解:(1)证明：`.:CD"//"C_1B_1`，又`BD=BC=B_1C_1`        

`:.`四边形`BDB_1C_1`是平行四边形     `:.BC_1"//"DB_1`     又`BC_1!sub`平面`AB_1D`，`DB_1sub`平面`AB_1D`     `:.`直线`BC_1"//"`平面`AB_1D` 　     (2)过`B`作`BE_|_AD`于`E`，连结`EB_1`     `.:BB_1_|_`平面`ABD`     `:.B_1E_|_AD`     `:./_B_1EB`就是二面角`B_1-AD-B`的平面角     `.:BD=BC=AB`     `:.BE=1/2AC=3/2`     在`Rt△B_1BE`中，`tan/_B_1EB=(BB_1)/(BE)=sqrt3`     `:./_B_1EB=60°`，即二面角`B_1-AD-B`的大小为`60°`

    (3)方法一：过`A`作`AF_|_BC`于`F`        

`.:BB_1_|_`平面`ABD`     `:.`平面`ABC_|_`平面`BB_1C_1C`     `:.AF_|_`平面`BB_1C_1C`，且`AF=sqrt3/2xx3=(3sqrt3)/2`     `:.V_(C_1-ABB_1)=V_(A-BB_1C_1)=1/3S_(△BB_1C_1)·AF=27/8`     方法二：在正三棱柱`ABC-A_1B_1C_1`中，`S_(ABB_1)=S_(A A_1B_1)`     `:.V_(C_1-ABB_1)=V_(C_1-A A_1B_1)=V_(A-A_1B_1C_1)=1/3S_(△A_1B_1C_1)·A A_1=27/8`     即三棱锥`C_1-ABB_1`的体积为`27/8`

    评注:对于体积的探求，解法一侧重于确定底面及相应的高后，直接计算；解法二侧重于体积(面积)变换后，简化计算．

    (1)锥体的体积公式为`V＝1/3Sh`，由于底面是一已知菱形，故只要求出锥体的高`PO`即可

    (2)将`DE`或`PA`平移，使之与`PA`或`DE`在同一平面内，通过解斜三角形即可

    解:(1)在四棱锥`P-ABCD`中 ，由`PO_|_平面ABCD`，得`/_PBO`是`PB`与平面`ABCD`所成的角，`/_PBO=``60°`

    在`Rt△AOB`中，`BO=ABsin30°=1`，又`PO_|_BO`，得`PO=BO=tan60°=sqrt3`，而底面菱形的面积为`2sqrt3`      

`:.`四棱锥`P-ABCD`的体积`V_(P-ABCD)=1/3xx2sqrt3xxsqrt3=2`          (2)取`AB`的中点`F`，连结`FF、DF`     由`E`是`PB`的中点，得`EF"//"PA`     `:./_FED`是异面直线`DE`与`PA`所成角(或它的补角)     在`Rt△AOB`中，`AO=ABcos30°=sqrt3=OP`     于是，在等腰`Rt△POA`中，`PA=sqrt6`，则`EF=sqrt6/2`     在正`△ABD`和正`△PBD`中，`DE=DF=sqrt3`，     `cos/_FED=(1/2EF)/(DE)=(sqrt6/4)/sqrt3=sqrt2/4`     `:.`异面直线`DE`与`PA`所成角的大小是`(arc cos)sqrt2/4`

    评注:关于正四面体(棱长均相等的三棱锥)，若棱长为`a`，则`S_全=sqrt3a^2`，`V=sqrt2/(12)a^3`，要熟记，并要把握该几何体与正方体的联系．

    解:取`BC`中点`E`，连结`PE、AE、ME`，过`P`作`PO_|_AE`于`O`      

`.:PB=PC`     `:.PE_|_BC`，同理，`AE_|_BC`     `:.BC_|_`平面`PAE`     `:.BC_|_ME，BC_|_PO`     `:.PO_|_`平面`ABC`     而`BC=12`，所以要使`△MBC`面积最小，只要`ME`最小，即`ME_|_PA`     又`PO_|_`平面`ABC`，而`P-ABC`为正三棱锥     `:.O`为`△ABC`的中心，`AO=2/3AE=2/3xxsqrt3/2xxAB=4sqrt3`     而`PO=8`     `:.PA=sqrt(PO^2+AO^2)=4sqrt7`     而`S_(△PAE)=1/2PAxxME=1/2AExxPO`

    `:.ME=(AExxPO)/(PA)=(6sqrt3xx8)/(4sqrt7)=(12sqrt3)/sqrt7`

    `:.S_(△MBC)=1/2BCxxME=1/2xx12xx(12sqrt3)/(sqrt7)=72/7sqrt21`

    `:.`所求截面面积的最小值为`72/7sqrt21`

    评注:(1)解决有关几何最值问题的关键是分清问题中哪些量是定的，哪些量是变动的 ．再研究这些变量的取值范围，以及这些变量能否用某一变量来表示，进而来确定它的最值，如本例中`BC=12`，于是剩下来的只需确定`M`到`BC`的距离的最小值即可．

    (2)在有关正棱锥的计算中，关键是抓住它的特征直角三角形(如本例的`△PAO、△POE`)．

    (3)解决立体几何的计算问题要注意做到“作、证、述、算”，一步也不能少．

    解:(1)证明：侧面`PCD`是正三角形，且垂直于底面`ABCD`垂直        

`:.`取`DC`中点`E`，连结`PE`，则平面`PE_|_DC`于点`E`     又侧面`PCDnn`底面`ABCD=CD`     `:.PE_|_`底面`ABCD`     连结`AE`，`AE`是斜线`PA`在底面`ABCD`的射影     `.:`底面`ABCD`是菱形，`/_ADC=60°`     `:.△ADC`是正三角形     `:.AE_|_CD`于`E`     又`.:DCsub`底面`ABCD`     `:.PA_|_CD` 　     (2)由(1)，得`PA_|_CD`，`.:CD"//"AB`     `:.PA_|_AB`     `.:AE_|_CD`，`CD"//"AB`     `:.AE_|_AB`

    `:./_PAE`是二面角`P-AB-D`的平面角

    `:.PE_|_`底面`ABCD`

    `:.△PEA`是直角三角形

    设菱形的边长为`a`，则`PE=EA=sqrt3/2a`

    `.:/_PAE=45°`，即二面角P-AB-D的度数是`45°`

    (3)证明：`.:M`是`PB`中点，取`PA`中点`N`， 连结`MN`，则`MN`是`△PAB`的中位线       

`:.``MN"//"AB"//"CD`     `:.`点`M、N、C、D`共面     又`PA_|_AB`     `:.MN_|_AP`，连结`DN`     `.:DP=DA`     `:.DN_|_PA`     `:.PA_|_`底面`ABCD`     又`PAsub`平面`PAB`     `:.`平面`CDM_|_`平面`PAB`          (4)连结`EB`，`.:PE_|_`平面`ABCD`，`PEsub`平面`PEB`     `:.`平面`PEB_|_`底面`ABCD`，作`:.MF_|_EB`于`F`     `.:`平面`PEBnn`底面`ABCD=EB`     `:.MF_|_`底面`ABCD`，设菱形边长为`a`     `.:`菱形面积为`2sqrt3`     `:.a^2·sin60°=2sqrt3     `:.a=2`     `:.MF=1/2PE=1/2xxsqrt3/2xx2=sqrt3/2`

    `:.`三棱锥`B-CDM`的体积`V=1/3S_(△CBD)·MF=1/3xxsqrt3xxsqrt3/2=1/2`

    评注:利用棱锥的概念、性质以及一些线面关系性质定理，可以解决有关求侧面积、体积以及用棱锥作载体的相关的线面平行、垂直等问题 ．解决这些问题起关键作用的是几个特殊截面：

    ①平行于底面的截面；

    ②侧棱、高及侧棱在底面内的射影组成的直角三角形；

    ③正棱锥的高、斜高及斜高在底面内的射影组成的直角三角形；

    ④侧棱、斜高及底边组成的直角三角形；

    ⑤正棱锥的含有相邻两侧面所成二面角的平面角的等腰三角形．

    这五个特殊截面在处理棱锥问题中都很重要，是实现空间问题平面化的关键所在．

    棱柱、棱锥等空间几何体的出现为空间点、线、面的位置关系提供了很好的实例载体，很多平行、垂直关系以及角和距离的运算，都转移到这些空间几何体中．同时，这些空间几何体也根据自身的概念和性质，提供一些条件和推理依据 ．

    解:(1)证法一：连结`A_1C_1`、`AC`，`AC`和`BD`交于`O`，连结`C_1O`

    由四边形`ABCD`是菱形得`AC_|_BD`，`BC=CD`，又`/_BC C_1=/_DC C_1`，`C_1C=C_1C`   

`:.△C_1BC~=△C_1DC`     `:.C_1B=C_1D`     `.:DO=OB`     `:.C_1O_|_BD`，又`AC_|_BD`，`ACnnC_1O=O`     `:.BD_|_平面AC C_1A_1`     又`C_1Csub`平面`AC C_1A_1`     `:.C_1C_|_BD     证法二：`.:/_C_1CB=/_C_1CD，CB=CD     `:.vec(C C_1)·vec(BD)=vec(C C_1)·(vec(CD)-vec(CB))     `=vec(C C_1)·vec(CD)-vec(C C_1)·vec(CB)     `=0`     `:.vec(C C_1)_|_vec(BD)`     `:.C C_1_|_BD`

(2)由(1)知`AC_|_BD`，`C_1O_|_BD`     `:./_C_1OC`是二面角`alpha-BD-beta`的平面角     在`△C_1BC`中，`BC=2`，`C_1C=3/2`，`/_BC C_1=60°`     `:.C_1B^2=2^2+(3/2)^2-2xx2xx3/2xxcos60°=13/4`，`/_OCB=30°`     `:.OB=1/2BC=1`     `:.C_1O^2=C_1B^2-OB^2=13/4-1=9/4`，`C_1O=3/2`     即`C_1O=C_1C`     作`C_1H_|_OC`，垂足为`H`，点`H`是`OC`的中点，且`OH=sqrt3/2`     `:.cos/_C_1OC=(OH)/(C_1O)=sqrt3/3`

    评注:对棱柱、棱锥的学习，特别是正三棱柱(锥)、正四棱柱(锥)，一方面要熟悉它们的有关概念和性质，另一方面有效利用这些性质可作为解题的重要条件．

    1、长方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，`AD=3`，`AB=5`，`AA_1=4`，从点`A`沿表面到`C_1`的最短距离为(   )
    A.`5sqrt2`     B.`sqrt74`     C.`4sqrt5`     D.`3sqrt10`
    2、两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面`ABCD`与正方体的某一个平面平行，且各项点均在正方体的而上，则这样的几何体体积的可能值有(   )

     
    A.1个     B.2个     C.3个     D.无穷多个

    3、四棱锥`P-ABCD`底面的四个顶点`A`、`B`、`C`、`D`在球`O`的同一个大圆上，点`P`在球面上 ．如果`V_(P-ABCD)``=``16/3`，则球`O`的表面积是(   )
    A.`4pi`      B.`8pi`      C.`12pi`      D.`16pi`
    4、在正五棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(   )

    A.`(0，pi/2)`     B.`(pi/2，pi)`     C.`((3pi)/5，pi)`     D.`((4pi)/5，pi)`
    5、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为______

    6、四棱柱的一个侧面的面积为`S`，这个侧面与它所对的棱的距离为`d`，那么这个四棱柱的体积为______
    7、已知平面`alpha`、`beta`、`gamma`两两互相垂直，它们的三条交线的公共点为`O`，过`O`引一条射线`OP`，若`OP`与三条交线中的两条所成的角都是`60°`，则`OP`与第三条交线所成的角为______
    8、如图，四棱锥`P-ABCD`中，底面`ABCD`是矩形，`PA_|_底面ABCD`，`PA=AB=1`，`BC=sqrt2`，`E`、`F`分别为`AD`、`PC`的中点．      

(1)求证：`PC_|_`平面`BEF`     (2)求`BD`与平面`BEF`所成角的正弦值

    1、长方体`ABCD-A_1B_1C_1D_1`中，`AD=3`，`AB=5`，`AA_1=4`，从点`A`沿表面到`C_1`的最短距离为( B )
    A.`5sqrt2`     B.`sqrt74`     C.`4sqrt5`     D.`3sqrt10`
    2、两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面`ABCD`与正方体的某一个平面平行，且各项点均在正方体的而上，则这样的几何体体积的可能值有( D )

     
    A.1个     B.2个     C.3个     D.无穷多个

    3、四棱锥`P-ABCD`底面的四个顶点`A`、`B`、`C`、`D`在球`O`的同一个大圆上，点`P`在球面上 ．如果`V_(P-ABCD)``=``16/3`，则球`O`的表面积是( D )
    A.`4pi`      B.`8pi`      C.`12pi`      D.`16pi`
    4、在正五棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( C )

    A.`(0，pi/2)`     B.`(pi/2，pi)`     C.`((3pi)/5，pi)`     D.`((4pi)/5，pi)`
    5、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为______

    答案：`16/3` 

    6、四棱柱的一个侧面的面积为`S`，这个侧面与它所对的棱的距离为`d`，那么这个四棱柱的体积为______

    答案：`Sd` 

    7、已知平面`alpha`、`beta`、`gamma`两两互相垂直，它们的三条交线的公共点为`O`，过`O`引一条射线`OP`，若`OP`与三条交线中的两条所成的角都是`60°`，则`OP`与第三条交线所成的角为______

    答案：`45°`
    8、如图，四棱锥`P-ABCD`中，底面`ABCD`是矩形，`PA_|_底面ABCD`，`PA=AB=1`，`BC=sqrt2`，`E`、`F`分别为`AD`、`PC`的中点．      

(1)求证：`PC_|_`平面`BEF`     (2)求`BD`与平面`BEF`所成角的正弦值

    答案：(1)略  (2)`sqrt3/6`

    1、长方休`AC_1`的长、宽、高分别为3、2、1，从`A`到`C_1`沿长方体的表面的最短距离为(   )

    A.`1+sqrt3`     B.`2+sqrt10`     C.`3sqrt2`     D.`2sqrt3`
    2、正三棱柱`ABC-A_1B_1C_1`的底面边长为`4cm`，过`BC`的一个平面与底面成`30°`的二面角，交侧棱`A A_1`于`D`，则`AD`的长为______，截面`△BCD`的面积为______

    3、棱锥的底面是正方形，有相邻的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面与底面成`45°`角，最长的侧棱长为`15cm`，求这个棱锥的高

    4、如图所示，在正三棱锥`S-ABC`中，过底面顶点`B`和侧棱`SA`、`SC`上的`E`、`F`点作一截面`BEF`和侧面`SAC`垂直

    (1)若`E`、`F`分别为`SA`、`SC`的中点时，求此三棱锥的侧面积与底面积之比

    (2)若`AB=8`，斜高`h'=(8sqrt3)/3`，求截面`BEF`的面积

    1、长方休`AC_1`的长、宽、高分别为3、2、1，从`A`到`C_1`沿长方体的表面的最短距离为( C )

    A.`1+sqrt3`     B.`2+sqrt10`     C.`3sqrt2`     D.`2sqrt3`
    2、正三棱柱`ABC-A_1B_1C_1`的底面边长为`4cm`，过`BC`的一个平面与底面成`30°`的二面角，交侧棱`A A_1`于`D`，则`AD`的长为______，截面`△BCD`的面积为______

    答案：`2cm`  `8cm^2`
    3、棱锥的底面是正方形，有相邻的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面与底面成`45°`角，最长的侧棱长为`15cm`，求这个棱锥的高

    答案：`5sqrt3cm`

    4、如图所示，在正三棱锥`S-ABC`中，过底面顶点`B`和侧棱`SA`、`SC`上的`E`、`F`点作一截面`BEF`和侧面`SAC`垂直

    (1)若`E`、`F`分别为`SA`、`SC`的中点时，求此三棱锥的侧面积与底面积之比

    (2)若`AB=8`，斜高`h'=(8sqrt3)/3`，求截面`BEF`的面积

    答案：(1)`sqrt6:1`  (2)`6`