心．

    答案：略

    1、给出以下四个命题：

    ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；

    ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

    ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；

    ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，
    其中真命题的个数是(   )
    A.4     B.3     C.2     D.1
    2、已知${\displaystyle m、n}$是直线，${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$、${\displaystyle \gamma }$是平面，给出下列命题：

    ①若${\displaystyle \alpha \perp \beta }$，${\displaystyle \alpha \cap \beta =m}$，${\displaystyle n\perp m}$，则${\displaystyle n\perp \alpha }$，${\displaystyle n\perp \beta }$；

    ②若，${\displaystyle \alpha \cap \gamma =m}$，${\displaystyle \beta \cap \gamma =n}$，则；

    ③若${\displaystyle m}$不垂直于${\displaystyle \alpha }$，则${\displaystyle m}$不可能垂直于${\displaystyle \alpha }$内的无数条直线；

    ④若${\displaystyle \alpha \cap \beta =m}$，，且${\displaystyle n\not\subset \alpha }$，${\displaystyle n\not\subset \beta }$，则且，

    其中正确命题的序号是______

    3、如图，正四棱锥${\displaystyle S-ABCD}$的截面${\displaystyle CEFG\perp SA}$，求证：${\displaystyle EG\perp SC}$

    4、如图，已知两个正四棱锥${\displaystyle P-ABCD}$与${\displaystyle Q-ABCD}$的高分别为1和2，${\displaystyle AB=4}$，

    1、给出以下四个命题：

    ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；

    ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

    ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；

    ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，
    其中真命题的个数是( B )
    A.4     B.3     C.2     D.1
    2、已知${\displaystyle m、n}$是直线，${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$、${\displaystyle \gamma }$是平面，给出下列命题：

    ①若${\displaystyle \alpha \perp \beta }$，${\displaystyle \alpha \cap \beta =m}$，${\displaystyle n\perp m}$，则${\displaystyle n\perp \alpha }$，${\displaystyle n\perp \beta }$；

    ②若，${\displaystyle \alpha \cap \gamma =m}$，${\displaystyle \beta \cap \gamma =n}$，则；

    ③若${\displaystyle m}$不垂直于${\displaystyle \alpha }$，则${\displaystyle m}$不可能垂直于${\displaystyle \alpha }$内的无数条直线；

    ④若${\displaystyle \alpha \cap \beta =m}$，，且${\displaystyle n\not\subset \alpha }$，${\displaystyle n\not\subset \beta }$，则且，

    其中正确命题的序号是______
    答案：②④   

    3、如图，正四棱锥${\displaystyle S-ABCD}$的截面${\displaystyle CEFG\perp SA}$，求证：${\displaystyle EG\perp SC}$

    答案：略

    4、如图，已知两个正四棱锥${\displaystyle P-ABCD}$与${\displaystyle Q-ABCD}$的高分别为1和2，${\displaystyle AB=4}$，

(1)求证：${\displaystyle PQ\perp 平面ABCD}$     (2)求证：求异面直线${\displaystyle AQ}$与${\displaystyle PB}$所成的角     (3)求点${\displaystyle P}$到平面${\displaystyle QAD}$的距离

    答案：(1)略  (2)${\displaystyle arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right)}$  (3)${\displaystyle arctan\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}$