证明:由已知条件易知，平面`alpha`与平面`ABC`相交．设交线为`l`，即`l=alphann`平面`ABC`

    `.:P``inAB`
    `:.P``in`平面`ABC`
    `又P``inABnnalpha`
    `:.P``inalpha`，即`P`为平面`alpha`与平面`ABC`的公共点
    `.:P``inl`
    同理，可证点`R`和`Q`也在交线`l`上

    故`P、Q、R`三点共线于`l`上

    评注:画该图，以“倒画法”为宜，即按结论的要求画，先画出`P、Q、R`所在直线`l`，然后再画`△ABC`．

    证明:方法一：假设`b`与`c`不是异面直线，则`b`与`c`或平行或相交

    (1)若`b"//"c`，`.:c"//"a`

    `:.a"//"b`，这与`bnnalpha=A`矛盾

    `:.b`不平行于`c`        

(2)若`b`与`c`相交，设`bnnc=B`     `.:Binb`，且`bsubalpha`     `:.Binalpha`     `.:Binc`，`csubbeta`     `:.binbeta`     `:.B`是`alpha`与`beta`的公共点， 又`alphannbeta=a`     `:.Bina`，又`Binc`     `:.annc=B`，这与`a"//"c`矛盾     `:.b`与`c`不能相交     综合(1)(2)知`b`与`c`是异面直线

    方法二:`.:csubbeta，annb=A，alphannbeta=a`

    `:.Ainasubbeta`，由`a"//"c`，有`A!inc`

    在直线上任取不同于`A`的点`B`

    `.:bsubalpha`

    `:.B!inbeta`

    `:.AB`与`c`为异面直线，即`b、c`异面

    评注:证法一是根据空间直线的三种位置关系，采用反证法证明．反证法的关键一步是出现矛盾，常常与已知公理矛盾、已知定义矛盾、已知定理或题设矛盾．证法二是直接从已知条件出发，运用异面直线的判定定理，导出结论的直接证法．

    解:(1)`.:BC"//"B_1C_1`

    `:./_ACB`为异面直线`B_1C_1`与`A`所成角(或它的补角)
    `.:/_ABC=90°`，`AB=BC=1`

    `:./_ACB=45°`

    `:.`异面直线`B_1C_1`与`AC`所成角为`45°`

(2)`.:A``A_1_|_`平面`ABC`     `:./_ACA_1`是`A_1C`与平面`ABC`所成的角     `:./_ACA_1=45°`     `.:/_ABC=90°，AB=BC=1，AC=sqrt2`     `.:A``A_1=sqrt2`     `.:`三棱锥`A_1-ABC`的体积`V=1/3S_(△ABC)·A A_1=sqrt2/6`

    评注:求异面直线所成的角时，可先将其中一直线平移至与另一条相交并将其置于三角形中，通过解三角形可求得角的大小．

    解:方法一：平移法
    连结`BD`交`AC`于`E`，取`DD'`的中点`F`，连结`EF`，则`EF\stackrel{\////}{=}D'B`      

`:.``/_FEA`就是`D'B`和`AC`所成的角`     `.:AE=(sqrt(a^2+b^2))/2`     `.:EF=(sqrt(a^2+b^2+c^2))/2`，`AF=(sqrt(4b^2+c^2))/2`     `:.`在`△FEA`中，`cos/_FEA`=`(EF^2+AE^2-AF^2)/(2EF·AE)`     =`(a^2-b^2)/(sqrt((a^2+b^2)(a^2+b^2+c^2)))`

    方法二：补形法
    在长方体的一旁，补一个全等的长方体．
    `BE\stackrel{\////}{=}AC`，`/_D'BE`(或其补角)是`D'B`和`AC`所成的角
    `.:D'B=sqrt(a^2+b^2+c^2)`，`BE=sqrt(a^2+b^2)`，`D'E=sqrt(4a^2+b^2)`
    `.:`在`△D'BE`中，`cos/_D'BE`=`(D'B^2+BE^2-D'E^2)/(2D'B·BE)`=`(-a^2+b^2)/(sqrt((a^2+b^2)(a^2+b^2+c^2)))<0`

    故`D'B`和`AC`所成的角的余弦值为`cos/_FEA`=`(a^2-b^2)/(sqrt((a^2+b^2)(a^2+b^2+c^2)))`

                                   
    评注:求异面直线所成的角的一般步骤：
    (1)构造：根据异面直线的定义，一般是用平移法作出异面直线所成的角；
    (2)认定：证明作出的角就是要求的角；
    (3)计算：求角值，常利用三角形．
    注：向量法应熟练掌握，注意区别两异面直线所成角的范围是`(0，pi/2]`，两向量夹角的范围是`(0，pi]`．

    求两异面直线所成的角，一般是平移其中的一条(或两条)，使之相交，通过解三角形的方法求出两相交直线所成的角即为所求．

    解:方法一：补形法
    如图，以`AB、BC`为邻边作平行四边形`ABCM`，则`/_DCM`是`AB、BC`所成的角

设`AC=BC=a`     `.:/_ACB=90°`     `:.AB=sqrt2a，MC=sqrt2a`     `.:DA_|_平面ABC`     `:./_DAB=/_DAC=/_DAM=90°`     `.:/_ABD=30°`     `:.DA=sqrt6/3a`，又`AM=a`     `:.DM=DC=sqrt15/3a`     `:.cos/_DCM=(DC^2+MC^2-DM^2)/(2DC·MC)=sqrt30/10`     `:.`异面直线`AB`与`CD`所成的角的余弦值为`sqrt30/10`

    方法二：向量法

    设`AC=CB=a`，`vec(AB)`与`vec(CD)`所成的角为`theta`
    `:.AB=sqrt2a，CD=sqrt15/3a，vec(AB)·vec(CD)=|vec(AB)||vec(CD)|·costheta`

    又`.:vec(AB)·vec(CD)=(vec(AC)+vec(CB))(vec(CA)+vec(AD))=-a^2`

    `:.costheta=(vec(AB)·vec(CD))/(|vec(AB)||vec(CD)|)=(-a^2)/(sqrt2a·sqrt15/3a)=-sqrt30/10`

    `:.`异面直线`AB`与`CD`所成的角的余弦值为`sqrt30/10`

    评注:平移法与向量法是解决异面直线夹角的重要方法．

    1、下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确的有(   )
    A.②③     B.①②③     C.①②     D.②③④
    2、在正方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，异面直线`DB`和`A_1C`所成的角为(   )
    A.`30°`      B.`45°`        C.`60°`      D.`90°`
    3、若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是这两条直线没有公共点”的(   )
    A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充要条件     D.既不充分也不必要条件
    4、如图，四面体`ABCD`中，`E、F`分别是`AC`、`BD`的中点，若`CD=2AB=2`，`EF_|_AB`，则`EF`与`CD`所成的角等于______

    5、在正方形`ABCD`中，`E`是`AD`的中点，将`△ABE`和`△DCE`分别沿`BE`、`CE`向上折起，使`A、D`重合，记点为`S`，则`ES`与`BC`所成的角为______

    6、在正方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`的各面的12条对角线中，与正方体的对角线`A_1`C垂直的共有______条

    7、已知`asub`平面`alpha`，`A!inalpha`，`Binalpha`，`B!ina`，用反证法证明：直线`AB`和`a`是异面直线

    8、已知：直线`a_|_`直线`b`，`b_|_`平面`alpha`，`a!subalpha`

    求证：`a"//"alpha`

    1、下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确的有( A )
    A.②③     B.①②③     C.①②     D.②③④
    2、在正方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，异面直线`DB`和`A_1C`所成的角为( D )
    A.`30°`      B.`45°`        C.`60°`      D.`90°`
    3、若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是这两条直线没有公共点”的( A )
    A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充要条件     D.既不充分也不必要条件
    4、如图，四面体`ABCD`中，`E、F`分别是`AC`、`BD`的中点，若`CD=2AB=2`，`EF_|_AB`，则`EF`与`CD`所成的角等于______

    答案：`30°`

    5、在正方形`ABCD`中，`E`是`AD`的中点，将`△ABE`和`△DCE`分别沿`BE`、`CE`向上折起，使`A、D`重合，记点为`S`，则`ES`与`BC`所成的角为______

    答案：`90°`

    6、在正方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`的各面的12条对角线中，与正方体的对角线`A_1`C垂直的共有______条

    答案：6

    7、已知`asub`平面`alpha`，`A!inalpha`，`Binalpha`，`B!ina`，用反证法证明：直线`AB`和`a`是异面直线

    答案：略

    8、已知：直线`a_|_`直线`b`，`b_|_`平面`alpha`，`a!subalpha`

    求证：`a"//"alpha`

    答案：略

    1、设`A、B、C、D`是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(   )

    A.若`AC`与`BD`共面，则`AD`与`BC`共面          

    B.若`AC`与`BD`是异面直线，则`AD`与`BC`是异面直线    

    C.若`AB=AC`，`DB=DC`共面，则`AD=BC`     

    D.若`AB=AC`，`DB=DC`共面，则`AD_|_BC`

    2、如图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段若`AB`，`CD`，`EF`和`GH`在原正方体中相互异面的有______对

    3、如图，长度为2的线段`AB`夹在直二面角`alpha-l-beta`的两个半平面内，`Ainalpha`，`Binbeta`，且`AB`与平面`alpha，beta`所成的角都是`30°`，`AC_|_l`，垂足为`D`

    (1)求直线`AB`与`CD`所成角的大小

    (2)求二面角`C-AB-D`所成平面角的余弦值
                                                       

    4、如图，正方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，`M、N`分别是`A_1B_1、B_1C_1`的中点，问：

    (1)`AM`和`CN`是否是异面直线？并说明理由

    (2)`D_1B`和`C C_1`是否是异面直线？并说明理由

    1、设`A、B、C、D`是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( C )

    A.若`AC`与`BD`共面，则`AD`与`BC`共面          

    B.若`AC`与`BD`是异面直线，则`AD`与`BC`是异面直线    

    C.若`AB=AC`，`DB=DC`共面，则`AD=BC`     

    D.若`AB=AC`，`DB=DC`共面，则`AD_|_BC`

    2、如图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段若`AB`，`CD`，`EF`和`GH`在原正方体中相互异面的有______对

    答案：3

    3、如图，长度为2的线段`AB`夹在直二面角`alpha-l-beta`的两个半平面内，`Ainalpha`，`Binbeta`，且`AB`与平面`alpha，beta`所成的角都是`30°`，`AC_|_l`，垂足为`D`

    (1)求直线`AB`与`CD`所成角的大小

    (2)求二面角`C-AB-D`所成平面角的余弦值
                                                       

    答案：(1)`45°`  (2)`1/3`

    4、如图，正方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，`M、N`分别是`A_1B_1、B_1C_1`的中点，问：

    (1)`AM`和`CN`是否是异面直线？并说明理由

    (2)`D_1B`和`C C_1`是否是异面直线？并说明理由

    答案：(1)不是  (2)是