证明:(1)取${\displaystyle CD}$中点${\displaystyle M}$，连结${\displaystyle OM}$，在矩形${\displaystyle ABCD}$中，${\displaystyle OM\stackrel{//}{=}\frac{1}{2}BC}$        

又${\displaystyle EF\stackrel{//}{=}\frac{1}{2}BC}$，则${\displaystyle EF\stackrel{//}{=}OM}$     连结${\displaystyle EM}$，于是四边形${\displaystyle EFOM}$为平行四边形          又${\displaystyle FO\not\subset }$平面${\displaystyle CDE}$，${\displaystyle EM\subset }$平面${\displaystyle CDE}$     平面${\displaystyle CDE}$

(2)连结${\displaystyle FM}$，由(1)和已知条件，在等边${\displaystyle △CDE}$中，     ${\displaystyle CM=DM}$，${\displaystyle EM\perp CD}$且${\displaystyle EM=\frac{\sqrt{3}}{2}CD=\frac{1}{2}BC=EF}$     ${\displaystyle \therefore }$平行四边形${\displaystyle EFOM}$为菱形，从而${\displaystyle EO\perp FM}$     又${\displaystyle FM\cap CD=M}$     ${\displaystyle \because CD\perp }$平面${\displaystyle EOM}$     ${\displaystyle \because CD\perp EO}$     而${\displaystyle FM\cap CD=M}$     ${\displaystyle \therefore EO\perp }$平面${\displaystyle CDF}$

    评注:证明线面平行的常规方法是利用判定定理，为此，只要在平面内找一条直线和${\displaystyle FO}$平行即可．

    已知中有线面平行，可利用线面平行的性质定理将此平行关系转化为线线平行，而利用线面平行的性质定理就必须先找出或作出辅助平面．

    证明:${\displaystyle 过\alpha 内一点M(不在\alpha 上)和b作平面\gamma \cap \alpha =c}$       

同样作平面${\displaystyle \delta \cap \beta =d}$     由，知     同理，故，且${\displaystyle c\not\subset \beta }$，${\displaystyle d\not\subset \beta }$     ，又知${\displaystyle c\not\subset \alpha ，\alpha \cap \beta =a}$     故     又已证，从而

    评注:利用线线、线面之间的平行及相互转证关系，将各类平行关系融于一个问题之中是解决这类问题的关键．

    解:由平面${\displaystyle EFGH}$，且${\displaystyle BD\not\subset }$平面${\displaystyle ABD}$，平面${\displaystyle ABD\cap }$平面${\displaystyle EFGH=EH}$，知      

同理     同理     故四边形${\displaystyle EFGH}$是平行四边形     由${\displaystyle BD\perp AC}$，知${\displaystyle EF\perp EH}$，从而${\displaystyle \angle HEF=90°}$     故平行四边形${\displaystyle EFGH}$是矩形     设${\displaystyle EF=x}$，由相似三角形知${\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{BF}{BC}}$     ${\displaystyle \therefore \frac{CF}{BC}=\frac{a-x}{a}}$     ${\displaystyle \therefore \frac{FG}{b}=\frac{CF}{BC}=\frac{a-x}{a}，得FG=\frac{b(a-x)}{a}}$

    ${\displaystyle \therefore S_{四边形EFGH}=FG·EF=\frac{b(a-x)}{a}x=\frac{b}{a}(ax-x^2)=\frac{b}{a}[-{(x-\frac{a}{2})}^2+\frac{a^2}{4}]}$

    当${\displaystyle x=\frac{a}{2}}$时，四边形${\displaystyle EFGH}$面积最大，最大值为${\displaystyle \frac{ab}{4}}$

    评注:有关立体几何中的计算问题或其他代数问题，必须先推理，后计算．

    解:(1)证明：①当${\displaystyle AB、CD}$在同一平面内时，由，${\displaystyle \alpha \cap 平面ABDC=AC}$，${\displaystyle \beta \cap 平面ABDC=BD}$         

${\displaystyle \because AE:EB=CF:FD}$     ，又${\displaystyle EF\not\subset \beta }$，${\displaystyle BD\subset \beta }$          ②当${\displaystyle AB}$与${\displaystyle CD}$异面时，设平面${\displaystyle ACD\cap \beta =DH}$，且${\displaystyle DH=AC}$     ，${\displaystyle \alpha \cap }$平面${\displaystyle ACDH=AC}$          ${\displaystyle \therefore }$四边形${\displaystyle ACDH}$是平行四边形     在${\displaystyle AH}$上取一点${\displaystyle G}$，使${\displaystyle AG:GH=CF:FD}$，     又${\displaystyle \because AE:EB=CF:FD}$          ${\displaystyle \therefore }$平面平面${\displaystyle \beta }$     ${\displaystyle \because EF\subset }$平面${\displaystyle EFG}$          综上，

    (2)如图，连结${\displaystyle AD}$，取${\displaystyle AD}$的中点${\displaystyle M}$，连结${\displaystyle ME、MF}$        

${\displaystyle \because E}$、${\displaystyle F}$分别为${\displaystyle AB}$、${\displaystyle CD}$的中点     ，，且${\displaystyle ME=\frac{1}{2}BD=3}$，${\displaystyle MF=\frac{1}{2}AC=2}$     ${\displaystyle \therefore }$${\displaystyle \angle EMF}$为${\displaystyle AC}$与${\displaystyle BD}$所成的角(或其补角)     ${\displaystyle \therefore \angle EMF=60°}$或${\displaystyle 120°}$     ${\displaystyle \therefore }$在${\displaystyle △EFM}$中     ${\displaystyle EF=}$${\displaystyle \sqrt{M{E}^2+M{F}^2-2ME•MF•cos\angle EMF}}$     =${\displaystyle \sqrt{3^2+2^2\pm 2\times 3\times 2\times \left(\frac{1}{2}\right)}}$     =${\displaystyle \sqrt{13\pm 6}}$     即${\displaystyle EF=\sqrt{7}}$或${\displaystyle EF=\sqrt{19}}$

    评注:在应用面面平行、线面平行的性质时．应准确构造平面，此处需要利用公理${\displaystyle 3}$的有关知识，本例中对${\displaystyle AB}$和${\displaystyle CD}$位置关系的讨论具有一定代表性．可见分类讨论的思想在立体几何中也多有体现．本题构造了从面面平行转化为线线平行，再通过线线平行的“积累”再上升为面面平行，然后利用线面、面面平行的定义证明“一个平面内的直线，平行于另一个平面”这一结论．本题设计精巧，转化目的明确，有一定代表性．

    (1)证明线面平行一般是利用判定定理，在平面${\displaystyle ABCD}$内找到一条与${\displaystyle EF}$平行的直线是解决(1)的关键．
    (2)证明两个面平行,原则上是通过证明线面平行来解决，即面面平行${\displaystyle \iff }$线面平行${\displaystyle \iff }$线线平行．

    证明:(1)证法一：(由线线平行证线面平行)   

过${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$分别作${\displaystyle AB}$、${\displaystyle BC}$的垂线${\displaystyle EM}$、${\displaystyle FN}$，分别交${\displaystyle AB}$、${\displaystyle BC}$于${\displaystyle M}$、${\displaystyle N}$,连结${\displaystyle MN}$     ${\displaystyle \because BB\text{'}\perp }$平面${\displaystyle ABCD}$     ${\displaystyle \therefore BB\text{'}\perp AB}$，${\displaystyle BB\text{'}\perp BC}$     ，         ${\displaystyle \because AB\text{'}=BC\text{'}}$，${\displaystyle B\text{'}E=C\text{'}F}$     ${\displaystyle \therefore AE=BF}$，又${\displaystyle \angle B\text{'}AB=\angle C\text{'}BC=45°}$     ${\displaystyle \therefore Rt△AME\cong Rt△BNF}$     ${\displaystyle \therefore EM=FN}$     ${\displaystyle \therefore }$四边形${\displaystyle MNFE}$是平行四边形     ，又${\displaystyle MN\subset }$平面${\displaystyle ABCD}$     平面${\displaystyle ABCD}$ 　     证法二：(由面面平行证线面平行)     过${\displaystyle E}$作交${\displaystyle BB\text{'}}$于${\displaystyle G}$，连结${\displaystyle GF}$     ${\displaystyle \therefore \frac{B\text{'}E}{B\text{'}A}=\frac{B\text{'}G}{B\text{'}B}}$     ${\displaystyle \because B\text{'}E=C\text{'}F，B\text{'}A=C\text{'}B}$     ${\displaystyle \therefore \frac{C\text{'}F}{C\text{'}B}=\frac{B\text{'}G}{B\text{'}B}}$     ，又${\displaystyle \because EG\cap FG=G}$，${\displaystyle AB\cap BC=B}$     ${\displaystyle \therefore }$平面平面${\displaystyle ABCD}$，又${\displaystyle EF\subset }$平面${\displaystyle EFG}$     平面${\displaystyle ABCD}$

    (2)证法一：(由线线平行证面面平行)

如图，正方体${\displaystyle ABCD-A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}$中，，     又${\displaystyle AD\text{'}\cap CD\text{'}=D\text{'}}$，${\displaystyle BC\text{'}\cap BA\text{'}=B}$     ${\displaystyle \therefore }$平面平面${\displaystyle A\text{'}BC\text{'}}$ 　     证法二：(由线面垂直证面面平行)     连结${\displaystyle B\text{'}D}$，${\displaystyle \because A\text{'}B\text{'}\perp }$平面${\displaystyle ADD\text{'}A\text{'}}$，${\displaystyle A\text{'}D\perp AD\text{'}}$     ${\displaystyle \therefore B\text{'}D\perp AD\text{'}}$(三垂线定理)     同理，${\displaystyle B\text{'}D\perp CD\text{'}}$，又${\displaystyle AD\text{'}\cap CD\text{'}=D\text{'}}$     ${\displaystyle \therefore B\text{'}D\perp }$平面${\displaystyle ACD\text{'}}$     同理，${\displaystyle B\text{'}D\perp }$平面${\displaystyle A\text{'}BC}$     ${\displaystyle \therefore }$平面平面${\displaystyle A\text{'}BC\text{'}}$

    评注:线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系是处理此类问题的关键

    1、对于平面${\displaystyle \alpha }$和共面的直线${\displaystyle m、n}$，下列命题中真命题是(   )

    A.若${\displaystyle m\perp \alpha }$，${\displaystyle m\perp n}$，则

    B.若，，则

    C.若${\displaystyle m\subset \alpha }$，，则

    D.若${\displaystyle m、n与\alpha 所成的角相等}$，则

    2、以下条件能推出的个数是(   )

    ①${\displaystyle a\perp c，b\perp c}$；②；③${\displaystyle a}$与${\displaystyle b}$都和平面${\displaystyle \alpha }$相交且成等角；④${\displaystyle a、b}$都和异面直线${\displaystyle c、d}$垂直

    A.0     B.1      C.2      D.3

    3、已知${\displaystyle m、n}$表示两条直线，${\displaystyle \alpha }$表示一个平面，给出下列四个命题：

    ①；②；③；④
    则正确命题的序号为(   )

    A.①②   B.①④   C.②④   D.②③
    4、已知${\displaystyle ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$是棱长为${\displaystyle a}$的正方体，(1)画出过点${\displaystyle A}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle B_1}$的平面与底面${\displaystyle A_1{B}_1{C}_{1}D1}$的交线${\displaystyle l}$；(2)${\displaystyle l}$与直线${\displaystyle AC}$的距离为______
    5、如图，正四面体${\displaystyle ABCD}$的棱长为1，棱，则正四而体上的所有点在平面${\displaystyle \alpha }$内的射影构成的图形面积的取值范围是______         

                                                      
    6、在空间四边形${\displaystyle ABCD}$中，${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$、${\displaystyle G}$、${\displaystyle H}$分别是${\displaystyle AB}$、${\displaystyle BC}$、${\displaystyle CD}$、${\displaystyle DA}$的中点

    (1)四边形${\displaystyle EFGH}$是______形

    (2)若${\displaystyle AC=BD}$，四边形${\displaystyle EFGH}$是______形

    (3)若${\displaystyle AC\perp BD}$，四边形${\displaystyle EFGH}$是______形
    (4)若${\displaystyle AC=BD}$且${\displaystyle AC\perp BD}$，四边形EFGH是______形
    7、如图，已知四棱锥${\displaystyle P-ABCD}$中，底面${\displaystyle ABCD}$为正方形，侧面${\displaystyle PDC}$为正三角形，且平面${\displaystyle PDC\perp }$底面${\displaystyle ABCD}$，${\displaystyle E}$为${\displaystyle PC}$的中点，求证：

    8、如图所示，四面体${\displaystyle ABCD}$被一平面所截，截面与四条棱${\displaystyle AD}$、${\displaystyle AC}$、${\displaystyle BC}$、${\displaystyle BD}$交于${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$、${\displaystyle G}$、${\displaystyle H}$，且截面${\displaystyle EFGH}$是一个平行四边形，求证：，

    1、对于平面${\displaystyle \alpha }$和共面的直线${\displaystyle m、n}$，下列命题中真命题是( C )

    A.若${\displaystyle m\perp \alpha }$，${\displaystyle m\perp n}$，则

    B.若，，则

    C.若${\displaystyle m\subset \alpha }$，，则

    D.若${\displaystyle m、n与\alpha 所成的角相等}$，则

    2、以下条件能推出的个数是( B )

    ①${\displaystyle a\perp c，b\perp c}$；②；③${\displaystyle a}$与${\displaystyle b}$都和平面${\displaystyle \alpha }$相交且成等角；④${\displaystyle a、b}$都和异面直线${\displaystyle c、d}$垂直

    A.0     B.1      C.2      D.3

    3、已知${\displaystyle m、n}$表示两条直线，${\displaystyle \alpha }$表示一个平面，给出下列四个命题：

    ①；②；③；④
    则正确命题的序号为( B )

    A.①②   B.①④   C.②④   D.②③
    4、已知${\displaystyle ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$是棱长为${\displaystyle a}$的正方体，(1)画出过点${\displaystyle A}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle B_1}$的平面与底面${\displaystyle A_1{B}_1{C}_{1}D1}$的交线${\displaystyle l}$；(2)${\displaystyle l}$与直线${\displaystyle AC}$的距离为______

    答案：${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}$
    5、如图，正四面体${\displaystyle ABCD}$的棱长为1，棱，则正四而体上的所有点在平面${\displaystyle \alpha }$内的射影构成的图形面积的取值范围是______         

                                                      
    答案：${\displaystyle [\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{1}{2}]}$

    6、在空间四边形${\displaystyle ABCD}$中，${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$、${\displaystyle G}$、${\displaystyle H}$分别是${\displaystyle AB}$、${\displaystyle BC}$、${\displaystyle CD}$、${\displaystyle DA}$的中点

    (1)四边形${\displaystyle EFGH}$是______形

    (2)若${\displaystyle AC=BD}$，四边形${\displaystyle EFGH}$是______形

    (3)若${\displaystyle AC\perp BD}$，四边形${\displaystyle EFGH}$是______形
    (4)若${\displaystyle AC=BD}$且${\displaystyle AC\perp BD}$，四边形EFGH是______形
    答案：(1)平行四边形  (2)菱形  (3)矩形  (4)正方形

    7、如图，已知四棱锥${\displaystyle P-ABCD}$中，底面${\displaystyle ABCD}$为正方形，侧面${\displaystyle PDC}$为正三角形，且平面${\displaystyle PDC\perp }$底面${\displaystyle ABCD}$，${\displaystyle E}$为${\displaystyle PC}$的中点，求证：

    答案：略

    8、如图所示，四面体${\displaystyle ABCD}$被一平面所截，截面与四条棱${\displaystyle AD}$、${\displaystyle AC}$、${\displaystyle BC}$、${\displaystyle BD}$交于${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$、${\displaystyle G}$、${\displaystyle H}$，且截面${\displaystyle EFGH}$是一个平行四边形，求证：，

    答案：略

    1、有下面四个命题，其中正确命题的序号是(   )

    ①“直线${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$为异面直线”的充分而不必要条件是“直线${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$不相交”；②“直线${\displaystyle l\perp }$平面${\displaystyle \alpha }$内所有直线”的充要条件是“${\displaystyle l\perp }$平面${\displaystyle \alpha }$”；③“直线直线${\displaystyle b}$的充要条件是“${\displaystyle a}$平行于${\displaystyle b}$所在的平面”；④“直线平面${\displaystyle \alpha }$”的必要而不充分条件是“直线${\displaystyle a}$平行于${\displaystyle \alpha }$内的一条直线”
    A.①③   B.②③   C.②④   D.③④
    2、${\displaystyle m}$、${\displaystyle n}$是空间两条不同直线，${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$是两个不同平面，下面有四个命题：

    ①
    ②
    ③
    ④

    其中真命题的编号是______(写出所有真命题的编号)

    3、如图，${\displaystyle \alpha \cap \beta =a}$，${\displaystyle \alpha \cap \gamma =b}$，${\displaystyle \gamma \cap \beta =c}$，且

    求证：

    4、(06·北京)如图，在底面为平行四边形的四棱锥${\displaystyle P-ABCD}$中，${\displaystyle AB\perp AC}$，${\displaystyle PA\perp 平面ABCD}$，且${\displaystyle PA=AB}$，点${\displaystyle E}$是${\displaystyle PD}$的中点
    (1)求证：${\displaystyle AC\perp PB}$

    (2)求证：

    (3)求二面角${\displaystyle E-AC-B}$的大小  

    1、有下面四个命题，其中正确命题的序号是( C )

    ①“直线${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$为异面直线”的充分而不必要条件是“直线${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$不相交”；②“直线${\displaystyle l\perp }$平面${\displaystyle \alpha }$内所有直线”的充要条件是“${\displaystyle l\perp }$平面${\displaystyle \alpha }$”；③“直线直线${\displaystyle b}$的充要条件是“${\displaystyle a}$平行于${\displaystyle b}$所在的平面”；④“直线平面${\displaystyle \alpha }$”的必要而不充分条件是“直线${\displaystyle a}$平行于${\displaystyle \alpha }$内的一条直线”
    A.①③   B.②③   C.②④   D.③④
    2、${\displaystyle m}$、${\displaystyle n}$是空间两条不同直线，${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$是两个不同平面，下面有四个命题：

    ①
    ②
    ③
    ④

    其中真命题的编号是______(写出所有真命题的编号)

    答案：①④

    3、如图，${\displaystyle \alpha \cap \beta =a}$，${\displaystyle \alpha \cap \gamma =b}$，${\displaystyle \gamma \cap \beta =c}$，且

    求证：

    答案：略

    4、(06·北京)如图，在底面为平行四边形的四棱锥${\displaystyle P-ABCD}$中，${\displaystyle AB\perp AC}$，${\displaystyle PA\perp 平面ABCD}$，且${\displaystyle PA=AB}$，点${\displaystyle E}$是${\displaystyle PD}$的中点
    (1)求证：${\displaystyle AC\perp PB}$

    (2)求证：

    (3)求二面角${\displaystyle E-AC-B}$的大小  

    答案：(1)略  (2)略  (3)${\displaystyle 135°}$