二、重点难点
    重点:数列的概念，能根据递推公式写出数列的前几项.

    难点:数列概念的内涵，能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.

    三、特别提示
    1、数列与数集是两个不同的概念．集合中的元素具有无序性和互异性，而数列中是 有序数集，因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列．

    2、数列的项与它的项数是两个不同的概念．数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数${\displaystyle a_n}$，它是一个函数值，即${\displaystyle f\left(n\right)}$，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是这个函数值${\displaystyle f\left(n\right)}$对应的自变量的值，即${\displaystyle n}$.

    3、数列是一类特殊的函数值，所以表述数列可联想到函数的表示方法；因此数列能写出通项公式的是特殊的一类，但并非每一个数列都可以写出通项公式，也存在有些数列的通项公式的形式不唯一的情况．

    4、写出数列的一个通项公式或由递推关系归纳数列的通项公式，可能有多种结构形式的答案，需要认真观察哪些因素随项数${\displaystyle n}$的变化而变化，分析符号、数字、字母与项数${\displaystyle n}$在变化中的联系，然后再认真验证总结．

    5、写通项公式常用的方法有：观察法、待定系数法、迭加法、递推法、归纳法、分项法和并项法，同时常用到猜想、转化等思想方法．在用观察法求数列通项公式时，注意观察哪些因素随项数${\displaystyle n}$而变化，哪些因素不变．抓住各项${\displaystyle a_n}$与${\displaystyle n}$的关系，用某几项检验公式是否正确；

    6、在利用${\displaystyle S_n与a_n}$的关系：${\displaystyle a_n}$=${\displaystyle \{\begin{array}{ll}{S}_1& n=1\\ S_n-S_{n-1}& n\ge 2\end{array}}$,求通项时别忽视了${\displaystyle n=1}$的情景，必须分${\displaystyle n=1和n\ge 2}$两种情况讨论，然后验证两种情况可否用否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．

    2、数列的通项公式
    一个数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$的第n项${\displaystyle a_n}$与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式${\displaystyle a_n=f\left(n\right)}$来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．

    3、数列的分类
    (1)按项数多少来分，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列；
    (2)按数列的项的特性来分，数列可分为_______、_______、_______、________.

    4、数列的表示方法
    ${\displaystyle \{\begin{array}{ll}列表法& \\ 解析法\{\begin{array}{l}{\_}_{\_}{\_}_{\_}{\_}_{,}\\ {\_}_{\_}{\_}_{\_}{\_}_{,}\end{array}& \\ 图象法& \end{array}}$

    5、数列的前${\displaystyle n}$项和
    数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$的前${\displaystyle n}$项之和叫做数列的前${\displaystyle n}$项和，通常${\displaystyle S_n}$表示,即${\displaystyle S_n=a_1+a_2\dots +a_n}$
    ${\displaystyle S_n}$与${\displaystyle a_n}$的关系是${\displaystyle a_n=\{\begin{array}{ll}{S}_1& n=1\\ S_n-S_{n-1}& n\ge 2\end{array}}$

    6、递推关系式
    _____是认识数列的重要手段，_________是确定数列的一种方式，根据数列的递推关系能够写出数列．

    应用举例
    一、应用特点
    1、写出数列的一个通项公式
    2、利用递推公式解题
    3、数列性质的应用
    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、求下列数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$的一个通项公式．
    (1)0，1，0，1，0，1，…；
    (2)-1，1，-2，2，-3，3，…；
    (3)9，99，999，9999，…．

提示	示范
写数列的通项公式，应注意观察数列中各项与项数”的联系和变化情况，应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、${\displaystyle {(-1)}^n}$相关数列等．
解:(1)由观察得${\displaystyle a_n=\frac{1}{2}+{(-1)}^n\cdot \left(\frac{1}{2}\right)}$．     (2)${\displaystyle \because }$所有奇数项上的数组成数列-1，-2，-3，…；所有偶数项上的数组成数列1，2，3，…，     分别求通项后，得${\displaystyle a_n=\{\begin{array}{llllll}-\frac{n+1}{2}& & n=2k-1& & k\in N^{\star }& \\ \frac{n}{2}& & n=2k& & k\in N^{\star }& \end{array}}$     (3)${\displaystyle \because 9=10-1,99=100-11={10}^2-1}$，${\displaystyle 999=1000-1={10}^3-1}$，…，     ${\displaystyle \therefore }$原数列为${\displaystyle 10-1，{10}^2-1，l{0}^3-1}$，…．:.${\displaystyle a_n={10}^n-1}$．     评注:(1)形如${\displaystyle a，b，a，b\dots }$的通项公式${\displaystyle a_n=\frac{1}{2}(a+b)+{(-1)}^{n+1}\cdot \frac{1}{2}(a-b)}$     (2)的通项公式为${\displaystyle a_n=\frac{a}{9}({10}^n-1)}$     (3)当数列中含有分数时，通常是分子、分母分别找规律写通项．

提示	示范
在利用数列递推关系求数列时，常常是相邻两项作差，然后对差式求和，这是求通项的重要方法．
解:${\displaystyle \because a_{n+1}-a_n=\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})}$,     ${\displaystyle \therefore a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\dots +(a_3-a_2)+(a_2-a_1)+a_1}$     ${\displaystyle =\frac{1}{2}[(\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1})+(\frac{1}{2n-5}-\frac{1}{2n-3})+\dots +(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}]}$     ${\displaystyle =\frac{4n-3}{4n-2}}$     评注:这是一道已知${\displaystyle a_1}$和递推公式求${\displaystyle a_n}$的题．凡是遇到一递推公式通过适当变形后，能化为${\displaystyle a_n-a_{n-1}=f\left(n\right)}$的形式时[等差数列是其特例，此时${\displaystyle f\left(n\right)}$为常数]，则由${\displaystyle a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\dots +(a_3-a_2)+(a_2-a_1)+a_1}$可求出其通项公式.

    3、若数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$的通项公式为${\displaystyle a_n=-2n^2+13n(n\in N^{\star })}$,画出它在${\displaystyle x}$轴上方的图象，请根据图象求出${\displaystyle a_n}$的最大值，并在同一坐标系中画出函数${\displaystyle f\left(x\right)=-2x^2+13x}$的图象，根据图象求出${\displaystyle f\left(x\right)}$的最大值，并与${\displaystyle a_n}$的最大值进行比较．若用函数来求${\displaystyle a_n=-2n^2+13n}$的最大值应如何处理?

提示	示范
数列的通项${\displaystyle a_n}$与${\displaystyle n}$之间构成二次函数关系．可结合二次函数的知识去进行探求．另外要注${\displaystyle n}$的取值范围．
解:由,     ${\displaystyle \because n\in N^{\star },\therefore n=1，2，3，4，5，6.}$     ${\displaystyle \therefore a_1=11}$，${\displaystyle a_2=18}$，${\displaystyle a_3=-2\times 9+39=21}$，${\displaystyle a_4=-2\times 16+13\times 4=20}$，${\displaystyle a_5=-2\times 35+13\times 5=15}$，     ${\displaystyle a_6=-2\times 36+13\times 6=6}$     ${\displaystyle f\left(x\right)=-2{(x-\frac{13}{4})}^2+\frac{169}{8}}$.     当${\displaystyle x=\frac{13}{4}}$时，${\displaystyle f\left(x\right)}$取最大值${\displaystyle \frac{169}{8}}$.     ，而${\displaystyle 3\frac{1}{4}}$离${\displaystyle 3}$较近，     ${\displaystyle \therefore a_3}$达到最大值.     评注:数列也是函数，${\displaystyle f\left(x\right)}$是关于${\displaystyle x}$的二次函数，所以它一定存在最值，而${\displaystyle a_n=-2n^2+13n}$是${\displaystyle a_n}$关于${\displaystyle n}$的二次函数，也一定存在最大值，但由于${\displaystyle n\in N^{\star }}$，所以${\displaystyle a_n}$是一个整数．

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

    1、下列说法正确的是(   )
    A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
    B.数列1，2，3，4与4，3，2，1是相同的数列
    C.数列${\displaystyle \left\{\frac{n+1}{n}\right\}}$的第${\displaystyle k}$项是${\displaystyle 1+\frac{1}{k}(k\in N^{\star })}$
    D.数列0，2，4，6，8，…可记为${\displaystyle \left\{2n\right\}}$
    E.数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$中不能有相等的项.

提示	示范
(提示内容)
解:数列与数的集合概念不同，故A不正确；     数列中的数是有顺序的，数相同但排列顺序不同的数列是不同的数列，故B不正确；     D中数列${\displaystyle \left\{2n\right\}}$的首项是${\displaystyle a_1=2}$，而不是0，其通项公式应为${\displaystyle a_n=2(n-1)}$，故D不正确；     因数列不同于集合，它可以有相同的项，如常数列1，0，1，0，…，所以E也不正确.     答案:C     评注:大纲明确指出要“理解数列的概念”，特别是数列的定义、通项公式及递推公式等概念，这类题目主要是以选择题为主，特别指出不能将数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$看成一个集合．因为数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$中可能有相同的项，如数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$：1，1，1，…，写成集合{1，1，1，…}是错误的，数列中的项是有次序的，而集合中的元素是无序的，并且集合中的元素互异．${\displaystyle \left\{a_n\right)}$仅是数列的表示符号而已，与集合无关.

    2、根据数列的前几项或前${\displaystyle n}$项和公式，写出下面数列的一个通项公式：
    (1)1，3，7，15，31，…；
    (2)1，11，111，1111，…；
    (3)${\displaystyle \frac{2^2-1}{1}，\frac{3^2-2}{3}，\frac{4^2-3}{5}，\frac{5^2-4}{7}，\dots }$；
    (4)${\displaystyle 2，-\frac{4}{5}，\frac{1}{2}，-\frac{4}{11}，\frac{2}{7}，-\frac{4}{17}，\dots }$
    (5)${\displaystyle S_n=2n^2-3n+k}$.

提示	示范
(提示内容)
解:(1)注意观察发现各项分别加上1，变为2，4，8，1 6，32，…其通项公式为${\displaystyle 2^n}$，故原数列的通项公式为${\displaystyle a_n=2^n-1}$.     (2)各项乘以9，变为9，99，999，…，各项加上1，又变为10，100，1 000，…，后一数列的通项公式为${\displaystyle {10}^n}$，可得原数列的通项公式为${\displaystyle a_n=\frac{1}{9}({10}^n-1)}$．     (3)仔细观察数列的每一项，由三部分组成：分母是从1开始的奇数，其通项公式为${\displaystyle 2n-1}$；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为${\displaystyle {(n+1)}^2}$；分子的后一部分是减去一个自然数，其通项为${\displaystyle n}$．     综合得原数列的通项公式为${\displaystyle a_n=\frac{{(n+1)}^2-n}{2n-1}}$．     (4)数列的符号规律是${\displaystyle {(-1)}^{n+1}}$，使各项分子为4，变为${\displaystyle \frac{4}{2}，-\frac{4}{5}，\frac{4}{8}，-\frac{4}{11}，\dots }$，再把各分母分别加1，又变为${\displaystyle \frac{4}{3}，-\frac{4}{6}，\frac{4}{9}，-\frac{4}{12}，\dots }$，${\displaystyle \therefore }$数列的通项公式是${\displaystyle a_n=\frac{4\times {(-1)}^{n+1}}{3n-1}}$．     (5)当${\displaystyle n\ge 2}$时，${\displaystyle a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2-3n+k-2{(n-1)}^2+3(n-1)-k=4n-5}$     当${\displaystyle n=1}$时，${\displaystyle a_1=S_1=-1+k}$     当${\displaystyle k=0}$时，${\displaystyle a_1=-1}$适合${\displaystyle a_n=4n-5}$     ${\displaystyle \therefore a_n=4n-5}$     当${\displaystyle k\ne 0}$时，${\displaystyle a_1=-1+k}$不符合${\displaystyle a_n=4n-5}$     ${\displaystyle \therefore a_n=\{\begin{array}{l}-1+k，n=1\\ 4n-5，n\ge 2\end{array}}$     评注:(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．     (2)根据数列的前${\displaystyle n}$项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用${\displaystyle {(-1)}^n或{(-1)}^{n+1}}$来调整．     (3)观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)建立合理的联想、转换而使问题得到解决．     常见的数列有：1，2，3，4，…${\displaystyle (a_n=n)}$；1，3，5，7，…${\displaystyle (a_n=2n-1)}$；     2，4，6，8，…${\displaystyle (a_n=2n)}$；9，99，999，9 999，…${\displaystyle (a_n={10}^n-1)}$；     1，3，7，15，31，…${\displaystyle (a_n=2^n-1)}$；     0.1，0.11，0.111，…${\displaystyle [a_n=\frac{1}{9}\times (1-\frac{1}{{10}^n})]}$应熟记．     (4)已知${\displaystyle S_n}$求${\displaystyle a_n}$作为一个完美性的公式，在高考中频频出现，利用公式时关键要分，${\displaystyle n=1}$和${\displaystyle n\ge 2}$两种情况考虑，要验证能否统一．