二、重点难点
    重点:数列的概念，能根据递推公式写出数列的前几项.

    难点:数列概念的内涵，能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.

    三、特别提示
    1、数列与数集是两个不同的概念．集合中的元素具有无序性和互异性，而数列中是 有序数集，因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列．

    2、数列的项与它的项数是两个不同的概念．数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数`a_n`，它是一个函数值，即`f(n)`，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是这个函数值`f(n)`对应的自变量的值，即`n`.

    3、数列是一类特殊的函数值，所以表述数列可联想到函数的表示方法；因此数列能写出通项公式的是特殊的一类，但并非每一个数列都可以写出通项公式，也存在有些数列的通项公式的形式不唯一的情况．

    4、写出数列的一个通项公式或由递推关系归纳数列的通项公式，可能有多种结构形式的答案，需要认真观察哪些因素随项数`n`的变化而变化，分析符号、数字、字母与项数`n`在变化中的联系，然后再认真验证总结．

    5、写通项公式常用的方法有：观察法、待定系数法、迭加法、递推法、归纳法、分项法和并项法，同时常用到猜想、转化等思想方法．在用观察法求数列通项公式时，注意观察哪些因素随项数`n`而变化，哪些因素不变．抓住各项`a_n`与`n`的关系，用某几项检验公式是否正确；

    6、在利用`S_n与a_n`的关系：`a_n`=`{(S_1,n=1),(S_n-S_(n-1),n>=2):}`,求通项时别忽视了`n=1`的情景，必须分`n=1和n>=2`两种情况讨论，然后验证两种情况可否用否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．

    2、数列的通项公式
    一个数列`{a_n}`的第n项`a_n`与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式`a_n=f(n)`来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．

    3、数列的分类
    (1)按项数多少来分，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列；
    (2)按数列的项的特性来分，数列可分为_______、_______、_______、________.

    4、数列的表示方法
    `{(列表法,),(解析法{(________,),(________,):},),(图象法,):}`

    5、数列的前`n`项和
    数列`{a_n}`的前`n`项之和叫做数列的前`n`项和，通常`S_n`表示,即`S_n=a_1+a_2…+a_n`
    `S_n`与`a_n`的关系是`a_n={(S_1,n=1),(S_n-S_(n-1),n>=2):}`

    6、递推关系式
    _____是认识数列的重要手段，_________是确定数列的一种方式，根据数列的递推关系能够写出数列．

    应用举例
    一、应用特点
    1、写出数列的一个通项公式
    2、利用递推公式解题
    3、数列性质的应用
    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、求下列数列`{a_n}`的一个通项公式．
    (1)0，1，0，1，0，1，…；
    (2)-1，1，-2，2，-3，3，…；
    (3)9，99，999，9999，…．

提示	示范
写数列的通项公式，应注意观察数列中各项与项数”的联系和变化情况，应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、`(-1)^n`相关数列等．
解:(1)由观察得`a_n=1/2+(-1)^n*(1/2)`．     (2)`.:`所有奇数项上的数组成数列-1，-2，-3，…；所有偶数项上的数组成数列1，2，3，…，     分别求通项后，得`a_n={(-(n+1)/2,,n=2k-1,,kinN^**,),(n/2,,n=2k,,kinN^**,):}`     (3)`.:9=10-1,99=100-11=10^2-1`，`999=1000-1=10^3-1`，…，     `:.`原数列为`10-1，10^2-1，l0^3-1`，…．:.`a_n=10^n-1`．     评注:(1)形如`a，b，a，b…`的通项公式`a_n=1/2(a+b)+(-1)^(n+1)* 1/2(a-b)`     (2)`a，aa，aaa，…(1<a<9，ainN^**)`的通项公式为`a_n=a/9(10^n-1)`     (3)当数列中含有分数时，通常是分子、分母分别找规律写通项．

提示	示范
在利用数列递推关系求数列时，常常是相邻两项作差，然后对差式求和，这是求通项的重要方法．
解:`.:a_(n+1)-a_n=1/(4n^2-1)=1/((2n-1)(2n+1))=1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))`,     `:.a_n=(a_n-a_(n-1))+(a_(n-1)-a_(n-2))+…+(a_3-a_2)+(a_2-a_1)+a_1`     `=1/2[(1/(2n-3)-1/(2n-1))+(1/(2n-5)-1/(2n-3))+…+(1/3-1/5)+(1/1-1/3)+1/2]`     `=(4n-3)/(4n-2)`     评注:这是一道已知`a_1`和递推公式求`a_n`的题．凡是遇到一递推公式通过适当变形后，能化为`a_n-a_(n-1)=f(n)`的形式时[等差数列是其特例，此时`f(n)`为常数]，则由`a_n=(a_n-a_(n-1))+(a_(n-1)-a_(n-2))+…+(a_3-a_2)+(a_2-a_1)+a_1`可求出其通项公式.

    3、若数列`{a_n}`的通项公式为`a_n=-2n^2+13n(ninN^**)`,画出它在`x`轴上方的图象，请根据图象求出`a_n`的最大值，并在同一坐标系中画出函数`f(x)=-2x^2+13x`的图象，根据图象求出`f(x)`的最大值，并与`a_n`的最大值进行比较．若用函数来求`a_n=-2n^2+13n`的最大值应如何处理?

提示	示范
数列的通项`a_n`与`n`之间构成二次函数关系．可结合二次函数的知识去进行探求．另外要注`n`的取值范围．
解:由`-2n^2+13n>0rArrn(n-13/2)<0rArr0<n<2/13`,     `.:ninN^**,:.n=1，2，3，4，5，6.`     `:.a_1=11`，`a_2=18`，`a_3=-2xx9+39=21`，`a_4=-2xx16+13xx4=20`，`a_5=-2xx35+13xx5=15`，     `a_6=-2xx36+13xx6=6`     `f(x)=-2(x-13/4)^2+169/8`.     当`x=13/4`时，`f(x)`取最大值`169/8`.     `.:3<x=3 1/4<4`，而`3 1/4`离`3`较近，     `:.a_3`达到最大值.     评注:数列也是函数，`f(x)`是关于`x`的二次函数，所以它一定存在最值，而`a_n=-2n^2+13n`是`a_n`关于`n`的二次函数，也一定存在最大值，但由于`ninN^**`，所以`a_n`是一个整数．

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

    1、下列说法正确的是(   )
    A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
    B.数列1，2，3，4与4，3，2，1是相同的数列
    C.数列`{(n+1)/n}`的第`k`项是`1+1/k(kinN^**)`
    D.数列0，2，4，6，8，…可记为`{2n}`
    E.数列`{a_n}`中不能有相等的项.

提示	示范
(提示内容)
解:数列与数的集合概念不同，故A不正确；     数列中的数是有顺序的，数相同但排列顺序不同的数列是不同的数列，故B不正确；     D中数列`{2n}`的首项是`a_1=2`，而不是0，其通项公式应为`a_n=2(n-1)`，故D不正确；     因数列不同于集合，它可以有相同的项，如常数列1，0，1，0，…，所以E也不正确.     答案:C     评注:大纲明确指出要“理解数列的概念”，特别是数列的定义、通项公式及递推公式等概念，这类题目主要是以选择题为主，特别指出不能将数列`{a_n}`看成一个集合．因为数列`{a_n}`中可能有相同的项，如数列`{a_n}`：1，1，1，…，写成集合{1，1，1，…}是错误的，数列中的项是有次序的，而集合中的元素是无序的，并且集合中的元素互异．`{a_n)`仅是数列的表示符号而已，与集合无关.

    2、根据数列的前几项或前`n`项和公式，写出下面数列的一个通项公式：
    (1)1，3，7，15，31，…；
    (2)1，11，111，1111，…；
    (3)`(2^2-1)/1，(3^2-2)/3，(4^2-3)/5，(5^2-4)/7，…`；
    (4)`2，-4/5，1/2，-4/11，2/7，-4/17，…`
    (5)`S_n=2n^2-3n+k`.

提示	示范
(提示内容)
解:(1)注意观察发现各项分别加上1，变为2，4，8，1 6，32，…其通项公式为`2^n`，故原数列的通项公式为`a_n=2^n-1`.     (2)各项乘以9，变为9，99，999，…，各项加上1，又变为10，100，1 000，…，后一数列的通项公式为`10^n`，可得原数列的通项公式为`a_n=1/9(10^n-1)`．     (3)仔细观察数列的每一项，由三部分组成：分母是从1开始的奇数，其通项公式为`2n-1`；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为`(n+1)^2`；分子的后一部分是减去一个自然数，其通项为`n`．     综合得原数列的通项公式为`a_n=((n+1)^2-n)/(2n-1)`．     (4)数列的符号规律是`(-1)^(n+1)`，使各项分子为4，变为`4/2，-4/5，4/8，-4/11，…`，再把各分母分别加1，又变为`4/3，-4/6，4/9，-4/12，…`，`:.`数列的通项公式是`a_n=(4xx(-1)^(n+1))/(3n-1)`．     (5)当`n>=2`时，`a_n=S_n-S_(n-1)=2n^2-3n+k-2(n-1)^2+3(n-1)-k=4n-5`     当`n=1`时，`a_1=S_1=-1+k`     当`k=0`时，`a_1=-1`适合`a_n=4n-5`     `:.a_n=4n-5`     当`k!=0`时，`a_1=-1+k`不符合`a_n=4n-5`     `:.a_n={(-1+k，n=1),(4n-5，n>=2):}`     评注:(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．     (2)根据数列的前`n`项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用`(-1)^n或(-1)^(n+1)`来调整．     (3)观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)建立合理的联想、转换而使问题得到解决．     常见的数列有：1，2，3，4，…`(a_n=n)`；1，3，5，7，…`(a_n=2n-1)`；     2，4，6，8，…`(a_n=2n)`；9，99，999，9 999，…`(a_n=10^n-1)`；     1，3，7，15，31，…`(a_n=2^n-1)`；     0.1，0.11，0.111，…`[a_n=1/9xx(1-1/(10^n))]`应熟记．     (4)已知`S_n`求`a_n`作为一个完美性的公式，在高考中频频出现，利用公式时关键要分，`n=1`和`n>=2`两种情况考虑，要验证能否统一．