二、重点难点
    重点:运用数列建模的方法与步骤解决实际问题.

    难点:理解数列建模的思想与方法.

    三、特别提示
    (1)掌握数列的基础知识，是顺利解决数列综合问题的关键和基础．
    (2)数列的渗透能力很强，它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系，优化组合．无形中加大了综合力度，所以，解决此类题目仅靠掌握一点单科知识，无异于杯水车薪，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所理解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法主要有“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等．
    (3)数列的实际应用题常与现实生活和生产科学中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，在试题中常用的数学模型有：①构造等差、等比数列的模型，然后再利用数列的通项公式和求和公式求解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
    (4)在解决数列知识与其他章节知识的综合问题时，应注意思维角度与解题途径的选择，提高数学变形转换、推理等综合能力．

    应用举例
    一、应用特点
    1、等差数列应用题
    2、等比数列应用题
    3、数列的综合应用

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、甲、乙物体分别从相距7O米的两处同时相向运动．甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米．
    (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
  (2)如果甲、乙到达对方起点立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

提示	示范
甲每分钟比前1分钟多走2米，则每分钟所走路程依次排成一个等差数列．
解:(1)设船分钟后第一次相遇，依题意，有`2n+(n(n-1)/2)+5n=70`,     整理得`n^2+13n-140=0`，解得`n=1，n=-20`(舍)．第一次相遇是在开始后7分钟．     (2)设`n`分钟后第二次相遇，依题意，有`2n+(n(n-1)/2)+5n=3xx70`     整理得`n^2+13n-420=0`．解得`n=15，n=-28`(舍)．第二次相遇是在开始后15分钟．    评注:对等差数列与方程的综合应用题，应准确地构建数列模型，利用方程加以解决．

    2、小王年初向建设银行贷款2万元用于购房，商定年利率为1O％，按复利计算(即本年的利息计人次年的本金生息)，若这笔贷款分15次等额归还，每年一次，15年还清，并从贷款后次年开始归还，问每年应还多少钱?.

提示	示范
分期付款问题按书本中规定计算．一定要想清楚复利的计算方法，利用等比数列知识求解．
解:假定次年为第一年，则第15年时2万元连同复利息应为`20000（1+0.10）^15`元，  ①   设分期付款每次付`x`元，第一次付款到最后日期(第15年)连同复利息应是`(1+0.10)^14x`元(即第一次付款到付款清时，第一次付款已不再是`x`元．而是`1.1^14x`元了)，     第二次付款到最后日期连同复利息是`1.1^13x`元，     ……     最后一次付款是`x`元，     所以15次付款连同复利息共有`(1.1^14+1.1^13+1.1^12+…+1.1+1)x`元，    ②     而①与②式应相等，故有`(1.1^14+1.1^13+1.1^12+…+1.1+1)x=20000×1.1^15`．     由此可得`x~~2 629.48`元，即每年分期付款应还2629.48元．    评注:这里必须注意，如果每年按`20000xx1.1^15~~5569.66`元还贷，那就多付了很多，这里正是忽略了每次还款后这笔款项的复利息，而商家常是利用这些数学知识来获取更多的盈利．

    3、已知数列`{a_n}`的前`n`项和`S_n`满足`S_(n+1)=1/2S_n+a`.又`a_1=2`，`a_2=1`．
    (1)求`a`的值；
    (2)求`S_n`；
    (3)是否存在正整数`m、n`，使`(S_n-m)/(S_(n+1)-m)<1/2`成立?请说明理由.

提示	示范
运用方程知识和恒成立知识求解．
解:(1)`.:S_2=1/2S_1+a`，     `:.a_1+a_2=1/2a_1+a，又a_1=2，a_2=1`，     `:.a=2`     (2)`.:S_(n+1)=1/2S_n+2`，而`n>=2`时，`a_n=S_n-S_(n-1)`，     `:.S_(n+1)-S_n=1/2S_n-1/2S_(n-1)`     `即a_(n+1)=1/2a_n(n>=2)`，而`a_2=1/2a_1`.     `:.{a_n}`是等比数列，其公比`q=1/2`     `S_n=(2[1-(1/2)^n])/(1-1/2)=4-4/(2^n)`     (3)假设存在正整数`m、n`，使得`(S_n-m)/(S_(n+1)-m)<1/2`成立，     即`(4-4/(2^n)-m)/(4-2/(2^n)-m)<1/2hArr2/(2^n)<4-m<6/(2^n)hArr2<2^n(4-m)<6`     `.:2^n`为偶数，`(4-m)inN`，     `:.`只可能是`2^n(4-m)=4.`     `:.{(2^n=2,),(4-m=2,):}，或{(2^n=4,),(4-m=1,):}，     即`{(n=1,),(m=2,):}，或{(n=2,),(m=3,):}`     综上所述，存在正整数`m、n`，使得`(S_n-m)/(S_(n+1)-m)<1/2`成立．     评注:(内容)

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

    1、在等比数列`{a_n}`中，前`n`项和为`S_n`，若`S_m，S_(m+2)，S_(m+1)`成 等差数列，则`a_m`，`a_(m+2)`，`a_(m+1)`成等差数列．
    (1)写出这个命题的逆命题；
    (2)判断逆命题是否为真，并给出证明.

提示	示范
(提示内容)
解:(1)逆命题：在等比数列`{a_n}`中，前`n`项和为`S_n`，若`a_m，a_(m+2)，a_(m+1)`成等差数列，则`S_m，S_(m+2)，S_(m+1)`成等差数列．    (2)设`{a_n}`的首项为`a_1`，公比为`q`，由已知得`2a_(m+2)=a_m+a_(m+1)，     `:.2a_1q^(m+1)=a_1q^(m-1)+a_1q^m`     `.:a_1!=0，q!=0`，     `:.2q^2-q-1=0`     `:.q=1`或`q=-1/2`.     `.:S_m=ma_1，S_(m+2)=(m+2)a_1，S_(m+1)=(m+1)a_1`     `:.S_m+S_(m+1)!=2S_(m+2).     `:.S_m，S_(m+2)，S_(m+1)`不成等差数列.     当`q=-1/2`时     `2S_(m+2)=(2a_1[1-(-1/2)^(m+2)])/(1+1/2)=4/3a_1[1-(-1/2)^(m+2)]=(a_1[1-(-1/2)^m])/(1+1/2)+(a_1[1-(-1/2)^(m+1)])/(1+1/2)=S_m+S_(m+1)`     `:.S_m+S_(m+1)=2S_(m+2)`     `:.S_m，S_(m+2)，S_(m+1)`成等差数列     综上，得当公比`q=1`时，逆命题为假；当公比`q≠1`时，逆命题为真．    评注:(1)对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题 好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识 呈现、能力立意的新颖试题．    (2)解决等差数列与等比数列综合问题的关键是综合运用 等差数列和等比数列的有关知识来解题，并注意用较少的字母(即数列的基本量`a_1、q或a_1、d`)来表示数列中的所有的项，还应 注意等差数列与等比数列之间的相互转化，一般地，若`{a_n}`为等差数列，则`{a_n}(a>O且a≠1)`为等比数列；若`{a_n}`为正项等比数列，则`{log_aa_n}(a>0且a≠1)`为等差数列．

    2、已知数列`{a_n}`的前`n`项和为`S_n`，且满足`a_n+2S_n*S_(n-1)=0(n>=2),a_1=1/2`.
    (1)求证：`{1/(S_n)}`是等差数列；
    (2)求`a_n`的表达式；
    (3)若`b_n=2(1-n)*a_n(n>=2)`时，求证：`b_2^2+b_3^2+…+b_n^2<1`.

提示	示范
(提示内容)
解:(1)证明：`.:-a_n=2S_n*S_(n-1)`，     `-S_n+S_(n-1)=2S_nS_(n-1)(n>=2)`．     `S!=0(n=1，2，3…)`,     `:.1/(S_n)-1/(S_(n-1))=2`     又`1/S_1=1/(a_1)=2`，     `:.{1/(S_n)}`是以2为首项，2为公差的等差数列．     (2)由(1)`1/(S_n)=2+(n-1)*2=2n`，     `:.S_n=1/(2n)`．     当`n>=2`时，`a_n=S_n-S_(n-1)=1/(2n)-1/(2(n-1))=-1/(2n(n-1))[或当n>=2时,a_n=-S_nS_(n-1)=-1/(2n(n-1))]`；     `当n=1时，S_1=a_1=1/2，     `:.a_n={(1/2，n=1),(-1/(2n(n-1))，n>=2):}`     (3)证明：由(2)知，`b_n=2(1-n)a_n=2(1-n)*[-1/(2n(n-1))]=1/n`,     `:.b_2^2+b_3^2+…+b_n^2=1/(2^2)+1/(3^2)+…+1/(n^2)<1/(1xx2)+1/(2xx3)+…+1/((n-1)n)=(1-1/2)+(1/2-1/3)+…+(1/(n-1)-1/n)=1-1/n<1.`    评注:(1)数列与不等式的综合是近几年高考命题的一个新特点，对这类问题有的可用证明不等式的一般方法如比较法、基本不等式法、放缩法等处理；有的需要利用递推公式、放缩构造一个递推不等式再应用不等式使问题获证；有的可利用数学归纳法证明；有的则需先求通项，再利用通项求解．    (2)本题求解当中用到`S_n`与`a_n`之间的关系式：`a_n={(S_1,n=1)`，`(S_n-S_(n-1),n>=2):}`和放缩法进行了求解.

    学习感悟
    1、数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型．
    2、在试题中常用的数学模型有

    ①构造等差、等比数列的模型，然后再去应用数列的通项公式和求和公式求解

    ②用无穷递缩等比数列的求和公式求解

    ③通过归纳得到结论，然后用数列知识求解．
    3、建立数学模型的一般方法步骤是：
    (1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
    ①明确问题属于哪类应用问题
    ②弄清题目中的主要已知事项
    ③明确所求的结论是什么
  (2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
  (3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式(如函数关系式或方
程或不等式)．
  4、建立数列模型时，应明确是等差数列模型还是等比数列模型，还是递推数列模型？是求`a_n`还是求`S_n`，`n`是多少?