第三章  数列

考纲要求 知识结构&梳理 复习详导 高考试题 目标训练 热身训练
    一、高考大纲
   
考试内容:
   
数列。
    等差数列及其通项公式。等差数列前n项和公式。
    等比数列及其通项公式。等比数列前n项和公式。

   
考试要求:
   
(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义。了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项。
    (2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。
    (3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。

    二、高考要览
考试内容 能力层次 高考要求 考题年份分值
数列 理解 数列、通项公式的概念
2004 2005 2006 2007 2008
    广东14.4    
江苏.47   江苏15.4    
    全国Ⅱ22.12    
北京.4 北京文.12 北京20.14    
  天津.12      
重庆.14 重庆.5      
安徽春.4        
全国Ⅰ.4        
湖北.14        
辽宁.12        
掌握 由`S_n`求`a_n`的公式
等差数列 理解 等差数列的通项公式,前`n`项和公式
2004 2005 2006 2007 2008
    全国Ⅰ10.5    
  全国Ⅱ.5 全国Ⅱ11.5    
全国Ⅲ.5        
全国Ⅳ.5        
    广东6.5    
天津.5   天津7.5    
    福建2.5    
重庆.12   重庆2.5    
安徽春.5        
    江西7.5    
    浙江11.4    
  福建.5 福建22.14    
上海.12        
北京春.12        
  湖南文.12      
江苏.14        
熟练应用 等差数列的性质解题
等差数列 理解 等差数列的通项公式,前`n`项和公式
2004 2005 2006 2007 2008
    辽宁9.5    
    山东22.14    
天津.14 天津文.12 天津21.14    
  江苏.5      
全国Ⅰ.4 全国Ⅰ.12      
上海.12        
全国Ⅱ.12        
浙江.12        
湖北.14        
全国Ⅳ.14        
全国Ⅲ.12        
熟练应用 等差数列的性质解题
等差数列
综合
掌握 有关概念
2004 2005 2006 2007 2008
    北京7.5    
  湖北.5 湖北2.5    
  湖北文.12      
湖南.12   湖南2.5    
    重庆14.4    
  全国Ⅱ.12      
  全国Ⅲ.12      
  福建文.12      
  北京春.12      
上海春.4        
数列 掌握 解决实际问题
2004 2005 2006 2007 2008
    广东19.14    
    江苏21.14    
    陕西20.12    
上海春.4 上海.12      
北京春.4 北京春.12      
湖南.5        
福建.12        
上海春.12        

    三、命题趋势
    从上表可以看出,近几年本章考查呈现以下特点:
    1
题型和题量:选择题(或填空题)+解答题,保持1小(选择较多,填空较少),加1大(解答题),分值大约1617分,但也有不少省市自主命题卷,仅保留一道解答题.
    2
知识点考查:仍保持传统的对等差、等比数列的通项和前n项和的考查较多,和组合数、函数、不等式、解析几何中的椭圆、双曲线、抛物线交汇出题也成为命题中涉及较多的知识点 .填空题或选择题中与数列极限结合成为对极限知识点考查的新趋势.
    3
难度与趋势
    (1)数列创新题的频繁出现令近几年高考数列题的难度起伏不定,北京卷2004T20新定义的“余差”、全国卷Ⅳ2004T22与导数综合、湖北卷2005T22、北京卷2005T14、江西卷200512题、浙江卷2005T20、上海卷2005T12、辽宁卷2005T12,都新颖别致,也有难有易,关键还是情景设置问题,像全国卷Ⅲ,2005年第12题叙述的计算题中十六进制与十进制的转化,学生接触较少的往往难以答对,2006年北京T20新定义“绝对差数列”且作为压轴题有一定难度,2006重庆T22与解析几何,不等式相结合作为压轴题有一定难度.2006年陕西T222006重庆T20与导数综合都有一定难度.
 
   (2)数列应用题和递推:数列应用题始终是学生学习的难点,这主要涉及到等差与等比的综合,等差中有等比,等比中含等差,再与递推数列结合,往往难度较大,但不容置疑的是近几年对递推数列的考查已超过了考纲要求,如果从数学思想方法方面解释,是通过递推、数学归纳法将数列转化为等差或等比问题,体现考生的化归与转化能力也是合理的.

   
、复习建议
   
数列是高中阶段重点内容之一,是高考的重点.数列(可以作为特殊函数)在近几年高考中总比重略有下降,但仍高出其课时数比例,试题着重考查数列、等差数列和等比数列、数列极限的基础知识、基本技能、基本思想和方法(含数学归纳法).鉴于数列特有的地位、特点,可有效地测试逻辑推理能力、运算能力,以及运用有关的知识和方法,分析问题和解决问题的能力,故数列部分的复习要从以下几个方面着手:
    1
定位准确
   
数列客观性试题主要考查数列(含等差、等比)的概念、性质、通项、前n项和、极限等内容,对节本运算技能要求较高,复习中应叫强对“三基”和解题技能的训练,特别是对基本知识的归纳、总结和运用 .数列解答题中等差、等比综合知识(还可能涉及数学归纳法)与函数、方程、不等式、圆锥曲线可以交汇出多学科的综合试题,解题过程中融入分类讨论、化归与转化、数形结合等多种数学思想,属于中高档难度试题,位置还有从压轴题前移的趋势,复习中在注重基本方法的同时,还需注重与其他知识块的联系,以思想方法的应用为思维出发点,注意对解题能力的训练.

 
   2分析命题趋势
   
数列是特殊的函数,而不等式则是深刻理解数列和函数的重要工具,三者的综合是基础和能力的双重检验.数列推理题(开放题、探索性试题)、新定义题,对考查考生的后继学习能力方面都具有无可替代的作用 .复习中要有意识地从不同侧面、不同角度审视同一问题,引导学生分析数列与函数、不等式、排列组合、概率、统计等的关系,提高对新情景问题的转化能力,将新题化归为自己知识能力范围内的旧题,使问题得到解决,更重要的是使学生了解命题的趋势,预见到可能遇到的新问题,从心理上减轻应考压力.
 
  3加强应用意识,强化能力训练,寻求简捷方法
  
 高考命题自1993年初次考查应用题以来,先后考查过数列、函数、概率、统计、圆锥曲线、不等式等知识 .近几年几乎都集中于考查概率应用题,但命题改革的深入不会也不可能总是固定在对概率应用题的考查上,从新课程卷的考查趋势分析,数列应用题应成为今后命题的“高危”试题,复习中应加强学生的应用意识,强化建模能力,建模后的解模,涉及到数列基本知识的运用和解题能力,特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力 .由于考题中选择、填空题解法灵活多变,加强训练、注重技巧和一些特殊结论的记忆,可以有效提高解题能力,节省宝贵的解答时间.

    五、思想与方法综览

   
1、函数方程思想
    [案例]已知函数`y=f(x)`满足`f(n-1)=f(n)-lga^(n-1)`(`n>=2,ninN^(**)`),且`f(1)=-lga`,是否存在实数`alpha`,`beta`,使`f(n)``=``(alphan^2+betan-1)`·`lga`对任何`ninN^(**)`都成立?证明你的结论.
    解:`∵f(1)=-lga`,
    在`f(n-1)=f(n)-lga^(n-1)(n≥2)`中令`n=2`,得
    `f(1)=f(2)-lga`,
    `∴f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0`.
    若存在实数`alpha,beta`使`f(n)=(alphan^2+betan-1)lga`成立,
    则`n=1`时,有`f(1)=(alpha+beta-1)lga`,
    `n=2`时,有`f(2)=(4alpha+2beta-1)lga`,
    即`{(-lga=(alpha+beta-1)lga,),(0=4alpha+2beta-1,):} ①
    (1)`若lga=0,即a=1,f(n)=0(ninN^**)`.
    这时`alpha,beta`为任何实数均有`f(n)=(alphan^2+betan-1)lga`成立.
    (2)`若lga≠O`,即`a∈(0,1)uu(1,+oo)`时,
    方程组①变成`{(alpha+beta-1=-1,),(4alpha+2beta-1=0,):},∴{(alpha=1/2,),(beta=-1/2,):},`
    这时`f(n)=(1/2n^2-1/2n-1)lga` ②
    下面用数字归纳法证明`ninN^**`时,②式成立.
    (i)`n=1,f(1)=(1/2xx1^2-1/2xx1-1)lga=-lga`,
    `∴n=1时,②式显然成立`.
    (ii)假设`n=k`时,`f(k)=(1/2k^2-1/2k-1)lga`成立,
    由题意知`f(k)=f(k+1)-lga^k`,
    `f(k+1)=f(k)+klga=(1/2k^2-1/2k-1)lga+klga`
    `=(1/2k^2-1/2k-1+k)lga`
    `=[1/2(k+1)^2-1/2(k+1)-1]lga`
    `∴n=k+1`时,②式成立.
    综合(i)(ii)知,对任何`ninN^**`,都有`f(n)=(1/2n^2-1/2n-1)lga`成立.
    综上所述,存在实数`alpha,beta`使`f(n)=(alphan^2+betan-1)lga`对任何`ninN^**`成立.

    点评:在解题时要有分类思想,如本题先对`lga=0`与`lga!=0`时行分类讨论.由特殊情况`n=1`,`n=2`当`lga!=0`时定出`alpha,beta`,法须用数学归纳法证明它们对任何`ninN^**`都成立.

    2、分类讨论思想
    [案例](2006·江西)已知各项均为正数的数列`{a_n}`满足`a_1=3`,且`(2a_(n+1)-a_n)/(2a_n-a_(n+1))=a_na_n-1`,`ninN^(**)`.
    (1)求数列`{a_n}`的通项公式.
    (2)设`S_n=a_1^2+a_2^2+…+a_n^2,T_n=1/(a_1^2)+1/(a_2^2)+…+1/(a_n^2)`,求`S_n+T_n`,并确定最小正整数`n`,使`S_n+T_n`为整数.
    解:(1)条件式化为`a_(n+1)-1/(a_(n+1))=2(a_n-1/a_n)`,
    因此`{a_n-1/a_n}`为一个等比数列,其公比为2,首项为`a_1-1/a_1=8/3`.
    所以`a_n-1/a_n=8/3*2^(n+1)=2^(n+2)/3(ninN^**)`. ①
    因`a_n>0`,由①得出`a_n=1/3(2^(n+1)+root()(2^(2n+2))+9)`. ②
    (2)由①有`S_n+T_n=(a_1-1/a_1)^2+(a_2+1/a_2)^2+…+(a_n-1/a_n)^2+2n`
    =`(2^3/3)^2+(2^4/3)^2+(2^5/3)^2+…+(2^(n+2)/3)^2+2n`
    =`64/27(4^n-1)+2n(ninN^**)`.
    为使`S_n+T_n=64/27(4^n-1)+2n`为整数,当且仅当`(4^n-1)/27`为整数.
    当`n=1,2`,显然`S_n+T_n`不为整数.
    当`n≥3`时,因为`4^n-1=(1+3)^n-1=C_n^2*3+C_n^2*3^2+3^3(C_n^3+…+3^(n-3)C_n^n)`,
    所以`(C_n^1*3+C_n^2*3^2)/27=n/9*(3n-1)/2`为整数.
    因为`3n-1`与`3`互质,所以`n`为9的整数倍.
    当`n=9`时,`n/9*(3n-1)/2=13`为整数,故`n`的最小正整数为9.

    3、转化思想
    [案例]已知二次函数`f(x)=ax^2+bx+c`的图象的顶点坐标是`(3/2,-1/4)`,且`f(3)=2`.
    (1)求`y=f(x)`的表达式,并求出f(1)、f(2)的值;
  (2)数列`{a_n}`、`{b_n}`,若对任意的实数z都满足`g(x)*f(x)+a_nx+b_n=x^(n+1),ninN^**`,其中`g(x)`是定义在实数R上的一个函数,求数列`{a_n}`、`{b_n}`的通项公式;
  (3)设圆`C_(n-1):(x-a_n)^2+(y-b_n)^2=r_n^2`,若圆`C_n`与`C_(n+1)`外切,`{r_n}`是各项都是正数的等比数列,记`S_n`是前`n`个圆的面积`C`之和,求`lim_(n->oo)S_n/(r_n^2)(ninN^**).
    解:(1)由已知得`f(x)=a(x-3/2)^2-1/4,a!=0`,
    `∴f(3)=a(3-3/2)^2-1/4=2,`
    `∴a=1. 
    `∴f(x)=x^2-3x+2`,`x``in``RR`.
    `f(1)=0,f(2)=0`.
    (2)`g(1)*f(1)+a_n+b_n=1^(n+1)`,
    即`a_n+b_n=1`. ①
    `g(2)*f(2)+2a_n+b_n=2^(n+1)`,
    即`2a_n+b_n=2^(n+1)`. ②
    由①②得`a_n=2^(n+1)-1`,`b_n=2-2^(n+1)`.
    (3)`|C_(n+1)C_n|=root()((2^(n+2)-2^(n+1))^2+(2^(n+1)-2^(n+2))^2)=root()(2)*2^(n+1)`.
    设数列`{r_n}`的公比为`q`,则`r_n+r_(n+1)=r_n(1+q)=|C_(n+1)C_n|=root()(2)*2^(n+1)`,
    即`r_n(1+q)=root()(2)*2^(n+1)`,
    ∴`r_(n+1)(1+q)=root()(2)*2^(n+2)`,
    ∴`r_(n+1)/r_n=2`.
    ∴`r_n=root()(2)/3*2^(n+1)`.
    ∴`r_n^2=8/9*4^n`,
    ∴`S_n=pi(r_1^2+r_2^2+r_3^2+…+r_n^2)`
    `=8/9pi(4^1+4^2+…+4^n)`
    `=8/9pi*(4(1-4^n))/(1-4)=(32pi)/27(4^n-1)`.
    ∴`lim_(n->oo)S_n/(r_n^2)=lim_(n->oo)(32pi/27(4^n-1))/(8/9*4^n)=((32pi)/27)/(8/9)=(4pi)/3`

    4、建模思想
    [案例]某城市2006年底粮食储备量为100万吨,预计此后每年耗用上年底粮食储备量的5%,并且每年新增粮食储备量为6万吨.记2006年底的粮食储备量为`a_1`万吨,以后每年底的粮食储备量依次为`a_2`万吨、`a_3`万吨、…、`a_n`万吨(n∈N*).
    (1)求`a_2`、`a_3`;
    (2)受条件限制,该城市的粮食储备量不能超过120万吨,试问2013年粮食储备量是否超过120万吨.
    (3)试求数列`{a_n}`的通项公式.
    分析:由特殊的项起步,逐个地计算,然后发现一般的规律、结论.
    解:(1)`a_2=100xx(1-5%)+6=101,a_3=101xx(1-5%)+6=101.95`:
    (2)由题意得到2013年底粮食储备量为`a_8`万吨,则
    `a_8=a_7xx(1-5%)+6=[a_6xx(1-5%)+6](1-5%)+6`
    `=a_6xx(1-5%)^2+6(1-5%)+6`
    `=…
    `=100xx(1-5%)^7+6(1-5%)^6+6(1-5%)^5+…+6`
    `=100xx0.95^7+6xx(1-0.95^7)/(1-0.95)`
    `=100xx0.95^7+120-120xx0.95^7`
    `=120-20xx0.97^7<120`,
    故到2013年底粮食储备量不超过120万吨;
    (3)`a_n=a_(n-1)(1-5%)+6=0.95a_(n-1)+6(n>=2)`.
    ∴`a_n-120=0.95(a_(n-1)-120)`.
    故数列`{a_n-120}`是以`a_1-120=-20`为首项,以`O.95`为公比的等比数列,
    `:.a_n-120=-20xx0.95^(n-1)`,即`a_n=120-20xx0.95^(n-1)`

 
   一、知识结构
             

    二、知识梳理
    (一)数列的概念
    1、数列的定义.
  按一定次序排列的一列数叫做数列.数列的实质是定义域为正整数集`N^**`(或它的有限子集{1,2,…,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.
    2、数列的通项公式.
    如果数列{`a_n`}的第n项`a_n`与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
    3、数列的递推公式.
  如果已知数列{`a_n`}的第1项(或前n项),且任一项`a_n`与它的前一项`a_(n-1)`(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
    4、`a_n`与`S_n`之间的关系.
    数列{`a_n`}的前n项和`S_n`组成的数列{`S_n`}与{`a_n`}是一对相关数列`a_n`与`S_n`之间关系:
    `S_n=a_1+a_2+a_3+…+a_n`;`a_n={(S_1text(        )(n=1)),(S_n-S_(n-1)text(      )(n>=2)):}`
    (二)等差数列和等比数列

      

 

 名称

项目

等差数列

等比数列

 

    如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.

    如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.

通项公式

    `a_n=a_1+(n-1)d`

   `a_n=a_1q^(n-1)`

n

和公式

  `S_n=(n(a_1+a_n))/2=na_1+(n(n-1))/2d`

  当`q1`时 ,`S_n=(a_1(1-q^n))/(1-q)`

  当`q=1`时,`S_n=na_1`

 

  A`=(a+b)/2 hArr`A是`a`与`b`的等差中项

  `G^2=ab hArr`是`a`与`b`的等比中项,其中`G=+-sqrt(ab)(ab>0)`

 

①定义法`a_(n+1)-a_n=d`(常数)

②中项法`a_(n-1)+a_(n+1)=2a_n (n2)`

①定义法`a_(n+1)/a_n=q`(非零常数)

②中项法`a_(n-1)·a_(n+1)= a_n^2` (`n2`,`a_nO`)

性质

①`a_n=a_m+(n-m)d(n,m∈N^**)`

当`m+n=P+q(m,n,p,q∈N^**)`时,
`a_m+a_n=a_p+a_q`
③若`n_1,n_2,n_3`成等差数列
(`n_1,n_2,n_3∈N^**`),
则`a_(n_1),a_(n_2),a_(n_3)`成等差数列
④当公差`d>0`时,数列递增;
当公差`d<0`时,数列递减
⑤若`S_m`为前m项和,
则`S_m,S_(2m)-S_m,S_(3m)-S_(2m)`成等差数列


`a_n=a_m·q^(n-m)(n,m∈N^**)`
②当`m+n=p+q(m
npq∈N^**)`时,
`a_m·a_n=a_p·a_q`
③若`n_
1,n_2,n_3`成等差数列
(`n_
1,n_2,n_3∈N^**`),
则`a_(n_
1),a_(n_2),a_(n_3)`成等比数列
④当`{(a_1>0),(q>1):}`或`{(a_1<0),(0<q<1):}`时,数列递增;
当`{(a_1>0),(0<q<1):}`或`{(a_1<0),(q>1):}`,数列递减 
⑤若`S_m`为前m项和,且`S_m`≠0,
则`S_m,S_(2m)-S_m,S_(3m)-S_(2m)`成等比数列
 

递推公式

  `a_1=a,a_(n+1)=a_n+d(n in N^**)`

  `a_1=a,a_(n+1)=a_nq(a≠0,q≠0,n in N^**)`

 


    复习详导
    §3.1 数列的概念 (1)

    §3.2 等差数列 (1)

    §3.3 等比数列 (1)  

    §3.4 数列求和 (1)  

    §3.5 数列的综合应用 (1)

    高考试题
    理科:
    一、选择题
    二、填空题
    三、解答题
    文科:
    一、选择题
    二、填空题
    三、解答题
    目标训练
    1、第一轮选填训练 (1) (2)

    2、第二轮基础训练 (1) (2)

    3、第三轮单元训练 (1) (2)

    热身训练
    1、选择题 (1) (2) (3)
    2、填空题 (1) (2) (3)
    3、解答题 (1) (2) (3)
    4、基础综合训练 (1) (2) (3)
    5、综合训练 (1) (2) (3)

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