一、复习目标
    掌握一些求特殊数列前`n`项和的方法(如倒序相加、错位相减、拆项、分组、递推等 方法), 理解数列求和中蕴涵的数学思想方法．

    二、重点难点
    重点:掌握一些求特殊数列前`n`项和的方法(如倒序相加、错位相减、拆项、分组、递推等 方法).

    难点:熟练掌握求特殊数列前`n`项和的方法,理解数列求和中蕴涵的数学思想方法．

    三、特别提示
    (1)数列求和和数列的通项密不可分，若求`S_n`关键看`a_n`．满足什么条件、什么规律，通常还需将`a_n`进行“转化”，然后用上述方法求和．

    (2)将一般数列的求和问题转化为特殊数列的求和是关键，转化的方向有二：其一，转化为等差、等比数列的求和；或者转化为求自然数的方幂和，从而可套用基本求和公式；其二，消项，把较复杂的数列求和转化为几个已知数列和．

    (3)在通项中含有`(-1)^n`的一类数列，求`s_n`时，要讨论`n`的奇偶性；不容忽视等比数列前`n`项和公式的使用条件，即要分`q=1和q!=1`两种情况进行讨论．

    应用举例
    一、应用特点
    1、等差数列应用题
    2、等比数列应用题
    3、数列的综合应用

    二、案例示范
    (回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

    1、甲、乙物体分别从相距7O米的两处同时相向运动．甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米．
    (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
  (2)如果甲、乙到达对方起点立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

提示	示范
甲每分钟比前1分钟多走2米，则每分钟所走路程依次排成一个等差数列．
解:(1)设船分钟后第一次相遇，依题意，有`2n+(n(n-1)/2)+5n=70`,     整理得`n^2+13n-140=0`，解得`n=1，n=-20`(舍)．第一次相遇是在开始后7分钟．     (2)设`n`分钟后第二次相遇，依题意，有`2n+(n(n-1)/2)+5n=3xx70`     整理得`n^2+13n-420=0`，解得`n=15，n=-28`(舍)．第二次相遇是在开始后15分钟．     评注:对等差数列与方程的综合应用题，应准确地构建数列模型，利用方程加以解决．

    2、小王年初向建设银行贷款2万元用于购房，商定年利率为1O％，按复利计算(即本年的利息计人次年的本金生息)，若这笔贷款分15次等额归还，每年一次，15年还清，并从贷款后次年开始归还，问每年应还多少钱?

提示	示范
分期付款问题按书本中规定计算．一定要想清楚复利的计算方法，利用等比数列知识求解．
解:假定次年为第一年，则第15年时2万元连同复利息应为`20000(1+0.10)^15`元 ，  ①     设分期付款每次付`x`元，     第一次付款到最后日期(第15年)连同复利息应是`(1+0.10)^14x`元(即第一次付款到付款清时，第一次付款已不再是`x`元．而是`1.1^14x`元了)，     第二次付款到最后日期连同复利息是`1.1^13x`元，     ……     最后一次付款是`x`元，     所以15次付款连同复利息共有`(1.1^14+1.1^13+1.1^12+…+1.1+1)x`元，   ②     而①与②式应相等，故有`(1.1^14+1.1^13+1.1^12+…+1.1+1)x=20000×1.1^15`．     由此可得`x~~2 629.48`元，即每年分期付款应还2629.48元．     评注:这里必须注意，如果每年按`20000xx1.1^15~~5569.66`元还贷，那就多付了很多，这里正是忽略了每次还款后这笔款项的复利息，而商家常是利用这些数学知识来获取更多的盈利．

    3、已知数列`{a_n}`的前`n`项和`S_n`满足`S_(n+1)=1/2S_n+a`.又`a_1=2`，`a_2=1`．
    (1)求`a`的值；
    (2)求`S_n`；
    (3)是否存在正整数`m、n`，使`(S_n-m)/(S_(n+1)-m)<1/2`成立?请说明理由．

提示	示范
运用方程知识和恒成立知识求解．
解:(1)`.:S_2=1/2S_1+a，     `:.a_1+a_2=1/2a_1+a，又`a_1=2，a_2=1`，     `:.a=2`     (2)`.:S_(n+1)=1/2S_n+2`，而`n>=2`时，`a_n=S_n-S_(n-1)`，     `:.S_(n+1)-S_n=1/2S_n-1/2S_(n-1)`     即`a_(n+1)=1/2a_n(n>=2)`，而`a_2=1/2a_1`.     `:.{a_n}`是等比数列，其公比`q=1/2`     `S_n=(2[1-(1/2)^n])/(1-1/2)=4-4/(2^n)`     (3)假设存在正整数`m、n`，使得`(S_n-m)/(S_(n+1)-m)<1/2`成立，     即`(4-4/(2^n)-m)/(4-2/(2^n)-m)<1/2hArr2/(2^n)<4-m<6/(2^n)hArr2<2^n(4-m)<6`     `.:2^n`为偶数，`(4-m)inN`，     `:.`只可能是`2^n(4-m)=4.`     `:.{(2^n=2,),(4-m=2,):}`，或`{(2^n=4,),(4-m=1,):}`，     即`{(n=1,),(m=2,):}，或{(n=2,),(m=3,):}`     综上所述，存在正整数`m、n`，使得`(S_n-m)/(S_(n+1)-m)<1/2`成立．     评注:(内容)

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

    1、已知数列`1，3x，5x^2，…，(2n-1)x^(n-1)(x!=0)`，求数列的前`n`项和

提示	示范
(提示内容)
解:由题意，可知`{(2n-1)x^(n-1)}`的通项是等差数列`{2n-1}`的通项与等比数列`{x^(n-1)}`的通项之积，     设`S_n=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)x^(n-1)`，  ①     `xS_n=   x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)x^n`，    ②(设置错位)     ①-②得`(1-x)S_n=1+2x+2x^2+2x^3+2x^4+…+2x^(n-1)-(2n-1)x^n`(错位相减)，     当`x!=1`时，利用等比数列的求和公式，得`(1-x)S_n=1+2x*(1-x^(n-1))/(1-x)-(2n-1)x^n`．     `S_n=((2n-1)x^(n+1)-(2n+1)x_n+(1+x))/((1-x)^2),当x=1时,S_n=n^2`.     评注:(1)解决数列求和问题，应观察数列的规律及通项 公式，从而确定具体的求和方法，在运用等比数列的求和公式 时应注意公比`q=1`和`q≠1`时的讨论；   (2)设数列`{a_n}`是等比数列，数列`{b_n}`是等差数列，则数列`{a_nb_n}`的前`n`项和`S_n`求解，均可用错位相减法．这种方法也是高考考查的最多的求和方法．

    2、求数列的前`n`项和：`1+1，1/a+4，1/(a^2)+7，…，1/(a^(n-1))+3n-2，…`

提示	示范
(提示内容)
解:设`S_n=(1+1)+(1/a+4)+(1/(a^2)+7)，…，(1/ (a^(n-1))+3n-2)`，     将其每一项拆开再重新组合得`S_n=(1+1/a+1/(a^2)+…+1/(a^(n-1)))+[1+4+7+…+(3n-2)]`(分组)     当`a=1`时，`S_n=n+((3n-1)n)/2=((3n+1)n)/2`(分组求和)     当`a≠1`时，`S_n=(1-1/(a^n))/(1-1/a)+((3n-1)n)/2=(a-a^(1-n))/(a-1)+((3n-1)n)/2`.     评注:数列`{1/(a^(n-1)+3n-2)}`看作等比数列`{1/(a^(n-1))}`与等差数列`{3n-2}`的和，利用分组求和的方法．

    学习感悟
    1、求数列的前`n`项和`S_n`，通常要掌握以下解法：
    (1)直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意等比时`q=1`和`q≠1`的讨论．
  (2)倒序相加法：如果一个数列`{a_n}`，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法．
  (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法．
  (4)分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化成等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法．
  (5)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，则数列的每一项都可按此法拆成两项之差．在求和时一些正负项相互抵消，于是前”项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法．
    (6)公式法求和：所给数列的通项是关于”的多项式，此时求和可采用公式法求和．常用的公式有：
    `1^2+2^2+3^2+…+n^2=1/6n(n+1)(n+2)`
    `1^3+2^3+3^3+…+n^3=1/4n^2(n+1)^2`等．
    2、对通项公式中含有`(-1)^n`的这一类数列，在求`S_n`时要注意讨论`n`的奇偶性．