证明:`.:SA_|_平面ABCD`    

`:.SA_|_BC，又AB_|_BC`     `:.BC_|_平面SAB，又AEsub平面SAB`     `:.BC_|_AE`     `.:SC_|_平面AEFG`     `:.SC_|_AB`     `.:AE_|_平面SBC`     `:.AE_|_SB`     同理，`AG_|_SD`

    评注:在线线垂直与线面垂直的转化中，平面在其中起到了至关重要的作用，应考虑线和线所在的平面特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

    证明:如图，过`A`作平面`BCD`的垂线

    (1)若`AB_|_`平面`BCD`，垂线即是`AB`，由条件`BC_|_AD`，则`BC_|_BD`，而`BC`是`AC`的射影

    `:.BD_|_AC`

(2)若`AB`是平面`BCD`的斜线，过`A`作平面`BCD`的垂线`AO`，垂足为`O`     `.:AB_|_CD`     `:.CD_|_BO`     同理，`BC_|_DO`，则`O`为`△BCD`的垂心     `:.BD_|_OC`     `.:CO`是`AC`的射影     `:.BD_|_AC`

    评注:运用三垂线定理或其逆定理时，必然涉及平面的斜线，因此要进行必要的讨论．

    解:(1)证明：连结`OC`

`.:BO=DO，AB=AD`     `:.AO_|_BD`     `.:BO=DO，BC=CD`     `:.CO_|_BD，     在`△AOC`中，由已知可得`AO=1`，`CO=sqrt3`，而`AC=2`     `:.AO^2+CO^2=AC^2`     `:./_AOC=90°，即AO_|_OC`     `.:BDnnOC=O`     `:.AO_|_平面BCD`

    (2)取`AC`的中点`M`，连结`OM`、`ME`、`OE`，由`E`为`BC`的中点，知`ME"//"AB`，`OE"//"DC`    

`:.`直线`OE`与`EM`所成的锐角就是异面直线`AB`与`CD`所成角的大小`             在`△OME`中，`EM=1/2AB=sqrt2/2`，`OE=1/2DC=1`     `.:OM`是`Rt△AOC`斜边`AC`上的中线     `:.OM=1/2AC=1`     `:.cos/_OEM=sqrt2/4`     `:.`异面直线`AB`与`CD`所成角的大小为`(arc cos)sqrt2/4` 　     (3)设点`E`到平面`ACD`的距离为`h`     `.:V_(E-ACD)=V(A-CDE)`     `:.1/3h·S_(△ACD)=1/3·AO·S_(△CDE)`     在`△ACD中，CA=CD=2，AD=sqrt2`     `:.S_(△ACD)=1/2xxsqrt2xxsqrt(2^2-(sqrt2/2)^2)=sqrt7/2`     而`AO=1，S_(△CDE)＝1/2xxsqrt3/4xx2^2=sqrt3/2`     `:.h=(A0xxS_(△CDE))/(S_(△ACD))=(1xxsqrt3/2)/(sqrt7/2)=sqrt21/7`     `:.`点`E`到平面`ACD`的距离为`sqrt21/7`

    评注:证明线面垂直常利用判定定理；“等积变换”是计算点面距离的重要方法．

    本题是一道探索性的开放试题，对于此类题应当先假设存在满足条件的`Q`点，然后分析、计算，看是否得出矛盾 ．此题意在考查学生的创新意识和分析问题解决问题的能力，也是近几年数学高考的命题趋势和高考的热点．

    解:若`BC`边上存在点`Q`，使得`PQ_|_DQ`

    `.:PA_|_`平面`ABC`

    由三垂线逆定理知`AQ_|_DQ`

    在矩形`ABCD`中，当`AD=a<2`时，直线`BC`和以`AD`为直径的圆相离，故`a<2`时不存在点`Q`，使`AQ_|_DQ`

    `:.`仅当`a>=2`时，才存在点`Q`使`PQ_|_DQ`

    评注:(1)本题中`a=2`时，在`BC`边上存在唯一的点`Q`使`PQ_|_QD`；
    (2)本题一改通常情况下给出已知条件来求证`PQ_|_QD`，而是预先给出结论，去寻找使得结论成立的充分条件，是一道条件开放题．主要考查的是通过三垂线逆定理证明线线垂直，此题把通常的逻辑推理题目改造成一个探索性问题，这是近几年高考在立体几何方面的一种创新与尝试，应引起足够的重视．

    证明两平面垂直，一般是通过判定定理转化为证明线面垂直，进而转化为一个平面内的一条直线与另一平面的两条相交直线都垂直．

    证明:`.:ABCD-A_1B_1C_1D_1`为正方体

`:.AD_|_`平面`D_1C C_1D_1`，又`D_1Fsub`平面`D_1C C_1D_1`     `:.AD_|_D_1F`     取`AB`中点`G`，连结`A_1G`、`FG`     `.:F`为`CD`中点     `:.FGstackrel{"//"}{=}AD`     `.:A_1D_1stackrel{"//"}{=}AD`     `:.FGstackrel{"//"}{=}A_1D_1`     `:.A_1G"//"D_1F`     `.:E`是`BB_1`中点，     `:.Rt△A_1AG~=Rt△ABE`     `:./_A A_1G=/_EAG`     `:./_AHA_1=90°`，即`A_1G_|_AE`     `:.D_1F_|_AE`     `.:ADnnAE=A`     `:.D_1F_|_`平面`ADE`     又`D_1Fsub`平面`A_1FD_1`     `:.`平面`A_1FD_1_|_`平面`ADE`

    评注:抓住线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化关系．

    1、若一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若`a"//"alpha，b_|_alpha`，则`a_|_b`；④若`a_|_b`，则过`b`有唯一的一个平面与`a`垂直 ．上述四个命题中，真命题是(   )
    A.①②       B.②③          C.③④       D.②④
    2、已知直线`a"//"`平面`alpha`，且`a`与`alpha`之间的距离为`4m(m>0)`，则到直线`a`的距离和到平面`alpha`的距离都为`3m`的点的集合是(   )
    A.一个平面   B.两个相交平面   C.一条直线   D.两条平行直线

    3、设`m、n`是两条不同的直线，`alpha`、`beta`是两个不同的平面．下列命题中正确的命题是(   )
    A.`m_|_alpha`，`nsubbeta`，`m_|_n``rArr``alpha_|_beta`  

    B.`alpha"//"beta`，`m_|_alpha`，`n"//"beta``rArr``m_|_n`
    C.`alpha_|_beta`，`m_|_alpha`，`n"//"beta``rArr``m_|_n`
    D.`alpha_|_beta`，`alphannbeta=m`，`n_|_m``rArr``n_|_beta`
    4、`AB`是`o.O`的直径，`PA`垂直于`o.O`所在平面，`C`是圆周上任意一点，则四面体`P-ABC`的四个面中是直角三角形的共有(   )
    A.1个        B.2个          C.3个         D.4个
    5、在棱长为1的正方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，点`D`到平面`ACD_1`的距离为______，若点`P`为`△BCD`的重心，则`D_1P`与平面`ADD_1A_1`所成角的大小为______

    6、梯形`ABCD`的下底`AB`在平面`alpha`内，对角线`AC`与`BD`的交点`O`到平面`alpha`的距离为3，若`AB:CD=3:2`，则`CD`到`alpha`的距离为______
    7、已知矩形`ABCD`中，`AB=1`，`BC=a`，`PA_|_平面ABCD`，若在`BC`上只有一点`Q`满足`PQ_|_QD`，则`a`的值等于______
    8、如图，在空间四边形`ABCD`中，若`AB_|_CD`，`AD_|_BC`，求证：四点`A`、`B`、`C`、`D`在相对三角形所在平面内的射影是此三角形的垂心．

    1、若一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若`a"//"alpha，b_|_alpha`，则`a_|_b`；④若`a_|_b`，则过`b`有唯一的一个平面与`a`垂直 ．上述四个命题中，真命题是( C )
    A.①②       B.②③          C.③④       D.②④
    2、已知直线`a"//"`平面`alpha`，且`a`与`alpha`之间的距离为`4m(m>0)`，则到直线`a`的距离和到平面`alpha`的距离都为`3m`的点的集合是( D )
    A.一个平面   B.两个相交平面   C.一条直线   D.两条平行直线

    3、设`m、n`是两条不同的直线，`alpha`、`beta`是两个不同的平面．下列命题中正确的命题是( B )
    A.`m_|_alpha`，`nsubbeta`，`m_|_n``rArr``alpha_|_beta`  

    B.`alpha"//"beta`，`m_|_alpha`，`n"//"beta``rArr``m_|_n`
    C.`alpha_|_beta`，`m_|_alpha`，`n"//"beta``rArr``m_|_n`
    D.`alpha_|_beta`，`alphannbeta=m`，`n_|_m``rArr``n_|_beta`
    4、`AB`是`o.O`的直径，`PA`垂直于`o.O`所在平面，`C`是圆周上任意一点，则四面体`P-ABC`的四个面中是直角三角形的共有( D )
    A.1个        B.2个          C.3个         D.4个
    5、在棱长为1的正方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，点`D`到平面`ACD_1`的距离为______，若点`P`为`△BCD`的重心，则`D_1P`与平面`ADD_1A_1`所成角的大小为______

    答案：`sqrt3/3`  `arctan(sqrt10/5)`

    6、梯形`ABCD`的下底`AB`在平面`alpha`内，对角线`AC`与`BD`的交点`O`到平面`alpha`的距离为3，若`AB:CD=3:2`，则`CD`到`alpha`的距离为______

    答案：`5`

    7、已知矩形`ABCD`中，`AB=1`，`BC=a`，`PA_|_平面ABCD`，若在`BC`上只有一点`Q`满足`PQ_|_QD`，则`a`的值等于______

    答案：`2`

    8、如图，在空间四边形`ABCD`中，若`AB_|_CD`，`AD_|_BC`，求证：四点`A`、`B`、`C`、`D`在相对三角形所在平面内的射影是此三角形的垂心．

    答案：略

    1、给出以下四个命题：

    ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；

    ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

    ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；

    ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，
    其中真命题的个数是(   )
    A.4     B.3     C.2     D.1
    2、已知`m、n`是直线，`alpha`、`beta`、`gamma`是平面，给出下列命题：

    ①若`alpha_|_beta`，`alphannbeta=m`，`n_|_m`，则`n_|_alpha`，`n_|_beta`；

    ②若`alpha"//"beta`，`alphanngamma=m`，`betanngamma=n`，则`m"//"n`；

    ③若`m`不垂直于`alpha`，则`m`不可能垂直于`alpha`内的无数条直线；

    ④若`alphannbeta=m`，`m"//"n`，且`n!subalpha`，`n!subbeta`，则`n"//"alpha`且`n"//"beta`，

    其中正确命题的序号是______

    3、如图，正四棱锥`S-ABCD`的截面`CEFG_|_SA`，求证：`EG_|_SC`

    4、如图，已知两个正四棱锥`P-ABCD`与`Q-ABCD`的高分别为1和2，`AB=4`，

    1、给出以下四个命题：

    ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；

    ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

    ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；

    ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，
    其中真命题的个数是( B )
    A.4     B.3     C.2     D.1
    2、已知`m、n`是直线，`alpha`、`beta`、`gamma`是平面，给出下列命题：

    ①若`alpha_|_beta`，`alphannbeta=m`，`n_|_m`，则`n_|_alpha`，`n_|_beta`；

    ②若`alpha"//"beta`，`alphanngamma=m`，`betanngamma=n`，则`m"//"n`；

    ③若`m`不垂直于`alpha`，则`m`不可能垂直于`alpha`内的无数条直线；

    ④若`alphannbeta=m`，`m"//"n`，且`n!subalpha`，`n!subbeta`，则`n"//"alpha`且`n"//"beta`，

    其中正确命题的序号是______
    答案：②④   

    3、如图，正四棱锥`S-ABCD`的截面`CEFG_|_SA`，求证：`EG_|_SC`

    答案：略

    4、如图，已知两个正四棱锥`P-ABCD`与`Q-ABCD`的高分别为1和2，`AB=4`，

(1)求证：`PQ_|_平面ABCD`     (2)求证：求异面直线`AQ`与`PB`所成的角     (3)求点`P`到平面`QAD`的距离

    答案：(1)略  (2)`arc cos(sqrt3/9)`  (3)`arctan((3sqrt2)/2)`