证明:(1)${\displaystyle \because DA\perp }$平面${\displaystyle ABC}$，${\displaystyle BC\perp AB}$

${\displaystyle \therefore BC\perp AD}$，又${\displaystyle BC\perp AB}$     ${\displaystyle \therefore BC\perp }$平面${\displaystyle ABD}$，又${\displaystyle AE\subset 平面ABD}$     ${\displaystyle \therefore AF\perp BC}$，又${\displaystyle AF\perp BD}$     ${\displaystyle \therefore AF\perp }$平面${\displaystyle BCD，又}$AE_|_CD${\displaystyle }$     ${\displaystyle \therefore EF\perp DC}$ 　     (2)${\displaystyle \because DC\perp }$平面${\displaystyle AEF}$，${\displaystyle DC\subset }$平面${\displaystyle DBC}$     ${\displaystyle \therefore }$平面${\displaystyle DBC\perp }$平面${\displaystyle AEF}$

    评注:证明异面直线垂直，主要应用三垂线定理；证明面面垂直的关键是找到平面的某一垂线，即证线面垂直，也主要应用三垂线定理．

    证明:设${\displaystyle \alpha \cap \gamma =m}$，${\displaystyle \beta \cap \gamma =n}$，在${\displaystyle \gamma }$内取一点${\displaystyle P}$，${\displaystyle P\notin m、n}$，并在${\displaystyle \gamma }$内过点${\displaystyle P}$分别作${\displaystyle m、n}$的垂线${\displaystyle a、b}$

${\displaystyle \because \alpha \perp \gamma ，\beta \perp \gamma }$     ${\displaystyle \therefore a\perp \alpha ，b\perp \beta }$     ${\displaystyle \therefore l\perp a，l\perp b}$     ${\displaystyle \because a\cap b=P}$，${\displaystyle a、b\subset \gamma }$     ${\displaystyle \therefore l\perp \gamma }$

    评注:性质定理是以两个平面垂直为前提条件的，结论是直线垂直于平面，这条直线必须是在一个平面内且垂直于它们的交线，用它证明直线和平面垂直．虽然没有线面垂直判定定理应用得那样普遍，但也经常使用，想一想，此题还有其他证法吗？

    解:(1)证明：${\displaystyle \because }$平面平面${\displaystyle ABC}$

${\displaystyle \because BC\perp AC}$     ${\displaystyle \therefore B_1{C}_1\perp A_1{C}_1}$     又${\displaystyle \because }$平面${\displaystyle A{B}_{1}C\perp }$平面${\displaystyle ABC}$，平面${\displaystyle A{B}_{1}C\cap }$平面${\displaystyle ABC=AC}$     ${\displaystyle \therefore BC\perp }$平面${\displaystyle A{B}_{1}C}$     ${\displaystyle \therefore BC\perp A{B}_1}$     ${\displaystyle \therefore B_1{C}_1\perp A{B}_1}$     又${\displaystyle \because A_1{C}_1\cap B_1{C}_1=C_1，B_1{C}_1\cap A{B}_1=B_1}$     ${\displaystyle \therefore }$直线${\displaystyle B_1{C}_1}$是异面直线${\displaystyle A{B}_1}$与${\displaystyle A_1{C}_1}$的公垂线 　     (2)过点${\displaystyle A}$作${\displaystyle AD\perp B_{1}C}$于D${\displaystyle }$     ${\displaystyle \because △A{B}_{1}C}$为正三角形     ${\displaystyle \because D}$为${\displaystyle B_{1}C}$的中点             ${\displaystyle \because BC\perp }$平面${\displaystyle A{B}_{1}C}$     ${\displaystyle \because BC\perp AD}$     又${\displaystyle \because B_{1}C\cap BC=C}$     ${\displaystyle \therefore AD\perp 平面VBC}$     ${\displaystyle \therefore }$线段${\displaystyle AD}$的长即为点${\displaystyle A}$到平面${\displaystyle VBC}$的距离     在正${\displaystyle △A{B}_{1}C}$中，${\displaystyle AD=\frac{\sqrt{3}}{2}}$，${\displaystyle AC=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2a=\sqrt{3}}$     ${\displaystyle \therefore }$点${\displaystyle A}$到平面${\displaystyle VBC}$的距离为${\displaystyle \sqrt{3}a}$ 　     (3)过点${\displaystyle D}$作${\displaystyle DH\perp VB}$于${\displaystyle H}$，连结${\displaystyle AH}$     由三垂线定理知${\displaystyle AH\perp VB}$     ${\displaystyle \therefore \angle AHD}$是二面角${\displaystyle A-VB-C}$的平面角     在${\displaystyle Rt△AHD}$中，${\displaystyle AD=\sqrt{3}a}$，${\displaystyle △B_{1}DH~△B_{1}BC}$，${\displaystyle \frac{DH}{BC}=\frac{B_{1}D}{B_{1}B}}$     ${\displaystyle \therefore DH=\frac{B_{1}D·BC}{B_{1}B}=\frac{\sqrt{5}}{5}a}$     ${\displaystyle \therefore tan\angle AHD=\frac{AD}{DH}=\sqrt{15}}$     ${\displaystyle \therefore \angle AHD=arctan\sqrt{15}}$     ${\displaystyle \therefore }$二面角${\displaystyle A-VB-C}$的大小为${\displaystyle arctan\sqrt{15}}$

    评注:证明“${\displaystyle \angle AHD}$是二面角${\displaystyle A-VB-C}$的平面角”要注意定义的叙述．

    本题是一道探索性的开放试题，对于此类题应当先假设存在满足条件的${\displaystyle Q}$点，然后分析、计算，看是否得出矛盾 ．此题意在考查学生的创新意识和分析问题解决问题的能力，也是近几年数学高考的命题趋势和高考的热点．

    解:若${\displaystyle BC}$边上存在点${\displaystyle Q}$，使得${\displaystyle PQ\perp DQ}$

    ${\displaystyle \because PA\perp }$平面${\displaystyle ABC}$

    由三垂线逆定理知${\displaystyle AQ\perp DQ}$

    在矩形${\displaystyle ABCD}$中，当时，直线${\displaystyle BC}$和以${\displaystyle AD}$为直径的圆相离，故时不存在点${\displaystyle Q}$，使${\displaystyle AQ\perp DQ}$

    ${\displaystyle \therefore }$仅当${\displaystyle a\ge 2}$时，才存在点${\displaystyle Q}$使${\displaystyle PQ\perp DQ}$

    评注:(1)本题中${\displaystyle a=2}$时，在${\displaystyle BC}$边上存在唯一的点${\displaystyle Q}$使${\displaystyle PQ\perp QD}$；
    (2)本题一改通常情况下给出已知条件来求证${\displaystyle PQ\perp QD}$，而是预先给出结论，去寻找使得结论成立的充分条件，是一道条件开放题．主要考查的是通过三垂线逆定理证明线线垂直，此题把通常的逻辑推理题目改造成一个探索性问题，这是近几年高考在立体几何方面的一种创新与尝试，应引起足够的重视．

    证明两平面垂直，一般是通过判定定理转化为证明线面垂直，进而转化为一个平面内的一条直线与另一平面的两条相交直线都垂直．

    证明:${\displaystyle \because ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$为正方体

${\displaystyle \therefore AD\perp }$平面${\displaystyle D_{1}C{C}_1{D}_1}$，又${\displaystyle D_{1}F\subset }$平面${\displaystyle D_{1}C{C}_1{D}_1}$     ${\displaystyle \therefore AD\perp D_{1}F}$     取${\displaystyle AB}$中点${\displaystyle G}$，连结${\displaystyle A_{1}G}$、${\displaystyle FG}$     ${\displaystyle \because F}$为${\displaystyle CD}$中点                     ${\displaystyle \because E}$是${\displaystyle B{B}_1}$中点，     ${\displaystyle \therefore Rt△A_{1}AG\cong Rt△ABE}$     ${\displaystyle \therefore \angle A{A}_{1}G=\angle EAG}$     ${\displaystyle \therefore \angle AH{A}_1=90°}$，即${\displaystyle A_{1}G\perp AE}$     ${\displaystyle \therefore D_{1}F\perp AE}$     ${\displaystyle \because AD\cap AE=A}$     ${\displaystyle \therefore D_{1}F\perp }$平面${\displaystyle ADE}$     又${\displaystyle D_{1}F\subset }$平面${\displaystyle A_{1}F{D}_1}$     ${\displaystyle \therefore }$平面${\displaystyle A_{1}F{D}_1\perp }$平面${\displaystyle ADE}$

    评注:抓住线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化关系．

    1、下列命题中正确的是(   )
    A.平面${\displaystyle \alpha }$和平面${\displaystyle \beta }$分别过两条互相垂直的直线，则${\displaystyle \alpha \perp \beta }$
    B.若平面${\displaystyle \alpha }$内的一条直线垂直于平面${\displaystyle \beta }$内的两条平行直线，则${\displaystyle \alpha \perp \beta }$
    C.若平面${\displaystyle \alpha }$内的一条直线垂直于平面${\displaystyle \beta }$内的两条相交直线，则${\displaystyle \alpha \perp \beta }$
    D.若平面${\displaystyle \alpha }$内的一条直线垂直于平面${\displaystyle \beta }$内的无数条直线，则${\displaystyle \alpha \perp \beta }$
    2、过直二面角${\displaystyle \alpha -l-\beta }$的面${\displaystyle \alpha }$内一点${\displaystyle P}$作${\displaystyle l}$的垂线${\displaystyle a}$，则下列结论中，正确结论的个数是(   )
    ①${\displaystyle \alpha \perp \beta }$；

    ②垂线${\displaystyle a}$是唯一的；

    ③垂线${\displaystyle a}$有无数条但它们都不与${\displaystyle \beta }$垂直；

    ④垂线${\displaystyle a}$有无数条且它们在同一平面内，
    A.0     B.1      C.2      D.3

    3、如图，平面${\displaystyle \alpha \perp }$平面beta，${\displaystyle A\in \alpha }$，${\displaystyle B\in \beta }$，${\displaystyle AB}$与两平面${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$所成的角分别为${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$和${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$，过${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$分别作两平面交线的垂线，垂是为${\displaystyle A\text{'}}$、${\displaystyle B\text{'}}$，若${\displaystyle AB=12}$，则${\displaystyle A\text{'}B\text{'}}$等于(   )
    A.4     B.6      C.8      D.9

    4、${\displaystyle ABCD}$是正方形，以对角线${\displaystyle BD}$为棱折成直二面角${\displaystyle A-BD-C}$，则二面角${\displaystyle A-CD-B}$的正切值为______           
    5、${\displaystyle ABCD}$是正方形，${\displaystyle PA\perp 平面ABCD}$，在平面${\displaystyle PAB}$、${\displaystyle PBC}$、${\displaystyle PCD}$、${\displaystyle PDA}$和平面${\displaystyle ABCD}$中，若将成直二面角的两个平而视为一对，则其中共有______对

    6、${\displaystyle E、F}$分别是正方形${\displaystyle ABCD}$的边${\displaystyle AB}$和${\displaystyle CD}$的中点，${\displaystyle EF}$交${\displaystyle BD}$于${\displaystyle O}$，以${\displaystyle EF}$为棱将正方形折成直二面角，则${\displaystyle \angle BOD=}$______

                                                      
    7、如图，已知四边形${\displaystyle ABCD}$是边长为${\displaystyle a}$的菱形，${\displaystyle PC\perp }$平面${\displaystyle ABCD}$，点${\displaystyle E}$为${\displaystyle PA}$的中点，

    求证：平面${\displaystyle EDB\perp }$平面${\displaystyle ABCD}$

    8、正三棱柱${\displaystyle ABC-A{1}_B\_1C_1}$，底面边长为${\displaystyle a}$，${\displaystyle D}$、${\displaystyle E}$分别是${\displaystyle B{B}_1}$、${\displaystyle C{C}_1}$上的一点，且${\displaystyle BD=\frac{1}{2}a}$，${\displaystyle EC=a}$
    (1)求证：平面${\displaystyle ADE\perp }$平面${\displaystyle AC{C}_{1}A}$

    (2)求截面${\displaystyle △ADE}$的面积

    1、下列命题中正确的是( C )
    A.平面${\displaystyle \alpha }$和平面${\displaystyle \beta }$分别过两条互相垂直的直线，则${\displaystyle \alpha \perp \beta }$
    B.若平面${\displaystyle \alpha }$内的一条直线垂直于平面${\displaystyle \beta }$内的两条平行直线，则${\displaystyle \alpha \perp \beta }$
    C.若平面${\displaystyle \alpha }$内的一条直线垂直于平面${\displaystyle \beta }$内的两条相交直线，则${\displaystyle \alpha \perp \beta }$
    D.若平面${\displaystyle \alpha }$内的一条直线垂直于平面${\displaystyle \beta }$内的无数条直线，则${\displaystyle \alpha \perp \beta }$
    2、过直二面角${\displaystyle \alpha -l-\beta }$的面${\displaystyle \alpha }$内一点${\displaystyle P}$作${\displaystyle l}$的垂线${\displaystyle a}$，则下列结论中，正确结论的个数是( B )
    ①${\displaystyle \alpha \perp \beta }$；

    ②垂线${\displaystyle a}$是唯一的；

    ③垂线${\displaystyle a}$有无数条但它们都不与${\displaystyle \beta }$垂直；

    ④垂线${\displaystyle a}$有无数条且它们在同一平面内，
    A.0     B.1      C.2      D.3

    3、如图，平面${\displaystyle \alpha \perp }$平面beta，${\displaystyle A\in \alpha }$，${\displaystyle B\in \beta }$，${\displaystyle AB}$与两平面${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$所成的角分别为${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$和${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$，过${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$分别作两平面交线的垂线，垂是为${\displaystyle A\text{'}}$、${\displaystyle B\text{'}}$，若${\displaystyle AB=12}$，则${\displaystyle A\text{'}B\text{'}}$等于( B )
    A.4     B.6      C.8      D.9

    4、${\displaystyle ABCD}$是正方形，以对角线${\displaystyle BD}$为棱折成直二面角${\displaystyle A-BD-C}$，则二面角${\displaystyle A-CD-B}$的正切值为______

    答案：${\displaystyle \sqrt{2}}$ 

    5、${\displaystyle ABCD}$是正方形，${\displaystyle PA\perp 平面ABCD}$，在平面${\displaystyle PAB}$、${\displaystyle PBC}$、${\displaystyle PCD}$、${\displaystyle PDA}$和平面${\displaystyle ABCD}$中，若将成直二面角的两个平而视为一对，则其中共有______对

    答案：${\displaystyle 5}$

    6、${\displaystyle E、F}$分别是正方形${\displaystyle ABCD}$的边${\displaystyle AB}$和${\displaystyle CD}$的中点，${\displaystyle EF}$交${\displaystyle BD}$于${\displaystyle O}$，以${\displaystyle EF}$为棱将正方形折成直二面角，则${\displaystyle \angle BOD=}$______

    答案：${\displaystyle 120°}$

    7、如图，已知四边形${\displaystyle ABCD}$是边长为${\displaystyle a}$的菱形，${\displaystyle PC\perp }$平面${\displaystyle ABCD}$，点${\displaystyle E}$为${\displaystyle PA}$的中点，

    求证：平面${\displaystyle EDB\perp }$平面${\displaystyle ABCD}$

    答案：略

    8、正三棱柱${\displaystyle ABC-A{1}_B\_1C_1}$，底面边长为${\displaystyle a}$，${\displaystyle D}$、${\displaystyle E}$分别是${\displaystyle B{B}_1}$、${\displaystyle C{C}_1}$上的一点，且${\displaystyle BD=\frac{1}{2}a}$，${\displaystyle EC=a}$
    (1)求证：平面${\displaystyle ADE\perp }$平面${\displaystyle AC{C}_{1}A}$

    (2)求截面${\displaystyle △ADE}$的面积

    答案：(1)略  (2)${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}a}$

    1、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为${\displaystyle \alpha }$，则${\displaystyle cos\alpha }$=______
    2、如图所示，已知三棱锥${\displaystyle P-ABC}$中，${\displaystyle PA\perp PC}$，${\displaystyle BC\perp }$平面${\displaystyle PAC}$，下列五个结论中正确的是______           

①平面${\displaystyle PAB\perp }$平面${\displaystyle PBC}$；     ②平面${\displaystyle PAB\perp }$平面${\displaystyle ABC}$；     ③平面${\displaystyle PAC\perp }$平面${\displaystyle ABC}$；     ④平面${\displaystyle PAC\perp }$平面${\displaystyle PAB}$；     ⑤平面${\displaystyle PBC\perp }$平面${\displaystyle ABC}$．

    3、如图，已知四棱锥${\displaystyle P-ABCD}$的底面为直角梯形，，${\displaystyle \angle BCD=90°}$，${\displaystyle PA=PB}$，${\displaystyle PC=PD}$

    (1)证明：${\displaystyle CD}$与平面${\displaystyle PAD}$不垂直

    (2)证明：平面${\displaystyle PAB\perp }$平面${\displaystyle ABCD}$

    4、如图，${\displaystyle \alpha \perp \beta }$，${\displaystyle \alpha \cap \beta =l}$，${\displaystyle A\in \alpha }$，${\displaystyle B\in \beta }$，点${\displaystyle A}$在直线${\displaystyle l}$上的射影为${\displaystyle A_1}$，点${\displaystyle B}$在${\displaystyle l}$上的射影为${\displaystyle B_1}$．已知${\displaystyle AB=2}$，${\displaystyle A{A}_1}$${\displaystyle =1}$，${\displaystyle B{B}_1}$=${\displaystyle \sqrt{2}}$，求：
    (1)直线${\displaystyle AB}$分别与平面${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$所成角的大小
    (2)二面角${\displaystyle A_1-AB-B_1}$的大小

    1、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为${\displaystyle \alpha }$，则${\displaystyle cos\alpha }$=______

    答案：${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$
    2、如图所示，已知三棱锥${\displaystyle P-ABC}$中，${\displaystyle PA\perp PC}$，${\displaystyle BC\perp }$平面${\displaystyle PAC}$，下列五个结论中正确的是______           

①平面${\displaystyle PAB\perp }$平面${\displaystyle PBC}$；     ②平面${\displaystyle PAB\perp }$平面${\displaystyle ABC}$；     ③平面${\displaystyle PAC\perp }$平面${\displaystyle ABC}$；     ④平面${\displaystyle PAC\perp }$平面${\displaystyle PAB}$；     ⑤平面${\displaystyle PBC\perp }$平面${\displaystyle ABC}$．

    答案：①③   

    3、如图，已知四棱锥${\displaystyle P-ABCD}$的底面为直角梯形，，${\displaystyle \angle BCD=90°}$，${\displaystyle PA=PB}$，${\displaystyle PC=PD}$

    (1)证明：${\displaystyle CD}$与平面${\displaystyle PAD}$不垂直

    (2)证明：平面${\displaystyle PAB\perp }$平面${\displaystyle ABCD}$

    答案：(1)略  (2)略

    4、如图，${\displaystyle \alpha \perp \beta }$，${\displaystyle \alpha \cap \beta =l}$，${\displaystyle A\in \alpha }$，${\displaystyle B\in \beta }$，点${\displaystyle A}$在直线${\displaystyle l}$上的射影为${\displaystyle A_1}$，点${\displaystyle B}$在${\displaystyle l}$上的射影为${\displaystyle B_1}$．已知${\displaystyle AB=2}$，${\displaystyle A{A}_1}$${\displaystyle =1}$，${\displaystyle B{B}_1}$=${\displaystyle \sqrt{2}}$，求：
    (1)直线${\displaystyle AB}$分别与平面${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$所成角的大小
    (2)二面角${\displaystyle A_1-AB-B_1}$的大小

    答案：(1)${\displaystyle 45°}$、${\displaystyle 30°}$  (2)${\displaystyle arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}$