一、高考大纲
考试内容:
数列。
等差数列及其通项公式。等差数列前n项和公式。
等比数列及其通项公式。等比数列前n项和公式。
考试要求:
(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义。了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项。
(2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。
(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。
二、高考要览
考试内容 |
能力层次 |
高考要求 |
考题年份分值 |
数列 |
理解 |
数列、通项公式的概念 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
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广东14.4 |
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江苏.47 |
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江苏15.4 |
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全国Ⅱ22.12 |
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北京.4 |
北京文.12 |
北京20.14 |
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天津.12 |
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重庆.14 |
重庆.5 |
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安徽春.4 |
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全国Ⅰ.4 |
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湖北.14 |
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辽宁.12 |
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掌握 |
由`S_n`求`a_n`的公式 |
等差数列 |
理解 |
等差数列的通项公式,前`n`项和公式 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
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全国Ⅰ10.5 |
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全国Ⅱ.5 |
全国Ⅱ11.5 |
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全国Ⅲ.5 |
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全国Ⅳ.5 |
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广东6.5 |
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天津.5 |
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天津7.5 |
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福建2.5 |
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重庆.12 |
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重庆2.5 |
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安徽春.5 |
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江西7.5 |
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浙江11.4 |
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福建.5 |
福建22.14 |
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上海.12 |
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北京春.12 |
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湖南文.12 |
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江苏.14 |
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熟练应用 |
等差数列的性质解题 |
等差数列 |
理解 |
等差数列的通项公式,前`n`项和公式 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
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辽宁9.5 |
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山东22.14 |
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天津.14 |
天津文.12 |
天津21.14 |
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江苏.5 |
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全国Ⅰ.4 |
全国Ⅰ.12 |
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上海.12 |
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全国Ⅱ.12 |
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浙江.12 |
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湖北.14 |
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全国Ⅳ.14 |
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全国Ⅲ.12 |
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熟练应用 |
等差数列的性质解题 |
等差数列
综合 |
掌握 |
有关概念 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
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北京7.5 |
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湖北.5 |
湖北2.5 |
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湖北文.12 |
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湖南.12 |
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湖南2.5 |
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重庆14.4 |
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全国Ⅱ.12 |
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全国Ⅲ.12 |
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福建文.12 |
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北京春.12 |
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上海春.4 |
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数列 |
掌握 |
解决实际问题 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
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广东19.14 |
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江苏21.14 |
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陕西20.12 |
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上海春.4 |
上海.12 |
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北京春.4 |
北京春.12 |
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湖南.5 |
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福建.12 |
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上海春.12 |
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三、命题趋势
从上表可以看出,近几年本章考查呈现以下特点:
1、题型和题量:选择题(或填空题)+解答题,保持1小(选择较多,填空较少),加1大(解答题),分值大约16~17分,但也有不少省市自主命题卷,仅保留一道解答题.
2、知识点考查:仍保持传统的对等差、等比数列的通项和前n项和的考查较多,和组合数、函数、不等式、解析几何中的椭圆、双曲线、抛物线交汇出题也成为命题中涉及较多的知识点
.填空题或选择题中与数列极限结合成为对极限知识点考查的新趋势.
3、难度与趋势
(1)数列创新题的频繁出现令近几年高考数列题的难度起伏不定,北京卷2004年T20新定义的“余差”、全国卷Ⅳ2004年T22与导数综合、湖北卷2005年T22、北京卷2005年T14、江西卷2005年12题、浙江卷2005年T20、上海卷2005年T12、辽宁卷2005年T12,都新颖别致,也有难有易,关键还是情景设置问题,像全国卷Ⅲ,2005年第12题叙述的计算题中十六进制与十进制的转化,学生接触较少的往往难以答对,2006年北京T20新定义“绝对差数列”且作为压轴题有一定难度,2006重庆T22与解析几何,不等式相结合作为压轴题有一定难度.2006年陕西T22、2006重庆T20与导数综合都有一定难度.
(2)数列应用题和递推:数列应用题始终是学生学习的难点,这主要涉及到等差与等比的综合,等差中有等比,等比中含等差,再与递推数列结合,往往难度较大,但不容置疑的是近几年对递推数列的考查已超过了考纲要求,如果从数学思想方法方面解释,是通过递推、数学归纳法将数列转化为等差或等比问题,体现考生的化归与转化能力也是合理的.
四、复习建议
数列是高中阶段重点内容之一,是高考的重点.数列(可以作为特殊函数)在近几年高考中总比重略有下降,但仍高出其课时数比例,试题着重考查数列、等差数列和等比数列、数列极限的基础知识、基本技能、基本思想和方法(含数学归纳法).鉴于数列特有的地位、特点,可有效地测试逻辑推理能力、运算能力,以及运用有关的知识和方法,分析问题和解决问题的能力,故数列部分的复习要从以下几个方面着手:
1、定位准确
数列客观性试题主要考查数列(含等差、等比)的概念、性质、通项、前n项和、极限等内容,对节本运算技能要求较高,复习中应叫强对“三基”和解题技能的训练,特别是对基本知识的归纳、总结和运用
.数列解答题中等差、等比综合知识(还可能涉及数学归纳法)与函数、方程、不等式、圆锥曲线可以交汇出多学科的综合试题,解题过程中融入分类讨论、化归与转化、数形结合等多种数学思想,属于中高档难度试题,位置还有从压轴题前移的趋势,复习中在注重基本方法的同时,还需注重与其他知识块的联系,以思想方法的应用为思维出发点,注意对解题能力的训练.
2、分析命题趋势
数列是特殊的函数,而不等式则是深刻理解数列和函数的重要工具,三者的综合是基础和能力的双重检验.数列推理题(开放题、探索性试题)、新定义题,对考查考生的后继学习能力方面都具有无可替代的作用
.复习中要有意识地从不同侧面、不同角度审视同一问题,引导学生分析数列与函数、不等式、排列组合、概率、统计等的关系,提高对新情景问题的转化能力,将新题化归为自己知识能力范围内的旧题,使问题得到解决,更重要的是使学生了解命题的趋势,预见到可能遇到的新问题,从心理上减轻应考压力.
3、加强应用意识,强化能力训练,寻求简捷方法
高考命题自1993年初次考查应用题以来,先后考查过数列、函数、概率、统计、圆锥曲线、不等式等知识
.近几年几乎都集中于考查概率应用题,但命题改革的深入不会也不可能总是固定在对概率应用题的考查上,从新课程卷的考查趋势分析,数列应用题应成为今后命题的“高危”试题,复习中应加强学生的应用意识,强化建模能力,建模后的解模,涉及到数列基本知识的运用和解题能力,特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力
.由于考题中选择、填空题解法灵活多变,加强训练、注重技巧和一些特殊结论的记忆,可以有效提高解题能力,节省宝贵的解答时间.
五、思想与方法综览
1、函数方程思想
[案例]已知函数`y=f(x)`满足`f(n-1)=f(n)-lga^(n-1)`(`n>=2,ninN^(**)`),且`f(1)=-lga`,是否存在实数`alpha`,`beta`,使`f(n)``=``(alphan^2+betan-1)`·`lga`对任何`ninN^(**)`都成立?证明你的结论.
解:`∵f(1)=-lga`,
在`f(n-1)=f(n)-lga^(n-1)(n≥2)`中令`n=2`,得
`f(1)=f(2)-lga`,
`∴f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0`.
若存在实数`alpha,beta`使`f(n)=(alphan^2+betan-1)lga`成立,
则`n=1`时,有`f(1)=(alpha+beta-1)lga`,
`n=2`时,有`f(2)=(4alpha+2beta-1)lga`,
即`{(-lga=(alpha+beta-1)lga,),(0=4alpha+2beta-1,):} ①
(1)`若lga=0,即a=1,f(n)=0(ninN^**)`.
这时`alpha,beta`为任何实数均有`f(n)=(alphan^2+betan-1)lga`成立.
(2)`若lga≠O`,即`a∈(0,1)uu(1,+oo)`时,
方程组①变成`{(alpha+beta-1=-1,),(4alpha+2beta-1=0,):},∴{(alpha=1/2,),(beta=-1/2,):},`
这时`f(n)=(1/2n^2-1/2n-1)lga` ②
下面用数字归纳法证明`ninN^**`时,②式成立.
(i)`n=1,f(1)=(1/2xx1^2-1/2xx1-1)lga=-lga`,
`∴n=1时,②式显然成立`.
(ii)假设`n=k`时,`f(k)=(1/2k^2-1/2k-1)lga`成立,
由题意知`f(k)=f(k+1)-lga^k`,
`f(k+1)=f(k)+klga=(1/2k^2-1/2k-1)lga+klga`
`=(1/2k^2-1/2k-1+k)lga`
`=[1/2(k+1)^2-1/2(k+1)-1]lga`
`∴n=k+1`时,②式成立.
综合(i)(ii)知,对任何`ninN^**`,都有`f(n)=(1/2n^2-1/2n-1)lga`成立.
综上所述,存在实数`alpha,beta`使`f(n)=(alphan^2+betan-1)lga`对任何`ninN^**`成立.
点评:在解题时要有分类思想,如本题先对`lga=0`与`lga!=0`时行分类讨论.由特殊情况`n=1`,`n=2`当`lga!=0`时定出`alpha,beta`,法须用数学归纳法证明它们对任何`ninN^**`都成立.
2、分类讨论思想
[案例](2006·江西)已知各项均为正数的数列`{a_n}`满足`a_1=3`,且`(2a_(n+1)-a_n)/(2a_n-a_(n+1))=a_na_n-1`,`ninN^(**)`.
(1)求数列`{a_n}`的通项公式.
(2)设`S_n=a_1^2+a_2^2+…+a_n^2,T_n=1/(a_1^2)+1/(a_2^2)+…+1/(a_n^2)`,求`S_n+T_n`,并确定最小正整数`n`,使`S_n+T_n`为整数.
解:(1)条件式化为`a_(n+1)-1/(a_(n+1))=2(a_n-1/a_n)`,
因此`{a_n-1/a_n}`为一个等比数列,其公比为2,首项为`a_1-1/a_1=8/3`.
所以`a_n-1/a_n=8/3*2^(n+1)=2^(n+2)/3(ninN^**)`. ①
因`a_n>0`,由①得出`a_n=1/3(2^(n+1)+root()(2^(2n+2))+9)`. ②
(2)由①有`S_n+T_n=(a_1-1/a_1)^2+(a_2+1/a_2)^2+…+(a_n-1/a_n)^2+2n`
=`(2^3/3)^2+(2^4/3)^2+(2^5/3)^2+…+(2^(n+2)/3)^2+2n`
=`64/27(4^n-1)+2n(ninN^**)`.
为使`S_n+T_n=64/27(4^n-1)+2n`为整数,当且仅当`(4^n-1)/27`为整数.
当`n=1,2`,显然`S_n+T_n`不为整数.
当`n≥3`时,因为`4^n-1=(1+3)^n-1=C_n^2*3+C_n^2*3^2+3^3(C_n^3+…+3^(n-3)C_n^n)`,
所以`(C_n^1*3+C_n^2*3^2)/27=n/9*(3n-1)/2`为整数.
因为`3n-1`与`3`互质,所以`n`为9的整数倍.
当`n=9`时,`n/9*(3n-1)/2=13`为整数,故`n`的最小正整数为9.
3、转化思想
[案例]已知二次函数`f(x)=ax^2+bx+c`的图象的顶点坐标是`(3/2,-1/4)`,且`f(3)=2`.
(1)求`y=f(x)`的表达式,并求出f(1)、f(2)的值;
(2)数列`{a_n}`、`{b_n}`,若对任意的实数z都满足`g(x)*f(x)+a_nx+b_n=x^(n+1),ninN^**`,其中`g(x)`是定义在实数R上的一个函数,求数列`{a_n}`、`{b_n}`的通项公式;
(3)设圆`C_(n-1):(x-a_n)^2+(y-b_n)^2=r_n^2`,若圆`C_n`与`C_(n+1)`外切,`{r_n}`是各项都是正数的等比数列,记`S_n`是前`n`个圆的面积`C`之和,求`lim_(n->oo)S_n/(r_n^2)(ninN^**).
解:(1)由已知得`f(x)=a(x-3/2)^2-1/4,a!=0`,
`∴f(3)=a(3-3/2)^2-1/4=2,`
`∴a=1.
`∴f(x)=x^2-3x+2`,`x``in``RR`.
`f(1)=0,f(2)=0`.
(2)`g(1)*f(1)+a_n+b_n=1^(n+1)`,
即`a_n+b_n=1`. ①
`g(2)*f(2)+2a_n+b_n=2^(n+1)`,
即`2a_n+b_n=2^(n+1)`. ②
由①②得`a_n=2^(n+1)-1`,`b_n=2-2^(n+1)`.
(3)`|C_(n+1)C_n|=root()((2^(n+2)-2^(n+1))^2+(2^(n+1)-2^(n+2))^2)=root()(2)*2^(n+1)`.
设数列`{r_n}`的公比为`q`,则`r_n+r_(n+1)=r_n(1+q)=|C_(n+1)C_n|=root()(2)*2^(n+1)`,
即`r_n(1+q)=root()(2)*2^(n+1)`,
∴`r_(n+1)(1+q)=root()(2)*2^(n+2)`,
∴`r_(n+1)/r_n=2`.
∴`r_n=root()(2)/3*2^(n+1)`.
∴`r_n^2=8/9*4^n`,
∴`S_n=pi(r_1^2+r_2^2+r_3^2+…+r_n^2)`
`=8/9pi(4^1+4^2+…+4^n)`
`=8/9pi*(4(1-4^n))/(1-4)=(32pi)/27(4^n-1)`.
∴`lim_(n->oo)S_n/(r_n^2)=lim_(n->oo)(32pi/27(4^n-1))/(8/9*4^n)=((32pi)/27)/(8/9)=(4pi)/3`
4、建模思想
[案例]某城市2006年底粮食储备量为100万吨,预计此后每年耗用上年底粮食储备量的5%,并且每年新增粮食储备量为6万吨.记2006年底的粮食储备量为`a_1`万吨,以后每年底的粮食储备量依次为`a_2`万吨、`a_3`万吨、…、`a_n`万吨(n∈N*).
(1)求`a_2`、`a_3`;
(2)受条件限制,该城市的粮食储备量不能超过120万吨,试问2013年粮食储备量是否超过120万吨.
(3)试求数列`{a_n}`的通项公式.
分析:由特殊的项起步,逐个地计算,然后发现一般的规律、结论.
解:(1)`a_2=100xx(1-5%)+6=101,a_3=101xx(1-5%)+6=101.95`:
(2)由题意得到2013年底粮食储备量为`a_8`万吨,则
`a_8=a_7xx(1-5%)+6=[a_6xx(1-5%)+6](1-5%)+6`
`=a_6xx(1-5%)^2+6(1-5%)+6`
`=…
`=100xx(1-5%)^7+6(1-5%)^6+6(1-5%)^5+…+6`
`=100xx0.95^7+6xx(1-0.95^7)/(1-0.95)`
`=100xx0.95^7+120-120xx0.95^7`
`=120-20xx0.97^7<120`,
故到2013年底粮食储备量不超过120万吨;
(3)`a_n=a_(n-1)(1-5%)+6=0.95a_(n-1)+6(n>=2)`.
∴`a_n-120=0.95(a_(n-1)-120)`.
故数列`{a_n-120}`是以`a_1-120=-20`为首项,以`O.95`为公比的等比数列,
`:.a_n-120=-20xx0.95^(n-1)`,即`a_n=120-20xx0.95^(n-1)`
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