二、重点难点
    重点:理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前${\displaystyle n}$项和公式.

    难点:能运用等比数列的概念、通项公式与前${\displaystyle n}$项和公式解决简单的实际问题．

    三、特别提示
    1、学习等比数列的基本公式，要从公式的顺向、逆向、变形等多角度的掌握．

    2、学习等比数列，要对照等差数列来进行，切实把握它们之间的区别，要深刻理解等比数列的定义及其等价形式，熟练运用通项公式和求和公式，注意用方程的思想、消元的思想及整体消元思想分析问题和解决问题．

    3、比较法是理解和掌握两类数列的定义、通项公式及中项公式、前${\displaystyle n}$项和公式的重要方法．判定一个数列是等比数列，不能只验证数列的前${\displaystyle n}$项，需根据定义证明${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$是常数，也可证明其等价形式：${\displaystyle a_n^2=a_{n-1}{a}_{n+1}}$.
    特别地，在判定三个实数${\displaystyle a、b、c}$成等比数列时，常用${\displaystyle ac=b^2}$，两类数列的通项公式与前${\displaystyle n}$项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算题．方程观点是解决这类问题的基本数学思想和方法，在已知三数成等比数列时，可设三个数依次为${\displaystyle a，aq，a{q}^2}$，也可设为${\displaystyle \frac{a}{q}，a，aq}$，使得许多实际问题能够得到迅速、准确的解决．

    4、等比数列的判定方法有以下几种：

    (1)定义法：${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=q(q是不为0的常数，n\in N)\iff \left\{a_n\right\}}$是等比数列．

    (2)通项公式法：${\displaystyle a_n=c{q}^n}$(${\displaystyle c、q均是不为0的常数，n\in N}$)${\displaystyle \iff \left\{a_n\right\}}$是等比数列．

    (3)中项公式法：${\displaystyle a_{n+1}^2=a_n{a}_{n+2}}$(${\displaystyle a_n{a}_{n+1}{a}_{n+2}\ne 0,n\in N}$)${\displaystyle \iff }$${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$是等比数列．

    (4)前${\displaystyle n}$项和公式法：${\displaystyle S_n=\frac{a_1}{q-1}{q}^n-\frac{a_1}{q-1}=k{q}^n-k}$(${\displaystyle k=\frac{a_1}{q-1}}$是常数，且${\displaystyle q\ne 0,q\ne 1}$)${\displaystyle \iff }$${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$是等比数列．

    1、等比数列的概念
    (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.
    (2)通项公式：${\displaystyle a_n=a_1{q}^{n-1}}$．
    (3)前${\displaystyle n}$项和公式：${\displaystyle S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_{n}q}{1-q}}$
    当${\displaystyle q\ne 1}$时，${\displaystyle q^n}$的系数和常数项互为相反数，可利用此特点巧妙解题．
    特别注意${\displaystyle q=1}$时，${\displaystyle S_n=n{a}_1}$这一特殊情况，该公式的推导方法：______________________．
    (4)对任意正整数${\displaystyle n>1}$，有${\displaystyle a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$

    2、等比数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$的性质
    (1)通项公式推广：${\displaystyle a_n=a_m\cdot q^{n-m}}$；
    (2)对于任意正整数${\displaystyle p、q、r、s}$，只要满足${\displaystyle p+q=r+s}$，则${\displaystyle a_p\cdot a_q=a_r\cdot a_s}$；
    (3)对于任意非零实数${\displaystyle b}$，${\displaystyle \left\{b{a}_n\right\}}$也是等比数列；
    (4)已知${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$、${\displaystyle \left\{b_n\right\}}$是等比数列，则${\displaystyle \left\{a_n{b}_n\right\}}$也是等比数列；
    (5)如果${\displaystyle a_n>0}$，则${\displaystyle \left\{{log}_a{a}_n\right\}}$是等差数列；
    (6)数列${\displaystyle \left\{{log}_a{a}_n\right\}}$成等差数列，则${\displaystyle a_n}$成等比数列；
    (7)${\displaystyle \left\{a_{2n}\right\}}$，${\displaystyle \left\{a_{2n-1}\right\}}$，${\displaystyle \left\{a_{3n-1}\right\}}$，${\displaystyle \left\{a_{3n-2}\right\}}$，${\displaystyle \left\{a_{3n}\right\}}$等都是等比数列；
    (8)${\displaystyle S_n}$，${\displaystyle S_{2n}-S_n}$，${\displaystyle S_{3n}-S_{2n}}$，…仍成等比数列；
    (9)三个数成等比数列，通常设为${\displaystyle \frac{a}{q}}$，${\displaystyle a}$，${\displaystyle aq}$，四个数成等比数列，通常设为${\displaystyle \frac{a}{q^3}}$，${\displaystyle \frac{a}{q}}$，${\displaystyle aq}$，${\displaystyle a{q}^3}$

    应用举例
    一、应用特点
    1、等比数列的概念、通项公式、前${\displaystyle n}$项和公式的应用
    2、运用等比数列的性质解题
    3、等比数列的综合应用

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得三项就成等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得三项又成等比数列，求原来的等比数列.

提示	示范
设出这三项，根据等比、等差数列定义和通项公式列出方程组.
解:方法一：设所求的等比数列为${\displaystyle a，aq，a{q}^2}$，     则${\displaystyle \{\begin{array}{ll}2(aq+4)=a+a{q}^2& \\ {(aq+4)}^2=a(a{q}^2+32)& \end{array}}$，解得${\displaystyle \{\begin{array}{ll}a=2& \\ q=3& \end{array}}$或${\displaystyle \{\begin{array}{ll}a=\frac{2}{9}& \\ q=-5& \end{array}}$     故所求的等比数列为${\displaystyle 2，6，18}$或${\displaystyle \frac{2}{9}，-\frac{10}{9}，\frac{50}{9}}$．     方法二：设所求等比数列第二项加上4以后所成的等差数列为${\displaystyle a-d，a，a+d}$，则     ${\displaystyle \{\begin{array}{ll}{(a-4)}^2=(a-d)(a+d)& \\ a^2=(a-d)(a+d+32)& \end{array}}$,解得${\displaystyle \{\begin{array}{ll}d=8& \\ a=10& \end{array}}$或${\displaystyle \{\begin{array}{ll}d=\frac{8}{3}& \\ a=\frac{26}{9}& \end{array}}$     故所求的等比数列为${\displaystyle 2}$，${\displaystyle 6}$，${\displaystyle 18}$或${\displaystyle \frac{2}{9}}$，${\displaystyle -\frac{10}{9}}$，${\displaystyle \frac{50}{9}}$.    评注:本例是通过设未知数、列方程来求解的．解答这类问题的关键是充分挖掘问题中蕴含的条件，使所设的未知数的个数尽量少、所列的方程既简单叉便于求解．一般地，当几个数成等差数列且其和为常数或几个数成等比数列且其积为常数时，常用对称法设未知数．

    2、已知数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$是等比数列
    (1)若${\displaystyle a_n>0}$，${\displaystyle {log}_3{a}_1+{log}_3{a}_2+\dots +{log}_3{a}_{10}=20}$，求${\displaystyle a_{10}\cdot a_6}$
    (2)若${\displaystyle a_1+a_2+a_3=7}$，${\displaystyle a_1{a}_2{a}_3=8}$，求${\displaystyle a_n}$

    3、在公差不为零的等差数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$与等比数列${\displaystyle \left\{b_n\right]}$中，设${\displaystyle a_1=1=b_1，a_2=b_2，a_8=b_3}$.
    (1)求公差和公比．
    (2)是否存在常数${\displaystyle a、b\in ℝ}$，使得对一切${\displaystyle n\in N^{\star }}$都有${\displaystyle a_n={log}_a{b}_n+b}$成立？若存在，求之；若不存在，请说明理由

提示	示范
根据题设可知本题的等差数列、等比数列中的各项分别能用${\displaystyle a_1}$和${\displaystyle d}$，${\displaystyle a_1}$和${\displaystyle q}$表示，因此可建立${\displaystyle d}$和${\displaystyle q}$的方程组，然后再解出${\displaystyle d}$和${\displaystyle q}$．
解:(1)设等差数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$的公差为${\displaystyle d}$，等比数列${\displaystyle \left\{b_n\right\}}$的公比为${\displaystyle q}$．     由${\displaystyle a_2=b_2}$知${\displaystyle 1+d=q}$    ①     由${\displaystyle a_8=b_3}$知${\displaystyle 1+7d=q^2}$   ②     从而有${\displaystyle q=6，d=5}$     (2)${\displaystyle \because a_1=1，b_1=a_1=1，q=6，d=5}$，     ${\displaystyle \therefore a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)5=5n-4，b_n=b_1{q}^{n-1}=6^{n-1}}$．     假设存在常数${\displaystyle a、b}$使得对${\displaystyle n\in N^{\star }}$时都有${\displaystyle a_n={log}_a{b}_n+b}$．     ${\displaystyle \therefore 5n-4={log}_a{6}^{n-1}+b}$，${\displaystyle (5-{log}_{a}6)n+({log}_{a}6-b-4)=0}$，即${\displaystyle \{\begin{array}{ll}5-{log}_{a}6=0& \\ {log}_{a}6-b-4=0& \end{array}}$     解之，得${\displaystyle a=\sqrt[5]{6},b=1}$，则存在常数${\displaystyle a=\sqrt[5]{6},b=1}$，使得对一切${\displaystyle n\in N^{\star }}$都有${\displaystyle a_n={log}_a{b}_n+b}$成立．     评注:该题型是几年来高考中的热点问题之一，属探索性数学问题中的探索存在性问题 ，采用“反证法”的思想入手．充分挖掘已知条件，利用“恒等式”的对应项系数相等求解．

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

    1、已知等比数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$，若${\displaystyle a_1+a_2+a_3=7,a_1{a}_2{a}_3=8}$，求${\displaystyle a_n}$.

提示	示范
(提示内容)
解:要求等比数列通项公式，只要求${\displaystyle a_1}$和${\displaystyle q}$即可．     方法一：${\displaystyle \therefore a_1{a}_3=a_2^2}$，${\displaystyle a_1{a}_2{a}_3=a_2^2=8}$.     ${\displaystyle \therefore a_2=2}$．     从而${\displaystyle \{(a_1+a_3=5,),(a_1{a}_3=4)}$，解得${\displaystyle a_1=1，a_3=4}$或${\displaystyle a_1=4，a_3=1}$．     当${\displaystyle a_1=1}$时，${\displaystyle q=2}$，当${\displaystyle a_1=4}$时，${\displaystyle q=\frac{1}{2}}$.     故${\displaystyle a_n=2^{2n-1}}$或${\displaystyle a_n=2^{3-n}}$．     方法二：由等比数列的定义知${\displaystyle a_2=a_{1}q，a_3=a_1{q}^2}$．     代入已知得${\displaystyle \{\begin{array}{ll}{a}_1+a_{1}q+a_1{q}^2=7& \\ a_1\cdot a_{1}q\cdot a_1{q}^2=8& \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{ll}{a}_1(1+q+q^2)=7& \\ a_1^3{q}^3=8& \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{ll}{a}_1(1+q+q^2)=7& ①\\ a_1^3{q}^3=8& ②\end{array}}$     将${\displaystyle a_1=\frac{2}{q}}$代入①得${\displaystyle 2q^2-5q+2=0}$.     ${\displaystyle \therefore q=2}$或${\displaystyle q=\frac{1}{2}.}$     由②得${\displaystyle \{\begin{array}{ll}{a}_1=1& \\ q=2& \end{array}}$或${\displaystyle \{\begin{array}{ll}{a}_1=4& \\ q=\frac{1}{2}& \end{array}}$     方法三：由等比数列的概念可知${\displaystyle a_1=\frac{a_2}{q}}$，${\displaystyle a_3=a_{2}q,}$     代入${\displaystyle a_1{a}_2{a}_3=8}$，得${\displaystyle a_2=2}$，     ${\displaystyle \therefore a_1=\frac{2}{q}}$，${\displaystyle a_3=2q.}$     代入${\displaystyle a_1+a_2+a_3=7}$，得${\displaystyle \frac{2}{q}+2+2q=7.}$     解得${\displaystyle q=2}$或${\displaystyle q=\frac{1}{2}}$．     以下同方法一．    评注:(1)在方法三中易产生的错误是在求得${\displaystyle a_1=1,a_3=4}$或${\displaystyle a_1=4,a_3=1}$后，由${\displaystyle a_3=a_1{q}^2}$分别求得${\displaystyle q=\pm 2}$或${\displaystyle q=\pm \frac{1}{2}}$，从而产生${\displaystyle a_n={(\pm 2)}^{n-1}}$或${\displaystyle a_n=4{(\pm \frac{1}{2})}^{n-1}}$，错因在于忽视了由于${\displaystyle a_2=2}$，${\displaystyle a_1>0}$必有${\displaystyle q>0}$这一隐含条件．    (2)等比数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$的通项公式${\displaystyle a_n=a_1{q}^{n-1}}$中有四个量${\displaystyle a_n，a_1，q，n}$，一般已知其中三个可求得第四个，即从等式中导出那个量，我们将这类问题归结为公式的正用、逆用、变形使用问题．    (3)若${\displaystyle m、n、p、q\in N^{\star }}$，且${\displaystyle a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q.}$

    2、(1)已知数列${\displaystyle \left\{c_n\right\}}$，其中${\displaystyle c_n=2^n+3^n}$，且数列${\displaystyle \{c_{n+1}-p{c}_n\}}$为等比数列，求常数${\displaystyle p}$；
    (2)设${\displaystyle \left\{a_n\right\}、\left\{b_n\right\}}$是公比不相等的两个等比数列，${\displaystyle c_n=a_n+b_n}$，证明数列${\displaystyle \left\{c_n\right\}}$不是等比数列．

提示	示范
(提示内容)
解:(1)解析：因为${\displaystyle \{c_{n+1}-p{c}_n\}}$是等比数列，     故有${\displaystyle {(c_{n+1}-p{c}_n)}^2=(c_{n+2}-p{c}_{n+1})(c_n-p{c}_{n-1})}$，     将${\displaystyle c_n=2^n+3^n}$代入上式，得     ${\displaystyle {[2^{n+1}+3^{n+1}-p(2^n+3^n)]}^2=[2^{n+2}+3^{n+2}-p(2^{n+1}+3^{n+1})]\cdot [2^n+3^n-p(2^{n-1}+3^{n-1})]}$，     即${\displaystyle {[(2-p)2^n+(3-p)3^n]}^2=[(2-p)x^{n+1}+(3-p)3^{n+1}]\cdot [(2-p)x^{n-1}+(3-p)3^{n-1}]}$，     整理，得${\displaystyle \frac{1}{6}(2-p)(3-p)\cdot 2^n\cdot 3^n=0}$，     解得${\displaystyle p=2}$或${\displaystyle p=3}$     (2)证明：设${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$、${\displaystyle \left\{b_n\right\}}$的公比分别为${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$，${\displaystyle p\ne q}$，${\displaystyle c_n=a_n+b_n}$．     为证${\displaystyle \left\{c_n\right\}}$不是等比数列只需证${\displaystyle c_2^2\ne c_1\cdot c_3}$．     事实上，${\displaystyle c_2={(a_{1}p+b_{1}q)}^2=a_1^2+b_1^2{q}^2+2a_1{b}_{1}pq}$，     ${\displaystyle c_1\cdot c_3=(a_1+b_1)(a_1{p}^2+b_1{q}^2)=a_1^2{p}^2+b_1^2{q}^2+a_1{b}_1(p^2+q^2)}$．     由于${\displaystyle p\ne q}$，${\displaystyle p^2+q^2>2pq}$，又${\displaystyle a_1}$、${\displaystyle b_1}$不为零，     因此${\displaystyle c_2^2\ne c_1{c}_3}$．故${\displaystyle \left\{c_n\right\}}$不是等比数列．    评注:((1)证明数列是等比数列的两个基本方法：     ①利用定义：${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$为一常数．     ②利用等比中项:${\displaystyle a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$．     (2)本题证法很多，建议读者从不同的角度审视此题．我们可以得出更一般的结论：     推论l：设数列${\displaystyle \left\{c_n\right\}}$，${\displaystyle c_n=a^n+b^n}$且${\displaystyle a\ne b}$，则数列${\displaystyle \{c_{n+1}-p{c}_n\}}$为等比数列的充要条件是${\displaystyle p=a}$或${\displaystyle p=b}$．     推论2：设${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$、${\displaystyle \left\{b_n\right\}}$是两个等比数列，则数列${\displaystyle \{a_n+b_n\}}$为 等比数列的充要条件是数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$、${\displaystyle \left\{b_n\right\}}$的公比相等．     推论3：公比为${\displaystyle a、b}$的等比数列${\displaystyle \left\{a_n\right\}}$、${\displaystyle \left\{b_n\right\}}$且${\displaystyle a\ne b}$，${\displaystyle s}$、${\displaystyle t}$为不全为零的实数，${\displaystyle c_n=s{a}_n+t{b}_n}$为等比数列的充要条件是${\displaystyle st=0}$.

    学习感悟
    1、已知${\displaystyle a_1，q，n，a_n，S_n}$中的三个量，求其他两个量归结为解方程组问题．
    2、本着化多为少的原则，解题时需抓住首项${\displaystyle a_1}$和公比${\displaystyle q}$．
    3、运用等比数列的求和公式时，须对${\displaystyle q=1}$和${\displaystyle q\ne 1}$进行讨论．
    4、解题时，应注意等比数列性质的应用，以减少运算量.