必修4 - 91学

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向量共线定理向量共线定理〖定理〗如果向量与共线，那么有且只有一个实数，使。〖代数表示〗设，其中，与共线.〖几何表示〗详解：
〖记忆方法〗坐标交叉相乘相等【答案详解】

平面向量的线性运算平面向量的线性运算〖定义〗向量的线性运算又称向量的初等运算。向量的加法、减法、实数与向量相乘，其运算结果都是向量。向量的加减法实质是向量的平移。实数乘向量的实质是向量的伸缩。【答案详解】

平面向量基本定理平面向量基本定理〖定理〗如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。〖几何表示〗详解：
〖概念辨析〗由平面向量基本定理可知，平面内任一向量都可以沿着两个不共线的方向【答案详解】

基底基底〖定义〗我们把平面向量基本定理中用来表示平面内任一向量的两个不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。详解：
〖概念辨析〗1.基底是两个不共线的向量 2.基底的选择是不唯一的。平面内两向量不【答案详解】

向量的夹角向量的夹角〖定义〗如图，已知两个非零向量和b，作，，则叫做向量与的夹角。夹角的范围：两非零向量夹角的范围在区间内。〖代数表示〗〖几何表示〗详解：
〖记忆方法〗首首相连，所成即角。〖概念辨析〗注意用来表示向量的两【答案详解】

向量的正交分解向量的正交分解〖向量的正交分解〗若不共线的两个向量相互垂直，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量，均可以分解为两个互相垂直的向量和，使。这样把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。正交分解是【答案详解】

平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示〖形成〗如图，在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得。这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把【答案详解】

平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算已知向量，，则同理。。详解：
〖记忆方法〗对应坐标相加减〖概念辨析〗1、两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。2、实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。3【答案详解】

平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示设向量，，其中，则，消去，得。即 ()的充要条件是，或详解：
〖记忆方法〗交叉相乘相等【答案详解】

平面向量的数量积平面向量的数量积〖定义〗已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)。记作，即。其中是向量与的夹角，向量夹角的范围是。〖坐标运算〗设向量，，则详解：
〖概念辨析〗⑴零向量与任一向量的数量积为，即。⑵符【答案详解】

平面向量的数量积几何意义平面向量的数量积几何意义向量的数量积的几何意义为数量积等于的长度与在方向上投影的乘积。〖几何表示〗1、2、3、详解：
〖概念辨析〗向量在上的投影为，也可以写成，θ为向量与的夹角。向量在上的投影不是向量而是【答案详解】

平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质设、为两个非零向量，为它们的夹角，是与向量同向的单位向量，则⑴；⑵；⑶当与同向时，；当与反向时，；特别地或；⑷；⑸。详解：
〖概念辨析〗1、注意当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量，都【答案详解】

平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律已知向量，，和实数，则向量的数量积满足下列运算律：⑴ (交换律)；⑵()·=(·)= ·()(数乘结合律)；⑶(+)·=·+· (分配律)。【答案详解】

向量模的坐标表示向量模的坐标表示若向量，则，或。如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，则，。【答案详解】

向量垂直的坐标表示向量垂直的坐标表示设向量，，则。【答案详解】

平面向量的夹角公式平面向量的夹角公式设、都是非零向量，，，是与的夹角，则根据向量数量积的定义可知，。利用这一关系，可求两向量的夹角，此公式称为向量的夹角公式，它的实质是平面向量数量积公式的变形应用。实例：
〖例题〗设，，·b=－54，求与b的夹【答案详解】

平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法向量在平面几何中的应用主要表现在平面几何问题的证明以及平面几何问题中的有关计算和几何图形形状的判断。用向量法解决平面几何问题的“三步曲”是：1 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中【答案详解】

向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例1.向量与力向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有公共的起点，但是物理中的力，一般是既有大小，又有方向，且作用于同一点，用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上【答案详解】

两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式〖公式〗；；详解：
〖记忆方法〗同名乘，符号异（指公式右边连接的符号和公式左边的相反）〖相关知识〗两角和与差的正弦公式【答案详解】

两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式〖公式〗；；详解：
〖记忆方法〗异名乘，符号同（指公式右边连接的符号和公式左边的相同）〖相关知识〗两角和与差的余弦公式【答案详解】

两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式〖公式〗；；详解：
〖记忆方法〗上同，下异（指公式右边分子的符号与公式左边的相同，分母的符号与公式左边的相反）。〖公式辨析〗公式在，，（需满足），（需满足），时成立，否则不成立。当，，或的值不存在时，不能使用公式，处【答案详解】

二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式〖公式〗；以上这三个公式都叫做倍角公式。倍角公式给出了α与2α的三角函数的关系。详解：
对于“二倍角”应该有广义上的理解，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关系的，如8α是4α【答案详解】

半角公式半角公式〖公式〗；；详解：
〖概念辨析〗新课标对该公式已经不要求记忆〖相关知识〗二倍角公式【答案详解】

积化和差、和差化积公式积化和差、和差化积公式〖公式〗1.积化和差公式：；；；2.和差化积公式：；；；特别地，详解：
〖概念辨析〗新课标对该公式已经不要求记忆〖相关知识〗两角和与差的三角函数公式【答案详解】

万能公式万能公式〖公式〗；；详解：
〖概念辨析〗新课标对该部分公式已经不要求记忆〖相关知识〗即两角和差公式【答案详解】

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