证明:如图，连结${\displaystyle AF}$，由题设${\displaystyle AF\cap \beta =M，连结BM、EM}$        

，${\displaystyle 平面ACF}$分别交${\displaystyle \beta }$、${\displaystyle \gamma 于BM、CF}$     故，于是有${\displaystyle \frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MF}}$            同理可证${\displaystyle \frac{AM}{MF}=\frac{DE}{EF}}$     ${\displaystyle \therefore \frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}}$

    评注:当已知两个平面平行时，应凑足性质定理所需条件，充分利用性质去证明结论．

    要证明面积相等，在这里需要的面积公式为${\displaystyle S_{△}=\frac{1}{2}absin\theta }$，${\displaystyle a、b}$为三角形相邻边的边长，${\displaystyle \theta }$为相邻边所成的夹角，只要证明边长乘积相同，角度相等，即可得证．

    证明:，平面${\displaystyle PBD与平面QAF}$分别和平面${\displaystyle \alpha 、\beta }$相交于${\displaystyle AC、BD两点及AF、BD}$   

${\displaystyle \therefore \angle CAF=\angle BDE=\theta }$     并且${\displaystyle \frac{AC}{BD}=\frac{PA}{PB}，\frac{BE}{AF}=\frac{QB}{QA}}$             ${\displaystyle 又\because PB=QA}$     ${\displaystyle \therefore PA=QB}$     ${\displaystyle \therefore \frac{AC}{BD}=\frac{BE}{AF}}$     ${\displaystyle \therefore AC·AF=BD·BE}$     而${\displaystyle S_{△ACF}=\frac{1}{2}·AC·AF·sin\theta ，S_{△BDE}=\frac{1}{2}·BD·BE·sin\theta }$     ${\displaystyle \therefore S_{△ACF}=S_{△BDE}}$

    评注:解决此类问题的关键是由面面平行求出线线平行，然后运用对应边成比例和面积公式求解．

    解:(1)证明：${\displaystyle \because PA\perp }$平面${\displaystyle ABCD}$        

${\displaystyle \therefore PA\perp DC}$     ${\displaystyle \because DC\perp AD}$且${\displaystyle AD\cap PA=A}$     ${\displaystyle \therefore DC\perp }$平面${\displaystyle PAD}$     ${\displaystyle \because DC\subset }$平面${\displaystyle PDC}$     ${\displaystyle \therefore }$平面${\displaystyle PDC\perp }$平面${\displaystyle PAD}$ 　     (2)证明：取${\displaystyle PD}$中点${\displaystyle F}$，连结${\displaystyle EF}$、${\displaystyle FA}$     ${\displaystyle \because E}$为${\displaystyle PC}$中点${\displaystyle }$     ${\displaystyle \therefore 在△PDC中，EF\stackrel{//}{=}\frac{1}{2}DC}$     ${\displaystyle \therefore EF\stackrel{//}{=}AB}$     ${\displaystyle \therefore }$四边形${\displaystyle ABEF}$为平行四边形，即     ${\displaystyle \because AF\subset }$平面${\displaystyle PAD}$，且${\displaystyle BE\not\subset }$平面${\displaystyle PAD}$     平面${\displaystyle PAD}$ 　     (3)连结${\displaystyle AC}$，取${\displaystyle AC}$中点${\displaystyle O}$，连结${\displaystyle EO}$     在${\displaystyle △PAC}$中，${\displaystyle EO\stackrel{//}{=}\frac{1}{2}PA}$     ${\displaystyle \therefore EO\perp }$平面${\displaystyle ABC}$     过${\displaystyle O}$作${\displaystyle OG\perp BG}$交${\displaystyle BD}$于${\displaystyle G}$，连结${\displaystyle EG}$     由三垂线定理知${\displaystyle \angle EGO}$为所求二面角${\displaystyle E-BD-C}$的平面角     设${\displaystyle PA=AD=CD=2a}$，${\displaystyle AB=a}$     ${\displaystyle \therefore EO=a}$

    连结${\displaystyle DO}$并延长交${\displaystyle AB}$于${\displaystyle B\text{'}}$，则四边形${\displaystyle AB\text{'}CD}$为正方形，且${\displaystyle BB\text{'}=a}$，${\displaystyle O}$为${\displaystyle DB\text{'}}$中点 

    过${\displaystyle B\text{'}}$作${\displaystyle B\text{'}G\text{'}\perp DB}$交${\displaystyle BD}$于${\displaystyle G\text{'}}$

    ${\displaystyle \therefore OG=\frac{1}{2}B\text{'}G\text{'}=\frac{1}{2}BB\text{'}·sin\angle B\text{'}BG\text{'}=\frac{1}{2}BB\text{'}·sin\angle ABD}$

    ${\displaystyle =\frac{1}{2}a·\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}a·\frac{2a}{\sqrt{{\left(2a\right)}^2+a^2}}}$

    ${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{5}}a}$

    ${\displaystyle \therefore tan\angle EGO=\frac{a}{\frac{1}{\sqrt{5}}a}=\sqrt{5}}$

    故二面角${\displaystyle E-BD-C}$的平面角的正切值为${\displaystyle \sqrt{5}}$

    评注:

    解:(1)证明：①当${\displaystyle AB、CD}$在同一平面内时，由，${\displaystyle \alpha \cap 平面ABDC=AC}$，${\displaystyle \beta \cap 平面ABDC=BD}$

${\displaystyle \because AE:EB=CF:FD}$     ，又${\displaystyle EF\not\subset \beta }$，${\displaystyle BD\subset \beta }$          ②${\displaystyle 当AB与CD异面时}$，设平面${\displaystyle ACD\cap \beta =DH，且DH=AC}$     ，${\displaystyle \alpha \cap 平面ACDH=AC}$          ${\displaystyle \therefore 四边形}$ACDH${\displaystyle 是平行四边形}$     在${\displaystyle AH}$上取一点${\displaystyle G}$，使${\displaystyle AG:GH=CF:FD}$     又.:AE:EB=CF:FD${\displaystyle }$               ${\displaystyle \because EF\subset 平面EFG}$          综上， 　     (2)如图，连结${\displaystyle AD}$，取${\displaystyle AD}$的中点${\displaystyle M}$，连结${\displaystyle ME、MF}$     ${\displaystyle \because E、F分别为AB、CD的中点}$         ${\displaystyle \therefore }$${\displaystyle \angle EMF}$为${\displaystyle AC}$与${\displaystyle BD}$所成的角(或其补角)     ${\displaystyle \therefore \angle EMF=60°或120°}$     ${\displaystyle \therefore }$在${\displaystyle △EFM}$中，${\displaystyle EF=}$${\displaystyle \sqrt{M{E}^2+M{F}^2-2ME•MF•cos\angle EMF}}$     =${\displaystyle \sqrt{3^2+2^2\pm 2\times 3\times 2\times \left(\frac{1}{2}\right)}}$     =${\displaystyle \sqrt{13\pm 6}}$     即${\displaystyle EF=\sqrt{7}}$或${\displaystyle EF=\sqrt{19}}$

    评注:在应用面面平行、线面平行的性质时．应准确构造平面，此处需要利用公理${\displaystyle 3}$的有关知识，本例中对${\displaystyle AB}$和${\displaystyle CD}$位置关系的讨论具有一定代表性．可见分类讨论的思想在立体几何中也多有体现．本题构造了从面面平行转化为线线平行，再通过线线平行的“积累”再上升为面面平行，然后利用线面、面面平行的定义证明“一个平面内的直线，平行于另一个平面”这一结论．本题设计精巧，转化目的明确，有一定代表性．

    (1)证明线面平行一般是利用判定定理，在平面${\displaystyle ABCD}$内找到一条与${\displaystyle EF}$平行的直线，是解决(1)的关键．
    (2)证明两个面平行,原则上是通过证明线面平行来解决，即面面平行${\displaystyle \iff }$线面平行${\displaystyle \iff }$线线平行．

    证明:(1)证法一：(由线线平行证线面平行)

过${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$分别作${\displaystyle AB}$、${\displaystyle BC}$的垂线${\displaystyle EM}$、${\displaystyle FN}$，分别交${\displaystyle AB}$、${\displaystyle BC}$于${\displaystyle M}$、${\displaystyle N}$,连结${\displaystyle MN}$     ${\displaystyle \because BB\text{'}\perp }$平面${\displaystyle ABCD}$     ${\displaystyle \therefore BB\text{'}\perp AB}$，${\displaystyle BB\text{'}\perp BC}$     ，         ${\displaystyle \because AB\text{'}=BC\text{'}}$，${\displaystyle B\text{'}E=C\text{'}F}$     ${\displaystyle \therefore AE=BF}$，又${\displaystyle \angle B\text{'}AB=\angle C\text{'}BC=45°}$     ${\displaystyle \therefore Rt△AME\cong Rt△BNF}$     ${\displaystyle \therefore EM=FN}$     ${\displaystyle \therefore }$四边形${\displaystyle MNFE}$是平行四边形     ，又${\displaystyle MN\subset }$平面${\displaystyle ABCD}$     平面${\displaystyle ABCD}$ 　     证法二：(由面面平行证线面平行)     过${\displaystyle E}$作交${\displaystyle BB\text{'}}$于${\displaystyle G}$，连结${\displaystyle GF}$     ${\displaystyle \therefore \frac{B\text{'}E}{B\text{'}A}=\frac{B\text{'}G}{B\text{'}B}}$     ${\displaystyle \because B\text{'}E=C\text{'}F，B\text{'}A=C\text{'}B}$     ${\displaystyle \therefore \frac{C\text{'}F}{C\text{'}B}=\frac{B\text{'}G}{B\text{'}B}}$     ，又${\displaystyle \because EG\cap FG=G}$，${\displaystyle AB\cap BC=B}$     ${\displaystyle \therefore }$平面平面${\displaystyle ABCD}$，又${\displaystyle EF\subset }$平面${\displaystyle EFG}$     平面${\displaystyle ABCD}$

    (2)证法一：(由线线平行证面面平行)

如图，正方体${\displaystyle ABCD-A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}$中，，     又${\displaystyle AD\text{'}\cap CD\text{'}=D\text{'}}$，${\displaystyle BC\text{'}\cap BA\text{'}=B}$     ${\displaystyle \therefore }$平面平面${\displaystyle A\text{'}BC\text{'}}$ 　     证法二：(由线面垂直证面面平行)     连结${\displaystyle B\text{'}D}$，${\displaystyle \because A\text{'}B\text{'}\perp }$平面${\displaystyle ADD\text{'}A\text{'}}$，${\displaystyle A\text{'}D\perp AD\text{'}}$     ${\displaystyle \therefore B\text{'}D\perp AD\text{'}}$(三垂线定理)     同理，${\displaystyle B\text{'}D\perp CD\text{'}}$，又${\displaystyle AD\text{'}\cap CD\text{'}=D\text{'}}$     ${\displaystyle \therefore B\text{'}D\perp }$平面${\displaystyle ACD\text{'}}$     同理，${\displaystyle B\text{'}D\perp }$平面${\displaystyle A\text{'}BC}$     ${\displaystyle \therefore }$平面平面${\displaystyle A\text{'}BC\text{'}}$

    评注:线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系是处理此类问题的关键

    1、平面平面${\displaystyle \beta }$，直线${\displaystyle a\subset \alpha }$，点${\displaystyle B\in \beta }$，则在${\displaystyle \beta }$内过点${\displaystyle B}$的直线中(   )

    A.不存在与${\displaystyle a}$平行的直线          B.不一定存在与${\displaystyle a}$平行的直线
    C.有且只有一条与${\displaystyle a}$平行的直线    D.有无穷多条与${\displaystyle a}$平行的直线

    2、若${\displaystyle P}$是平面${\displaystyle \alpha }$外一点，则下列命题正确的是 (   )
    A.过${\displaystyle P}$只能作一条直线与平面${\displaystyle \alpha }$相交
    B.过${\displaystyle P}$可作无数条直线与平面${\displaystyle \alpha }$垂直
    C.过${\displaystyle P}$只能作一条直线与平面${\displaystyle \alpha }$平行
    D.过${\displaystyle P}$可作无数条直线与平面${\displaystyle \alpha }$平行
    3、夹在两平行平面${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$间的两条斜线段${\displaystyle AB=8}$，${\displaystyle CD=12}$，${\displaystyle AB}$和${\displaystyle CD}$在${\displaystyle \alpha }$内的射影长的比为${\displaystyle 3:5}$，则${\displaystyle \alpha }$与${\displaystyle \beta }$间的距离为(   )
    A.${\displaystyle \sqrt{15}}$     B.${\displaystyle \sqrt{17}}$     C.${\displaystyle \sqrt{19}}$     D.${\displaystyle \sqrt{21}}$
    4、设，${\displaystyle A、C\in \alpha }$，${\displaystyle B、D\in \beta }$，直线${\displaystyle AB}$与${\displaystyle CD}$交于点${\displaystyle S}$，且${\displaystyle AS=8}$，${\displaystyle BS=9}$，${\displaystyle CD=34}$

    (1)当${\displaystyle S}$在${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$之间时，CS=______
    (2)当${\displaystyle S}$不在${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$之间时，CS=______
    5、如图，过三棱柱${\displaystyle ABC-A_1{B}_1{C}_1}$的任意两条棱的中点作直线，其中与平面${\displaystyle AB{B}_1{A}_1}$平行的直线共有______条

                                          
    6、在正四棱柱${\displaystyle ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$中，${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$、${\displaystyle G}$、${\displaystyle H}$分别为${\displaystyle C{C}_1}$、${\displaystyle C_1{D}_1}$、${\displaystyle D_{1}D}$、${\displaystyle DC}$的中点，${\displaystyle N}$是${\displaystyle BC}$的中点，点${\displaystyle M}$在四边形${\displaystyle EFGH}$及其内部运动，则${\displaystyle M}$满足条件______时，有

    7、如图，平面平面${\displaystyle \beta }$，${\displaystyle A、C\in \alpha }$，${\displaystyle B、D\in \beta }$，若${\displaystyle AB+CD=28}$，${\displaystyle AB、CD}$在${\displaystyle \beta }$内的射影长分别为5和9，求${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$间的距离

    8、如图，平面平面${\displaystyle \beta }$，${\displaystyle AB、CD}$是两条异面直线，${\displaystyle M、N}$分别是${\displaystyle AB、CD}$的中点，且${\displaystyle A、C\in \alpha }$，${\displaystyle B、D\in \beta }$，求证：

    1、平面平面${\displaystyle \beta }$，直线${\displaystyle a\subset \alpha }$，点${\displaystyle B\in \beta }$，则在${\displaystyle \beta }$内过点${\displaystyle B}$的直线中( C )

    A.不存在与${\displaystyle a}$平行的直线          B.不一定存在与${\displaystyle a}$平行的直线
    C.有且只有一条与${\displaystyle a}$平行的直线    D.有无穷多条与${\displaystyle a}$平行的直线

    2、若${\displaystyle P}$是平面${\displaystyle \alpha }$外一点，则下列命题正确的是( D )
    A.过${\displaystyle P}$只能作一条直线与平面${\displaystyle \alpha }$相交
    B.过${\displaystyle P}$可作无数条直线与平面${\displaystyle \alpha }$垂直
    C.过${\displaystyle P}$只能作一条直线与平面${\displaystyle \alpha }$平行
    D.过${\displaystyle P}$可作无数条直线与平面${\displaystyle \alpha }$平行
    3、夹在两平行平面${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$间的两条斜线段${\displaystyle AB=8}$，${\displaystyle CD=12}$，${\displaystyle AB}$和${\displaystyle CD}$在${\displaystyle \alpha }$内的射影长的比为${\displaystyle 3:5}$，则${\displaystyle \alpha }$与${\displaystyle \beta }$间的距离为( C )
    A.${\displaystyle \sqrt{15}}$     B.${\displaystyle \sqrt{17}}$     C.${\displaystyle \sqrt{19}}$     D.${\displaystyle \sqrt{21}}$
    4、设，${\displaystyle A、C\in \alpha }$，${\displaystyle B、D\in \beta }$，直线${\displaystyle AB}$与${\displaystyle CD}$交于点${\displaystyle S}$，且${\displaystyle AS=8}$，${\displaystyle BS=9}$，${\displaystyle CD=34}$

    (1)当${\displaystyle S}$在${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$之间时，CS=______
    (2)当${\displaystyle S}$不在${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$之间时，CS=______
    答案：(1)16   (2)272  

    5、如图，过三棱柱${\displaystyle ABC-A_1{B}_1{C}_1}$的任意两条棱的中点作直线，其中与平面${\displaystyle AB{B}_1{A}_1}$平行的直线共有______条

    答案：6  
    6、在正四棱柱${\displaystyle ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$中，${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$、${\displaystyle G}$、${\displaystyle H}$分别为${\displaystyle C{C}_1}$、${\displaystyle C_1{D}_1}$、${\displaystyle D_{1}D}$、${\displaystyle DC}$的中点，${\displaystyle N}$是${\displaystyle BC}$的中点，点${\displaystyle M}$在四边形${\displaystyle EFGH}$及其内部运动，则${\displaystyle M}$满足条件______时，有

    答案：点${\displaystyle M}$在${\displaystyle FH}$上

    7、如图，平面平面${\displaystyle \beta }$，${\displaystyle A、C\in \alpha }$，${\displaystyle B、D\in \beta }$，若${\displaystyle AB+CD=28}$，${\displaystyle AB、CD}$在${\displaystyle \beta }$内的射影长分别为5和9，求${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$间的距离

    答案：12  

    8、如图，平面平面${\displaystyle \beta }$，${\displaystyle AB、CD}$是两条异面直线，${\displaystyle M、N}$分别是${\displaystyle AB、CD}$的中点，且${\displaystyle A、C\in \alpha }$，${\displaystyle B、D\in \beta }$

    求证：

    答案：略  

    1、设有不同的直线${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$和不同的平面${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$、${\displaystyle \gamma }$，给出下列三个命题：
    ①若，，则

    ②若，，则

    ③若${\displaystyle \alpha \perp \gamma }$，${\displaystyle \beta \perp \gamma }$，则

    其中正确命题的个数是(   )
    A.0     B.1      C.2      D.3

    2、设${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$表示平面，${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$表示不在${\displaystyle \alpha }$内也不在${\displaystyle \beta }$内的两条直线．给出下列4个论断：(1)；(2)；(3)${\displaystyle \alpha \perp \beta }$；(4)${\displaystyle b\perp \alpha }$，若以其中3个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题 ．写出你认为正确的一个命题 

______[注：写法如“(   )、(   )、(   )${\displaystyle \Rightarrow }$(   )”，只需在(   )中填入论断的序号]
    3、设${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$为异面直线，${\displaystyle AB}$为它们的公垂线

    (1)若${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$都平行于平面${\displaystyle \alpha }$，则${\displaystyle AB\perp \alpha }$

    (2)若${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$分别垂直于平面${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$，则${\displaystyle \alpha }$与${\displaystyle \beta }$必相交

    4、已知直三棱柱${\displaystyle ABC-A_1{B}_1{C}_1}$中，${\displaystyle △ABC}$为等腰直角三角形，${\displaystyle \angle BAC=90°}$，且${\displaystyle AB=A{A}_1}$，${\displaystyle D}$、${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$分别为${\displaystyle B_{1}A}$、${\displaystyle C_{1}C}$、${\displaystyle BC}$的中点

(1)求证：     (2)求证：${\displaystyle B_{1}F\perp 平面AEF}$     (3)求二面角${\displaystyle B_1-AE-F}$的大小

    1、设有不同的直线${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$和不同的平面${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$、${\displaystyle \gamma }$，给出下列三个命题：
    ①若，，则

    ②若，，则

    ③若${\displaystyle \alpha \perp \gamma }$，${\displaystyle \beta \perp \gamma }$，则

    其中正确命题的个数是( A )
    A.0     B.1      C.2      D.3

    2、设${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$表示平面，${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$表示不在${\displaystyle \alpha }$内也不在${\displaystyle \beta }$内的两条直线．给出下列4个论断：(1)；(2)；(3)${\displaystyle \alpha \perp \beta }$；(4)${\displaystyle b\perp \alpha }$，若以其中3个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题 ．写出你认为正确的一个命题 

______[注：写法如“(   )、(   )、(   )${\displaystyle \Rightarrow }$(   )”，只需在(   )中填入论断的序号]

    答案：(1)(2)(4)${\displaystyle \Rightarrow }$(3)或(1)(3)(4)${\displaystyle \Rightarrow }$(2)

    3、设${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$为异面直线，${\displaystyle AB}$为它们的公垂线

    (1)若${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$都平行于平面${\displaystyle \alpha }$，则${\displaystyle AB\perp \alpha }$

    (2)若${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$分别垂直于平面${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$，则${\displaystyle \alpha }$与${\displaystyle \beta }$必相交

    答案：略  

    4、已知直三棱柱${\displaystyle ABC-A_1{B}_1{C}_1}$中，${\displaystyle △ABC}$为等腰直角三角形，${\displaystyle \angle BAC=90°}$，且${\displaystyle AB=A{A}_1}$，${\displaystyle D}$、${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$分别为${\displaystyle B_{1}A}$、${\displaystyle C_{1}C}$、${\displaystyle BC}$的中点

(1)求证：     (2)求证：${\displaystyle B_{1}F\perp 平面AEF}$     (3)求二面角${\displaystyle B_1-AE-F}$的大小