证明:如图，连结`AF`，由题设`AFnnbeta=M，连结BM、EM`        

`.:beta"//"gamma`，`平面ACF`分别交`beta`、`gamma于BM、CF`     故`BM"//"CF`，于是有`(AB)/(BC)=(AM)/(MF)`            同理可证`(AM)/(MF)=(DE)/(EF)`     `:.(AB)/(BC)=(DE)/(EF)`

    评注:当已知两个平面平行时，应凑足性质定理所需条件，充分利用性质去证明结论．

    要证明面积相等，在这里需要的面积公式为`S_△=1/2absintheta`，`a、b`为三角形相邻边的边长，`theta`为相邻边所成的夹角，只要证明边长乘积相同，角度相等，即可得证．

    证明:`.:平面alpha"//"平面beta`，平面`PBD与平面QAF`分别和平面`alpha、beta`相交于`AC、BD两点及AF、BD`   

`:.AC"//"BD，AF"//"BE`     `:./_CAF=/_BDE=theta`     并且`(AC)/(BD)=(PA)/(PB)，(BE)/(AF)=(QB)/(QA)`             `又.:PB=QA`     `:.PA=QB`     `:.(AC)/(BD)=(BE)/(AF)`     `:.AC·AF=BD·BE`     而`S_(△ACF)=1/2·AC·AF·sintheta，S_(△BDE)=1/2·BD·BE·sintheta`     `:.S_(△ACF)=S_(△BDE)`

    评注:解决此类问题的关键是由面面平行求出线线平行，然后运用对应边成比例和面积公式求解．

    解:(1)证明：`.:PA_|_`平面`ABCD`        

`:.PA_|_DC`     `.:DC_|_AD`且`ADnnPA=A`     `:.DC_|_`平面`PAD`     `.:DCsub`平面`PDC`     `:.`平面`PDC_|_`平面`PAD` 　     (2)证明：取`PD`中点`F`，连结`EF`、`FA`     `.:E`为`PC`中点`     `:.在△PDC中，EF\stackrel{\////}{=}1/2DC`     `:.EF\stackrel{\////}{=}AB`     `:.`四边形`ABEF`为平行四边形，即`BE"//"AF`     `.:AFsub`平面`PAD`，且`BE!sub`平面`PAD`     `:.BE"//"`平面`PAD` 　     (3)连结`AC`，取`AC`中点`O`，连结`EO`     在`△PAC`中，`EO\stackrel{\////}{=}1/2PA`     `:.EO_|_`平面`ABC`     过`O`作`OG_|_BG`交`BD`于`G`，连结`EG`     由三垂线定理知`/_EGO`为所求二面角`E-BD-C`的平面角     设`PA=AD=CD=2a`，`AB=a`     `:.EO=a`

    连结`DO`并延长交`AB`于`B'`，则四边形`AB'CD`为正方形，且`BB'=a`，`O`为`DB'`中点 

    过`B'`作`B'G'_|_DB`交`BD`于`G'`

    `:.OG=1/2B'G'=1/2BB'·sin/_B'BG'=1/2BB'·sin/_ABD`

    `=1/2a·(AD)/(BD)=1/2a·(2a)/sqrt((2a)^2+a^2)`

    `=1/sqrt5a`

    `:.tan/_EGO=a/(1/sqrt5a)=sqrt5`

    故二面角`E-BD-C`的平面角的正切值为`sqrt5`

    评注:

    解:(1)证明：①当`AB、CD`在同一平面内时，由`alpha"//"beta`，`alphann平面ABDC=AC`，`betann平面ABDC=BD`

`:.AC"//"BD`     `.:AE:EB=CF:FD`     `:.EF"//"BD`，又`EF!subbeta`，`BDsubbeta`     `:.EF"//"beta`     ②`当AB与CD异面时`，设平面`ACDnnbeta=DH，且DH=AC`     `.:alpha"//"beta`，`alphann平面ACDH=AC`     `:.AC"//"DH`     `:.四边形`ACDH`是平行四边形     在`AH`上取一点`G`，使`AG:GH=CF:FD`     又.:AE:EB=CF:FD`     `:.GF"//"HD，EG"//"BH，又EGnnGF=G`     `:.平面EFG"//"平面beta`     `.:EFsub平面EFG`     `:.EF"//"beta`     综上，`EF"//"beta` 　     (2)如图，连结`AD`，取`AD`的中点`M`，连结`ME、MF`     `.:E、F分别为AB、CD的中点`     `:.ME"//"BD，MF"//"AC，且ME=1/2BD=3，MF=1/2AC=2`     `:.``/_EMF`为`AC`与`BD`所成的角(或其补角)     `:./_EMF=60°或120°`     `:.`在`△EFM`中，`EF=``sqrt(ME^2+MF^2-2ME•MF•cos/_EMF)`     =`sqrt(3^2+2^2+-2xx3xx2xx(1/2))`     =`sqrt(13+-6)`     即`EF=sqrt7`或`EF=sqrt19`

    评注:在应用面面平行、线面平行的性质时．应准确构造平面，此处需要利用公理`3`的有关知识，本例中对`AB`和`CD`位置关系的讨论具有一定代表性．可见分类讨论的思想在立体几何中也多有体现．本题构造了从面面平行转化为线线平行，再通过线线平行的“积累”再上升为面面平行，然后利用线面、面面平行的定义证明“一个平面内的直线，平行于另一个平面”这一结论．本题设计精巧，转化目的明确，有一定代表性．

    (1)证明线面平行一般是利用判定定理，在平面`ABCD`内找到一条与`EF`平行的直线，是解决(1)的关键．
    (2)证明两个面平行,原则上是通过证明线面平行来解决，即面面平行`hArr`线面平行`hArr`线线平行．

    证明:(1)证法一：(由线线平行证线面平行)

过`E`、`F`分别作`AB`、`BC`的垂线`EM`、`FN`，分别交`AB`、`BC`于`M`、`N`,连结`MN`     `.:BB'_|_`平面`ABCD`     `:.BB'_|_AB`，`BB'_|_BC`     `:.EM"//"BB'`，`FN"//"BB'`     `:．EM"//"FN`     `.:AB'=BC'`，`B'E=C'F`     `:.AE=BF`，又`/_B'AB=/_C'BC=45°`     `:.Rt△AME~=Rt△BNF     `:.EM=FN`     `:.`四边形`MNFE`是平行四边形     `:.EF"//"MN`，又`MNsub`平面`ABCD`     `:.EF"//"`平面`ABCD` 　     证法二：(由面面平行证线面平行)     过`E`作`EG"//"B`交`BB'`于`G`，连结`GF`     `:.(B'E)/(B'A)=(B'G)/(B'B)`     `.:B'E=C'F，B'A=C'B`     `:.(C'F)/(C'B)=(B'G)/(B'B)`     `:.FG"//"B'C'"//"BC`，又`.:EGnnFG=G`，`ABnnBC=B`     `:.`平面`EFG"//"`平面`ABCD`，又`EFsub`平面`EFG`     `:.EF"//"`平面`ABCD`

    (2)证法一：(由线线平行证面面平行)

如图，正方体`ABCD-A'B'C'D'`中，`AD'"//"BC'`，`CD'"//"BA'`     又`AD'nnCD'=D'`，`BC'nnBA'=B`     `:.`平面`ACD'"//"`平面`A'BC'` 　     证法二：(由线面垂直证面面平行)     连结`B'D`，`.:A'B'_|_`平面`ADD'A'`，`A'D_|_AD'     `:.B'D_|_AD'`(三垂线定理)     同理，`B'D_|_CD'`，又`AD'nnCD'=D'`     `:.B'D_|_`平面`ACD'`     同理，`B'D_|_`平面`A'BC`     `:.`平面`ACD'"//"`平面`A'BC'`

    评注:线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系是处理此类问题的关键

    1、平面`alpha"//"`平面`beta`，直线`asubalpha`，点`Binbeta`，则在`beta`内过点`B`的直线中(   )

    A.不存在与`a`平行的直线          B.不一定存在与`a`平行的直线
    C.有且只有一条与`a`平行的直线    D.有无穷多条与`a`平行的直线

    2、若`P`是平面`alpha`外一点，则下列命题正确的是 (   )
    A.过`P`只能作一条直线与平面`alpha`相交
    B.过`P`可作无数条直线与平面`alpha`垂直
    C.过`P`只能作一条直线与平面`alpha`平行
    D.过`P`可作无数条直线与平面`alpha`平行
    3、夹在两平行平面`alpha`、`beta`间的两条斜线段`AB=8`，`CD=12`，`AB`和`CD`在`alpha`内的射影长的比为`3:5`，则`alpha`与`beta`间的距离为(   )
    A.`sqrt(15)`     B.`sqrt(17)`     C.`sqrt(19)`     D.`sqrt(21)`
    4、设`alpha"//"beta`，`A、Cinalpha`，`B、Dinbeta`，直线`AB`与`CD`交于点`S`，且`AS=8`，`BS=9`，`CD=34`

    (1)当`S`在`alpha`、`beta`之间时，CS=______
    (2)当`S`不在`alpha`、`beta`之间时，CS=______
    5、如图，过三棱柱`ABC-A_1B_1C_1`的任意两条棱的中点作直线，其中与平面`ABB_1A_1`平行的直线共有______条

                                          
    6、在正四棱柱`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，`E`、`F`、`G`、`H`分别为`C C_1`、`C_1D_1`、`D_1D`、`DC`的中点，`N`是`BC`的中点，点`M`在四边形`EFGH`及其内部运动，则`M`满足条件______时，有`MN"//"平面B_1BDD_1`

    7、如图，平面`alpha"//"`平面`beta`，`A、Cinalpha`，`B、Dinbeta`，若`AB+CD=28`，`AB、CD`在`beta`内的射影长分别为5和9，求`alpha`、`beta`间的距离

    8、如图，平面`alpha"//"`平面`beta`，`AB、CD`是两条异面直线，`M、N`分别是`AB、CD`的中点，且`A、Cinalpha`，`B、Dinbeta`，求证：`MN"//"平面alpha`

    1、平面`alpha"//"`平面`beta`，直线`asubalpha`，点`Binbeta`，则在`beta`内过点`B`的直线中( C )

    A.不存在与`a`平行的直线          B.不一定存在与`a`平行的直线
    C.有且只有一条与`a`平行的直线    D.有无穷多条与`a`平行的直线

    2、若`P`是平面`alpha`外一点，则下列命题正确的是( D )
    A.过`P`只能作一条直线与平面`alpha`相交
    B.过`P`可作无数条直线与平面`alpha`垂直
    C.过`P`只能作一条直线与平面`alpha`平行
    D.过`P`可作无数条直线与平面`alpha`平行
    3、夹在两平行平面`alpha`、`beta`间的两条斜线段`AB=8`，`CD=12`，`AB`和`CD`在`alpha`内的射影长的比为`3:5`，则`alpha`与`beta`间的距离为( C )
    A.`sqrt(15)`     B.`sqrt(17)`     C.`sqrt(19)`     D.`sqrt(21)`
    4、设`alpha"//"beta`，`A、Cinalpha`，`B、Dinbeta`，直线`AB`与`CD`交于点`S`，且`AS=8`，`BS=9`，`CD=34`

    (1)当`S`在`alpha`、`beta`之间时，CS=______
    (2)当`S`不在`alpha`、`beta`之间时，CS=______
    答案：(1)16   (2)272  

    5、如图，过三棱柱`ABC-A_1B_1C_1`的任意两条棱的中点作直线，其中与平面`ABB_1A_1`平行的直线共有______条

    答案：6  
    6、在正四棱柱`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，`E`、`F`、`G`、`H`分别为`C C_1`、`C_1D_1`、`D_1D`、`DC`的中点，`N`是`BC`的中点，点`M`在四边形`EFGH`及其内部运动，则`M`满足条件______时，有`MN"//"平面B_1BDD_1`

    答案：点`M`在`FH`上

    7、如图，平面`alpha"//"`平面`beta`，`A、Cinalpha`，`B、Dinbeta`，若`AB+CD=28`，`AB、CD`在`beta`内的射影长分别为5和9，求`alpha`、`beta`间的距离

    答案：12  

    8、如图，平面`alpha"//"`平面`beta`，`AB、CD`是两条异面直线，`M、N`分别是`AB、CD`的中点，且`A、Cinalpha`，`B、Dinbeta`

    求证：`MN"//"平面alpha`

    答案：略  

    1、设有不同的直线`a`、`b`和不同的平面`alpha`、`beta`、`gamma`，给出下列三个命题：
    ①若`a"//"alpha`，`b"//"alpha`，则`a"//"b`

    ②若`a"//"alpha`，`a"//"beta`，则`alpha"//"beta`

    ③若`alpha_|_gamma`，`beta_|_gamma`，则`alpha"//"beta`

    其中正确命题的个数是(   )
    A.0     B.1      C.2      D.3

    2、设`alpha`、`beta`表示平面，`a`、`b`表示不在`alpha`内也不在`beta`内的两条直线．给出下列4个论断：(1)`a"//"b`；(2)`a"//"beta`；(3)`alpha_|_beta`；(4)`b_|_alpha`，若以其中3个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题 ．写出你认为正确的一个命题 

______[注：写法如“(   )、(   )、(   )`rArr`(   )”，只需在(   )中填入论断的序号]
    3、设`a`、`b`为异面直线，`AB`为它们的公垂线

    (1)若`a`、`b`都平行于平面`alpha`，则`AB_|_alpha`

    (2)若`a`、`b`分别垂直于平面`alpha`、`beta`，则`alpha`与`beta`必相交

    4、已知直三棱柱`ABC-A_1B_1C_1`中，`△ABC`为等腰直角三角形，`/_BAC=90°`，且`AB=A A_1`，`D`、`E`、`F`分别为`B_1A`、`C_1 C`、`BC`的中点

(1)求证：`DE"//"平面ABC`     (2)求证：`B_1F_|_平面AEF`     (3)求二面角`B_1-AE-F`的大小

    1、设有不同的直线`a`、`b`和不同的平面`alpha`、`beta`、`gamma`，给出下列三个命题：
    ①若`a"//"alpha`，`b"//"alpha`，则`a"//"b`

    ②若`a"//"alpha`，`a"//"beta`，则`alpha"//"beta`

    ③若`alpha_|_gamma`，`beta_|_gamma`，则`alpha"//"beta`

    其中正确命题的个数是( A )
    A.0     B.1      C.2      D.3

    2、设`alpha`、`beta`表示平面，`a`、`b`表示不在`alpha`内也不在`beta`内的两条直线．给出下列4个论断：(1)`a"//"b`；(2)`a"//"beta`；(3)`alpha_|_beta`；(4)`b_|_alpha`，若以其中3个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题 ．写出你认为正确的一个命题 

______[注：写法如“(   )、(   )、(   )`rArr`(   )”，只需在(   )中填入论断的序号]

    答案：(1)(2)(4)`rArr`(3)或(1)(3)(4)`rArr`(2)

    3、设`a`、`b`为异面直线，`AB`为它们的公垂线

    (1)若`a`、`b`都平行于平面`alpha`，则`AB_|_alpha`

    (2)若`a`、`b`分别垂直于平面`alpha`、`beta`，则`alpha`与`beta`必相交

    答案：略  

    4、已知直三棱柱`ABC-A_1B_1C_1`中，`△ABC`为等腰直角三角形，`/_BAC=90°`，且`AB=A A_1`，`D`、`E`、`F`分别为`B_1A`、`C_1 C`、`BC`的中点

(1)求证：`DE"//"平面ABC`     (2)求证：`B_1F_|_平面AEF`     (3)求二面角`B_1-AE-F`的大小