解:(1)证明：，又${\displaystyle BD=BC=B_1{C}_1}$        

${\displaystyle \therefore }$四边形${\displaystyle BD{B}_1{C}_1}$是平行四边形          又${\displaystyle B{C}_1\not\subset }$平面${\displaystyle A{B}_{1}D}$，${\displaystyle D{B}_1\subset }$平面${\displaystyle A{B}_{1}D}$     ${\displaystyle \therefore }$直线平面${\displaystyle A{B}_{1}D}$ 　     (2)过${\displaystyle B}$作${\displaystyle BE\perp AD}$于${\displaystyle E}$，连结${\displaystyle E{B}_1}$     ${\displaystyle \because B{B}_1\perp }$平面${\displaystyle ABD}$     ${\displaystyle \therefore B_{1}E\perp AD}$     ${\displaystyle \therefore \angle B_{1}EB}$就是二面角${\displaystyle B_1-AD-B}$的平面角     ${\displaystyle \because BD=BC=AB}$     ${\displaystyle \therefore BE=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}}$     在${\displaystyle Rt△B_{1}BE}$中，${\displaystyle tan\angle B_{1}EB=\frac{B{B}_1}{BE}=\sqrt{3}}$     ${\displaystyle \therefore \angle B_{1}EB=60°}$，即二面角${\displaystyle B_1-AD-B}$的大小为${\displaystyle 60°}$

    (3)方法一：过${\displaystyle A}$作${\displaystyle AF\perp BC}$于${\displaystyle F}$        

${\displaystyle \because B{B}_1\perp }$平面${\displaystyle ABD}$     ${\displaystyle \therefore }$平面${\displaystyle ABC\perp }$平面${\displaystyle B{B}_1{C}_{1}C}$     ${\displaystyle \therefore AF\perp }$平面${\displaystyle B{B}_1{C}_{1}C}$，且${\displaystyle AF=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 3=\frac{3\sqrt{3}}{2}}$     ${\displaystyle \therefore V_{C_1-AB{B}_1}=V_{A-B{B}_1{C}_1}=\frac{1}{3}{S}_{△B{B}_1{C}_1}·AF=\frac{27}{8}}$     方法二：在正三棱柱${\displaystyle ABC-A_1{B}_1{C}_1}$中，${\displaystyle S_{AB{B}_1}=S_{A{A}_1{B}_1}}$     ${\displaystyle \therefore V_{C_1-AB{B}_1}=V_{C_1-A{A}_1{B}_1}=V_{A-A_1{B}_1{C}_1}=\frac{1}{3}{S}_{△A_1{B}_1{C}_1}·A{A}_1=\frac{27}{8}}$     即三棱锥${\displaystyle C_1-AB{B}_1}$的体积为${\displaystyle \frac{27}{8}}$

    评注:对于体积的探求，解法一侧重于确定底面及相应的高后，直接计算；解法二侧重于体积(面积)变换后，简化计算．

    (1)锥体的体积公式为${\displaystyle V＝\frac{1}{3}Sh}$，由于底面是一已知菱形，故只要求出锥体的高${\displaystyle PO}$即可

    (2)将${\displaystyle DE}$或${\displaystyle PA}$平移，使之与${\displaystyle PA}$或${\displaystyle DE}$在同一平面内，通过解斜三角形即可

    解:(1)在四棱锥${\displaystyle P-ABCD}$中 ，由${\displaystyle PO\perp 平面ABCD}$，得${\displaystyle \angle PBO}$是${\displaystyle PB}$与平面${\displaystyle ABCD}$所成的角，${\displaystyle \angle PBO=}$${\displaystyle 60°}$

    在${\displaystyle Rt△AOB}$中，${\displaystyle BO=ABsin30°=1}$，又${\displaystyle PO\perp BO}$，得${\displaystyle PO=BO=tan60°=\sqrt{3}}$，而底面菱形的面积为${\displaystyle 2\sqrt{3}}$      

${\displaystyle \therefore }$四棱锥${\displaystyle P-ABCD}$的体积${\displaystyle V_{P-ABCD}=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{3}\times \sqrt{3}=2}$          (2)取${\displaystyle AB}$的中点${\displaystyle F}$，连结${\displaystyle FF、DF}$     由${\displaystyle E}$是${\displaystyle PB}$的中点，得     ${\displaystyle \therefore \angle FED}$是异面直线${\displaystyle DE}$与${\displaystyle PA}$所成角(或它的补角)     在${\displaystyle Rt△AOB}$中，${\displaystyle AO=ABcos30°=\sqrt{3}=OP}$     于是，在等腰${\displaystyle Rt△POA}$中，${\displaystyle PA=\sqrt{6}}$，则${\displaystyle EF=\frac{\sqrt{6}}{2}}$     在正${\displaystyle △ABD}$和正${\displaystyle △PBD}$中，${\displaystyle DE=DF=\sqrt{3}}$，     ${\displaystyle cos\angle FED=\frac{\frac{1}{2}EF}{DE}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{4}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{4}}$     ${\displaystyle \therefore }$异面直线${\displaystyle DE}$与${\displaystyle PA}$所成角的大小是${\displaystyle (arccos)\frac{\sqrt{2}}{4}}$

    评注:关于正四面体(棱长均相等的三棱锥)，若棱长为${\displaystyle a}$，则${\displaystyle S_{全}=\sqrt{3}{a}^2}$，${\displaystyle V=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3}$，要熟记，并要把握该几何体与正方体的联系．

    解:取${\displaystyle BC}$中点${\displaystyle E}$，连结${\displaystyle PE、AE、ME}$，过${\displaystyle P}$作${\displaystyle PO\perp AE}$于${\displaystyle O}$      

${\displaystyle \because PB=PC}$     ${\displaystyle \therefore PE\perp BC}$，同理，${\displaystyle AE\perp BC}$     ${\displaystyle \therefore BC\perp }$平面${\displaystyle PAE}$     ${\displaystyle \therefore BC\perp ME，BC\perp PO}$     ${\displaystyle \therefore PO\perp }$平面${\displaystyle ABC}$     而${\displaystyle BC=12}$，所以要使${\displaystyle △MBC}$面积最小，只要${\displaystyle ME}$最小，即${\displaystyle ME\perp PA}$     又${\displaystyle PO\perp }$平面${\displaystyle ABC}$，而${\displaystyle P-ABC}$为正三棱锥     ${\displaystyle \therefore O}$为${\displaystyle △ABC}$的中心，${\displaystyle AO=\frac{2}{3}AE=\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times AB=4\sqrt{3}}$     而${\displaystyle PO=8}$     ${\displaystyle \therefore PA=\sqrt{P{O}^2+A{O}^2}=4\sqrt{7}}$     而${\displaystyle S_{△PAE}=\frac{1}{2}PA\times ME=\frac{1}{2}AE\times PO}$

    ${\displaystyle \therefore ME=\frac{AE\times PO}{PA}=\frac{6\sqrt{3}\times 8}{4\sqrt{7}}=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$

    ${\displaystyle \therefore S_{△MBC}=\frac{1}{2}BC\times ME=\frac{1}{2}\times 12\times \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{72}{7}\sqrt{21}}$

    ${\displaystyle \therefore }$所求截面面积的最小值为${\displaystyle \frac{72}{7}\sqrt{21}}$

    评注:(1)解决有关几何最值问题的关键是分清问题中哪些量是定的，哪些量是变动的 ．再研究这些变量的取值范围，以及这些变量能否用某一变量来表示，进而来确定它的最值，如本例中${\displaystyle BC=12}$，于是剩下来的只需确定${\displaystyle M}$到${\displaystyle BC}$的距离的最小值即可．

    (2)在有关正棱锥的计算中，关键是抓住它的特征直角三角形(如本例的${\displaystyle △PAO、△POE}$)．

    (3)解决立体几何的计算问题要注意做到“作、证、述、算”，一步也不能少．

    解:(1)证明：侧面${\displaystyle PCD}$是正三角形，且垂直于底面${\displaystyle ABCD}$垂直        

${\displaystyle \therefore }$取${\displaystyle DC}$中点${\displaystyle E}$，连结${\displaystyle PE}$，则平面${\displaystyle PE\perp DC}$于点${\displaystyle E}$     又侧面${\displaystyle PCD\cap }$底面${\displaystyle ABCD=CD}$     ${\displaystyle \therefore PE\perp }$底面${\displaystyle ABCD}$     连结${\displaystyle AE}$，${\displaystyle AE}$是斜线${\displaystyle PA}$在底面${\displaystyle ABCD}$的射影     ${\displaystyle \because }$底面${\displaystyle ABCD}$是菱形，${\displaystyle \angle ADC=60°}$     ${\displaystyle \therefore △ADC}$是正三角形     ${\displaystyle \therefore AE\perp CD}$于${\displaystyle E}$     又${\displaystyle \because DC\subset }$底面${\displaystyle ABCD}$     ${\displaystyle \therefore PA\perp CD}$ 　     (2)由(1)，得${\displaystyle PA\perp CD}$，     ${\displaystyle \therefore PA\perp AB}$     ${\displaystyle \because AE\perp CD}$，     ${\displaystyle \therefore AE\perp AB}$

    ${\displaystyle \therefore \angle PAE}$是二面角${\displaystyle P-AB-D}$的平面角

    ${\displaystyle \therefore PE\perp }$底面${\displaystyle ABCD}$

    ${\displaystyle \therefore △PEA}$是直角三角形

    设菱形的边长为${\displaystyle a}$，则${\displaystyle PE=EA=\frac{\sqrt{3}}{2}a}$

    ${\displaystyle \because \angle PAE=45°}$，即二面角P-AB-D的度数是${\displaystyle 45°}$

    (3)证明：${\displaystyle \because M}$是${\displaystyle PB}$中点，取${\displaystyle PA}$中点${\displaystyle N}$， 连结${\displaystyle MN}$，则${\displaystyle MN}$是${\displaystyle △PAB}$的中位线       

${\displaystyle \therefore }$     ${\displaystyle \therefore }$点${\displaystyle M、N、C、D}$共面     又${\displaystyle PA\perp AB}$     ${\displaystyle \therefore MN\perp AP}$，连结${\displaystyle DN}$     ${\displaystyle \because DP=DA}$     ${\displaystyle \therefore DN\perp PA}$     ${\displaystyle \therefore PA\perp }$底面${\displaystyle ABCD}$     又${\displaystyle PA\subset }$平面${\displaystyle PAB}$     ${\displaystyle \therefore }$平面${\displaystyle CDM\perp }$平面${\displaystyle PAB}$          (4)连结${\displaystyle EB}$，${\displaystyle \because PE\perp }$平面${\displaystyle ABCD}$，${\displaystyle PE\subset }$平面${\displaystyle PEB}$     ${\displaystyle \therefore }$平面${\displaystyle PEB\perp }$底面${\displaystyle ABCD}$，作${\displaystyle \therefore MF\perp EB}$于${\displaystyle F}$     ${\displaystyle \because }$平面${\displaystyle PEB\cap }$底面${\displaystyle ABCD=EB}$     ${\displaystyle \therefore MF\perp }$底面${\displaystyle ABCD}$，设菱形边长为${\displaystyle a}$     ${\displaystyle \because }$菱形面积为${\displaystyle 2\sqrt{3}}$     ${\displaystyle \therefore a^2·sin60°=2\sqrt{3}}$     ${\displaystyle \therefore a=2}$     ${\displaystyle \therefore MF=\frac{1}{2}PE=\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\frac{\sqrt{3}}{2}}$

    ${\displaystyle \therefore }$三棱锥${\displaystyle B-CDM}$的体积${\displaystyle V=\frac{1}{3}{S}_{△CBD}·MF=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}}$

    评注:利用棱锥的概念、性质以及一些线面关系性质定理，可以解决有关求侧面积、体积以及用棱锥作载体的相关的线面平行、垂直等问题 ．解决这些问题起关键作用的是几个特殊截面：

    ①平行于底面的截面；

    ②侧棱、高及侧棱在底面内的射影组成的直角三角形；

    ③正棱锥的高、斜高及斜高在底面内的射影组成的直角三角形；

    ④侧棱、斜高及底边组成的直角三角形；

    ⑤正棱锥的含有相邻两侧面所成二面角的平面角的等腰三角形．

    这五个特殊截面在处理棱锥问题中都很重要，是实现空间问题平面化的关键所在．

    棱柱、棱锥等空间几何体的出现为空间点、线、面的位置关系提供了很好的实例载体，很多平行、垂直关系以及角和距离的运算，都转移到这些空间几何体中．同时，这些空间几何体也根据自身的概念和性质，提供一些条件和推理依据 ．

    解:(1)证法一：连结${\displaystyle A_1{C}_1}$、${\displaystyle AC}$，${\displaystyle AC}$和${\displaystyle BD}$交于${\displaystyle O}$，连结${\displaystyle C_{1}O}$

    由四边形${\displaystyle ABCD}$是菱形得${\displaystyle AC\perp BD}$，${\displaystyle BC=CD}$，又${\displaystyle \angle BC{C}_1=\angle DC{C}_1}$，${\displaystyle C_{1}C=C_{1}C}$   

${\displaystyle \therefore △C_{1}BC\cong △C_{1}DC}$     ${\displaystyle \therefore C_{1}B=C_{1}D}$     ${\displaystyle \because DO=OB}$     ${\displaystyle \therefore C_{1}O\perp BD}$，又${\displaystyle AC\perp BD}$，${\displaystyle AC\cap C_{1}O=O}$     ${\displaystyle \therefore BD\perp 平面AC{C}_1{A}_1}$     又${\displaystyle C_{1}C\subset }$平面${\displaystyle AC{C}_1{A}_1}$     ${\displaystyle \therefore C_{1}C\perp BD}$     证法二：${\displaystyle \because \angle C_{1}CB=\angle C_{1}CD，CB=CD}$     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{C{C}_1}·\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{C{C}_1}·(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB})}$     ${\displaystyle =\overrightarrow{C{C}_1}·\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{C{C}_1}·\overrightarrow{CB}}$     ${\displaystyle =0}$     ${\displaystyle \therefore \overrightarrow{C{C}_1}\perp \overrightarrow{BD}}$     ${\displaystyle \therefore C{C}_1\perp BD}$

(2)由(1)知${\displaystyle AC\perp BD}$，${\displaystyle C_{1}O\perp BD}$     ${\displaystyle \therefore \angle C_{1}OC}$是二面角${\displaystyle \alpha -BD-\beta }$的平面角     在${\displaystyle △C_{1}BC}$中，${\displaystyle BC=2}$，${\displaystyle C_{1}C=\frac{3}{2}}$，${\displaystyle \angle BC{C}_1=60°}$     ${\displaystyle \therefore C_1{B}^2=2^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-2\times 2\times \frac{3}{2}\times cos60°=\frac{13}{4}}$，${\displaystyle \angle OCB=30°}$     ${\displaystyle \therefore OB=\frac{1}{2}BC=1}$     ${\displaystyle \therefore C_1{O}^2=C_1{B}^2-O{B}^2=\frac{13}{4}-1=\frac{9}{4}}$，${\displaystyle C_{1}O=\frac{3}{2}}$     即${\displaystyle C_{1}O=C_{1}C}$     作${\displaystyle C_{1}H\perp OC}$，垂足为${\displaystyle H}$，点${\displaystyle H}$是${\displaystyle OC}$的中点，且${\displaystyle OH=\frac{\sqrt{3}}{2}}$     ${\displaystyle \therefore cos\angle C_{1}OC=\frac{OH}{C_{1}O}=\frac{\sqrt{3}}{3}}$

    评注:对棱柱、棱锥的学习，特别是正三棱柱(锥)、正四棱柱(锥)，一方面要熟悉它们的有关概念和性质，另一方面有效利用这些性质可作为解题的重要条件．

    1、长方体${\displaystyle ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$中，${\displaystyle AD=3}$，${\displaystyle AB=5}$，${\displaystyle {\forall }_1=4}$，从点${\displaystyle A}$沿表面到${\displaystyle C_1}$的最短距离为(   )
    A.${\displaystyle 5\sqrt{2}}$     B.${\displaystyle \sqrt{74}}$     C.${\displaystyle 4\sqrt{5}}$     D.${\displaystyle 3\sqrt{10}}$
    2、两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面${\displaystyle ABCD}$与正方体的某一个平面平行，且各项点均在正方体的而上，则这样的几何体体积的可能值有(   )

     
    A.1个     B.2个     C.3个     D.无穷多个

    3、四棱锥${\displaystyle P-ABCD}$底面的四个顶点${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle D}$在球${\displaystyle O}$的同一个大圆上，点${\displaystyle P}$在球面上 ．如果${\displaystyle V_{P-ABCD}}$${\displaystyle =}$${\displaystyle \frac{16}{3}}$，则球${\displaystyle O}$的表面积是(   )
    A.${\displaystyle 4\pi }$      B.${\displaystyle 8\pi }$      C.${\displaystyle 12\pi }$      D.${\displaystyle 16\pi }$
    4、在正五棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(   )

    A.${\displaystyle (0，\frac{\pi }{2})}$     B.${\displaystyle (\frac{\pi }{2}，\pi )}$     C.${\displaystyle (\frac{3\pi }{5}，\pi )}$     D.${\displaystyle (\frac{4\pi }{5}，\pi )}$
    5、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为______

    6、四棱柱的一个侧面的面积为${\displaystyle S}$，这个侧面与它所对的棱的距离为${\displaystyle d}$，那么这个四棱柱的体积为______
    7、已知平面${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$、${\displaystyle \gamma }$两两互相垂直，它们的三条交线的公共点为${\displaystyle O}$，过${\displaystyle O}$引一条射线${\displaystyle OP}$，若${\displaystyle OP}$与三条交线中的两条所成的角都是${\displaystyle 60°}$，则${\displaystyle OP}$与第三条交线所成的角为______
    8、如图，四棱锥${\displaystyle P-ABCD}$中，底面${\displaystyle ABCD}$是矩形，${\displaystyle PA\perp 底面ABCD}$，${\displaystyle PA=AB=1}$，${\displaystyle BC=\sqrt{2}}$，${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$分别为${\displaystyle AD}$、${\displaystyle PC}$的中点．      

(1)求证：${\displaystyle PC\perp }$平面${\displaystyle BEF}$     (2)求${\displaystyle BD}$与平面${\displaystyle BEF}$所成角的正弦值

    1、长方体${\displaystyle ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$中，${\displaystyle AD=3}$，${\displaystyle AB=5}$，${\displaystyle {\forall }_1=4}$，从点${\displaystyle A}$沿表面到${\displaystyle C_1}$的最短距离为( B )
    A.${\displaystyle 5\sqrt{2}}$     B.${\displaystyle \sqrt{74}}$     C.${\displaystyle 4\sqrt{5}}$     D.${\displaystyle 3\sqrt{10}}$
    2、两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面${\displaystyle ABCD}$与正方体的某一个平面平行，且各项点均在正方体的而上，则这样的几何体体积的可能值有( D )

     
    A.1个     B.2个     C.3个     D.无穷多个

    3、四棱锥${\displaystyle P-ABCD}$底面的四个顶点${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$、${\displaystyle D}$在球${\displaystyle O}$的同一个大圆上，点${\displaystyle P}$在球面上 ．如果${\displaystyle V_{P-ABCD}}$${\displaystyle =}$${\displaystyle \frac{16}{3}}$，则球${\displaystyle O}$的表面积是( D )
    A.${\displaystyle 4\pi }$      B.${\displaystyle 8\pi }$      C.${\displaystyle 12\pi }$      D.${\displaystyle 16\pi }$
    4、在正五棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( C )

    A.${\displaystyle (0，\frac{\pi }{2})}$     B.${\displaystyle (\frac{\pi }{2}，\pi )}$     C.${\displaystyle (\frac{3\pi }{5}，\pi )}$     D.${\displaystyle (\frac{4\pi }{5}，\pi )}$
    5、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为______

    答案：${\displaystyle \frac{16}{3}}$ 

    6、四棱柱的一个侧面的面积为${\displaystyle S}$，这个侧面与它所对的棱的距离为${\displaystyle d}$，那么这个四棱柱的体积为______

    答案：${\displaystyle Sd}$ 

    7、已知平面${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$、${\displaystyle \gamma }$两两互相垂直，它们的三条交线的公共点为${\displaystyle O}$，过${\displaystyle O}$引一条射线${\displaystyle OP}$，若${\displaystyle OP}$与三条交线中的两条所成的角都是${\displaystyle 60°}$，则${\displaystyle OP}$与第三条交线所成的角为______

    答案：${\displaystyle 45°}$
    8、如图，四棱锥${\displaystyle P-ABCD}$中，底面${\displaystyle ABCD}$是矩形，${\displaystyle PA\perp 底面ABCD}$，${\displaystyle PA=AB=1}$，${\displaystyle BC=\sqrt{2}}$，${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$分别为${\displaystyle AD}$、${\displaystyle PC}$的中点．      

(1)求证：${\displaystyle PC\perp }$平面${\displaystyle BEF}$     (2)求${\displaystyle BD}$与平面${\displaystyle BEF}$所成角的正弦值

    答案：(1)略  (2)${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}$

    1、长方休${\displaystyle A{C}_1}$的长、宽、高分别为3、2、1，从${\displaystyle A}$到${\displaystyle C_1}$沿长方体的表面的最短距离为(   )

    A.${\displaystyle 1+\sqrt{3}}$     B.${\displaystyle 2+\sqrt{10}}$     C.${\displaystyle 3\sqrt{2}}$     D.${\displaystyle 2\sqrt{3}}$
    2、正三棱柱${\displaystyle ABC-A_1{B}_1{C}_1}$的底面边长为${\displaystyle 4cm}$，过${\displaystyle BC}$的一个平面与底面成${\displaystyle 30°}$的二面角，交侧棱${\displaystyle A{A}_1}$于${\displaystyle D}$，则${\displaystyle AD}$的长为______，截面${\displaystyle △BCD}$的面积为______

    3、棱锥的底面是正方形，有相邻的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面与底面成${\displaystyle 45°}$角，最长的侧棱长为${\displaystyle 15cm}$，求这个棱锥的高

    4、如图所示，在正三棱锥${\displaystyle S-ABC}$中，过底面顶点${\displaystyle B}$和侧棱${\displaystyle SA}$、${\displaystyle SC}$上的${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$点作一截面${\displaystyle BEF}$和侧面${\displaystyle SAC}$垂直

    (1)若${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$分别为${\displaystyle SA}$、${\displaystyle SC}$的中点时，求此三棱锥的侧面积与底面积之比

    (2)若${\displaystyle AB=8}$，斜高${\displaystyle h\text{'}=\frac{8\sqrt{3}}{3}}$，求截面${\displaystyle BEF}$的面积

    1、长方休${\displaystyle A{C}_1}$的长、宽、高分别为3、2、1，从${\displaystyle A}$到${\displaystyle C_1}$沿长方体的表面的最短距离为( C )

    A.${\displaystyle 1+\sqrt{3}}$     B.${\displaystyle 2+\sqrt{10}}$     C.${\displaystyle 3\sqrt{2}}$     D.${\displaystyle 2\sqrt{3}}$
    2、正三棱柱${\displaystyle ABC-A_1{B}_1{C}_1}$的底面边长为${\displaystyle 4cm}$，过${\displaystyle BC}$的一个平面与底面成${\displaystyle 30°}$的二面角，交侧棱${\displaystyle A{A}_1}$于${\displaystyle D}$，则${\displaystyle AD}$的长为______，截面${\displaystyle △BCD}$的面积为______

    答案：${\displaystyle 2cm}$  ${\displaystyle 8c{m}^2}$
    3、棱锥的底面是正方形，有相邻的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面与底面成${\displaystyle 45°}$角，最长的侧棱长为${\displaystyle 15cm}$，求这个棱锥的高

    答案：${\displaystyle 5\sqrt{3}cm}$

    4、如图所示，在正三棱锥${\displaystyle S-ABC}$中，过底面顶点${\displaystyle B}$和侧棱${\displaystyle SA}$、${\displaystyle SC}$上的${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$点作一截面${\displaystyle BEF}$和侧面${\displaystyle SAC}$垂直

    (1)若${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$分别为${\displaystyle SA}$、${\displaystyle SC}$的中点时，求此三棱锥的侧面积与底面积之比

    (2)若${\displaystyle AB=8}$，斜高${\displaystyle h\text{'}=\frac{8\sqrt{3}}{3}}$，求截面${\displaystyle BEF}$的面积

    答案：(1)${\displaystyle \sqrt{6}:1}$  (2)${\displaystyle 6}$