§3.4 数列求和

第三章数列
§3.4 数列求和

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
掌握一些求特殊数列前 $n$ 项和的方法(如倒序相加、错位相减、拆项、分组、递推等方法), 理解数列求和中蕴涵的数学思想方法．

二、重点难点
重点:掌握一些求特殊数列前 $n$ 项和的方法(如倒序相加、错位相减、拆项、分组、递推等方法).

难点:熟练掌握求特殊数列前 $n$ 项和的方法,理解数列求和中蕴涵的数学思想方法．

三、特别提示
(1)数列求和和数列的通项密不可分，若求 $S_{n}$ 关键看 $a_{n}$ ．满足什么条件、什么规律，通常还需将 $a_{n}$ 进行“转化”，然后用上述方法求和．

(2)将一般数列的求和问题转化为特殊数列的求和是关键，转化的方向有二：其一，转化为等差、等比数列的求和；或者转化为求自然数的方幂和，从而可套用基本求和公式；其二，消项，把较复杂的数列求和转化为几个已知数列和．

(3)在通项中含有 ${(- 1)}^{n}$ 的一类数列，求 $s_{n}$ 时，要讨论 $n$ 的奇偶性；不容忽视等比数列前 $n$ 项和公式的使用条件，即要分 $q = 1 和 q \neq 1$ 两种情况进行讨论．

知识梳理
1、等差数列求和公式：

S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d

2、等比数列求和公式：

S_{n} = \frac{a_{1} (1 - q^{n})}{1 - q} = \frac{a_{1} - a_{n} q}{1 - q}

3、常用的公式

1 + 2 + \dots + n = \frac{1}{2} n (n + 1)

；

1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)

；

1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = {(1 + 2 + \dots + n)}^{2} = \frac{1}{4} n^{2} {(n + 1)}^{2}

4、常用的方法

等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其他的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分组求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、反序相加法等．

(1)错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前

n

项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列

{a_{n} \cdot b_{n}}

的前

n

项和，其中

{a_{n}} 、 {b_{n}}

分别是等差数列和等比数列．

(2)反序相加法求和

这是推导等差数列的前

n

项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到

n

个

(a_{1} + a + n)

．

(3)分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

(4)裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．将数列的通项分成两个式子的代数和，即

a_{n} = f (n + 1) - f (n)

，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法．用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，
如：

\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

；

n \cdot n \neq (n + 1)! - n!

；

\frac{1}{sin (2 α)} = cot (α) - cot (2 α)

；

C_{n - 1}^{r - 1} = C_{n}^{r} - C_{n - 1}^{r} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!}

等．

    应用举例
   一、应用特点
    1、等差数列应用题
    2、等比数列应用题
    3、数列的综合应用

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

1、甲、乙物体分别从相距7O米的两处同时相向运动．甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米．
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

提示

示范

解:(1)设船分钟后第一次相遇，依题意，有

2 n + (n \frac{n - 1}{2}) + 5 n = 70

整理得

n^{2} + 13 n - 140 = 0

，解得

n = 1 ， n = - 20

(舍)．第一次相遇是在开始后7分钟．

(2)设 $n$ 分钟后第二次相遇，依题意，有 $2 n + (n \frac{n - 1}{2}) + 5 n = 3 \times 70$
整理得 $n^{2} + 13 n - 420 = 0$ ，解得 $n = 15 ， n = - 28$ (舍)．第二次相遇是在开始后15分钟．

评注:对等差数列与方程的综合应用题，应准确地构建数列模型，利用方程加以解决．

2、小王年初向建设银行贷款2万元用于购房，商定年利率为1O％，按复利计算(即本年的利息计人次年的本金生息)，若这笔贷款分15次等额归还，每年一次，15年还清，并从贷款后次年开始归还，问每年应还多少钱?

提示	示范
分期付款问题按书本中规定计算．一定要想清楚复利的计算方法，利用等比数列知识求解．
解:假定次年为第一年，则第15年时2万元连同复利息应为 $20000 {(1 + 0.10)}^{15}$ 元， ① 设分期付款每次付 $x$ 元，第一次付款到最后日期(第15年)连同复利息应是 ${(1 + 0.10)}^{14} x$ 元(即第一次付款到付款清时，第一次付款已不再是 $x$ 元．而是 ${1.1}^{14} x$ 元了)，第二次付款到最后日期连同复利息是 ${1.1}^{13} x$ 元， …… 最后一次付款是 $x$ 元，所以15次付款连同复利息共有 $({1.1}^{14} + {1.1}^{13} + {1.1}^{12} + \dots + 1.1 + 1) x$ 元， ② 而①与②式应相等，故有 $({1.1}^{14} + {1.1}^{13} + {1.1}^{12} + \dots + 1.1 + 1) x = 20000 \times {1.1}^{15}$ ．由此可得 $x \approx 2 629.48$ 元，即每年分期付款应还2629.48元．评注:这里必须注意，如果每年按 $20000 \times {1.1}^{15} \approx 5569.66$ 元还贷，那就多付了很多，这里正是忽略了每次还款后这笔款项的复利息，而商家常是利用这些数学知识来获取更多的盈利．

3、已知数列

{a_{n}}

的前

n

项和

S_{n}

满足

S_{n + 1} = \frac{1}{2} S_{n} + a

.又

a_{1} = 2

，

a_{2} = 1

．
(1)求

a

的值；

(2)求

S_{n}

；

(3)是否存在正整数

m 、 n

，使

\frac{S_{n} - m}{S_{n + 1} - m} < \frac{1}{2}

成立?请说明理由．

提示	示范
运用方程知识和恒成立知识求解．
解:(1) $∵ S_{2} = \frac{1}{2} S_{1} + a ，$ $∴ a_{1} + a_{2} = \frac{1}{2} a_{1} + a ，又$ a_1=2，a_2=1 $，$ $∴ a = 2$ (2) $∵ S_{n + 1} = \frac{1}{2} S_{n} + 2$ ，而 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ ， $∴ S_{n + 1} - S_{n} = \frac{1}{2} S_{n} - \frac{1}{2} S_{n - 1}$ 即 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} (n \geq 2)$ ，而 $a_{2} = \frac{1}{2} a_{1}$ . $∴ {a_{n}}$ 是等比数列，其公比 $q = \frac{1}{2}$ $S_{n} = \frac{2 [1 - {(\frac{1}{2})}^{n}]}{1 - \frac{1}{2}} = 4 - \frac{4}{2^{n}}$ (3)假设存在正整数 $m 、 n$ ，使得 $\frac{S_{n} - m}{S_{n + 1} - m} < \frac{1}{2}$ 成立，即 $\frac{4 - \frac{4}{2^{n}} - m}{4 - \frac{2}{2^{n}} - m} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{2^{n}} < 4 - m < \frac{6}{2^{n}} \Leftrightarrow 2 < 2^{n} (4 - m) < 6$ $∵ 2^{n}$ 为偶数， $(4 - m) \in N$ ， $∴$ 只可能是 $2^{n} (4 - m) = 4 .$ $∴ {\begin{cases} 2^{n} = 2 \\ 4 - m = 2 \end{cases}$ ，或 ${\begin{cases} 2^{n} = 4 \\ 4 - m = 1 \end{cases}$ ，即 ${\begin{cases} n = 1 \\ m = 2 \end{cases} ，或 {\begin{cases} n = 2 \\ m = 3 \end{cases}$ 综上所述，存在正整数 $m 、 n$ ，使得 $\frac{S_{n} - m}{S_{n + 1} - m} < \frac{1}{2}$ 成立．评注:(内容)

实践体验
(在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)

    1、已知数列 $1 ， 3 x ， 5 x^{2} ， \dots ， (2 n - 1) x^{n - 1} (x \neq 0)$ ，求数列的前 $n$ 项和

    提示示范　

    (提示内容)

    解:由题意，可知 ${(2 n - 1) x^{n - 1}}$ 的通项是等差数列 ${2 n - 1}$ 的通项与等比数列 ${x^{n - 1}}$ 的通项之积，
    设 $S_{n} = 1 + 3 x + 5 x^{2} + 7 x^{3} + \dots + (2 n - 1) x^{n - 1}$ ， ①
     $x S_{n} = x + 3 x^{2} + 5 x^{3} + 7 x^{4} + \dots + (2 n - 1) x^{n}$ ，    ②(设置错位)
    ①-②得 $(1 - x) S_{n} = 1 + 2 x + 2 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{4} + \dots + 2 x^{n - 1} - (2 n - 1) x^{n}$ (错位相减)，
    当 $x \neq 1$ 时，利用等比数列的求和公式，得 $(1 - x) S_{n} = 1 + 2 x \cdot \frac{1 - x^{n - 1}}{1 - x} - (2 n - 1) x^{n}$ ．
    $S_{n} = \frac{(2 n - 1) x^{n + 1} - (2 n + 1) x_{n} + (1 + x)}{{(1 - x)}^{2}}, 当 x = 1 时, S_{n} = n^{2}$ .
评注:(1)解决数列求和问题，应观察数列的规律及通项公式，从而确定具体的求和方法，在运用等比数列的求和公式时应注意公比 $q = 1$ 和 $q \neq 1$ 时的讨论；
(2)设数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，则数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 求解，均可用错位相减法．这种方法也是高考考查的最多的求和方法．

    2、求数列的前 $n$ 项和： $1 + 1 ， \frac{1}{a} + 4 ， \frac{1}{a^{2}} + 7 ， \dots ， \frac{1}{a^{n - 1}} + 3 n - 2 ， \dots$

    提示示范　

    (提示内容)

    解:设 $S_{n} = (1 + 1) + (\frac{1}{a} + 4) + (\frac{1}{a^{2}} + 7) ， \dots ， (\frac{1}{a^{n - 1}} + 3 n - 2)$ ，
    将其每一项拆开再重新组合得 $S_{n} = (1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{a^{2}} + \dots + \frac{1}{a^{n - 1}}) + [1 + 4 + 7 + \dots + (3 n - 2)]$ (分组)
    当 $a = 1$ 时， $S_{n} = n + \frac{(3 n - 1) n}{2} = \frac{(3 n + 1) n}{2}$ (分组求和)
    当 $a \neq 1$ 时， $S_{n} = \frac{1 - \frac{1}{a^{n}}}{1 - \frac{1}{a}} + \frac{(3 n - 1) n}{2} = \frac{a - a^{1 - n}}{a - 1} + \frac{(3 n - 1) n}{2}$ .
    评注:数列 ${\frac{1}{a^{n - 1} + 3 n - 2}}$ 看作等比数列 ${\frac{1}{a^{n - 1}}}$ 与等差数列 ${3 n - 2}$ 的和，利用分组求和的方法．

拓展探究
(1)求

{sin}^{2} 1 ° + {sin}^{2} 2 ° + {sin}^{2} 3 ° + \dots + {sin}^{2} 88 ° + {sin}^{2} 89 °

的值．

(2)已知

a 、 b

为不相等的两个正数，若在

a 、 b

之间插入

n

个正数，使它们构成以

a

为首项，

b

为末项的等比数列，求插入的这

n

个正数的积

p_{n}

提示	示范
(提示内容)
解:(1)设 $S = {sin}^{2} 1 ° + {sin}^{2} 2 ° + {sin}^{2} 3 ° + \dots + {sin}^{2} 88 ° + {sin}^{2} 89 °$ ， ① 将①式右边反序得 $S = {sin}^{2} 89 ° + {sin}^{2} 88 ° + \dots + {sin}^{2} 3 ° + {sin}^{2} 2 ° + {sin}^{2} 1 °$ ， ②(反序) $又 ∴ sin x = cos (90 ° - x), {sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1$ ， ①+②得 $2 S = ({sin}^{2} 1 ° + {cos}^{2} 1 °) + ({sin}^{2} 2 ° + {cos}^{2} 2 °) + \dots + ({sin}^{2} 89 ° + {cos}^{2} 89 °) = 89 (反序相加)$ , $∴ S = 44.5$ . (2)设插入的这 $n$ 个数为 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ， $则 p_{n} = x_{1} \cdot x_{2} \cdot \dots \cdot x_{n}$ ， ① $又 p_{n} = x_{n} \cdot x_{n - 1} \cdot \dots \cdot x_{1}$ ，② $① \times ②$ 得 $p_{n}^{2} = (x_{1} x_{n}) \cdot (x_{2} x_{n - 1}) \cdot \dots \cdot (x_{n} x_{1}) = {(a b)}^{n}$ ， $∴ p_{n} = {(a b)}^{\frac{n}{2}}$ . 评注:(1)这是一种特殊数列的求和问题，利用一般的三角变换，不容易解，考虑到三角函数的平方关系 ${sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1$ ，倒序相加可得． (2)虽然这是一个等比数列的题，但是要求插入的这 $n$ 个数的积，还要根据 $n$ 的奇偶性进行分类讨论，若用倒序相乘法可轻而易举地解出．

基础训练

1、(2007陕西宝鸡模拟)等比数列

{a_{n}}

中，

S_{2} = 7

，

S_{6} = 917

，则

S_{4}

为(   )
    A．28     B．32    C．35     D．49
    2、数列

{a_{n}}

中，

a_{1} = - 60

，且

a_{n + 1} = a_{n} + 3

，则这个数列前30项的绝对值之和是(   )
    A．495    B．765   C．46     D．76
    3、

(a - 1) + (a^{2} - 2) + (a^{3} - 3) + \dots + (a^{n} - n)

等于 ( )
A.

\frac{a (1 - a^{n})}{1 - a} - \frac{n (n + 1)}{2}

\frac{a (1 - a^{n + 1})}{1 - a} - \frac{n (n + 1)}{2}

\frac{a (1 - a^{n - 1})}{1 - a} - \frac{n (n + 1)}{2}

\frac{a (1 - a^{n})}{1 - a} - \frac{n (n + 1)}{2} (a \neq 1) 或 \frac{n - n^{2}}{2} (a = 1)

4、(2007北京东城模拟)设数列

{a_{n}}

、

{b_{n}}

满足

a_{n} b_{n} = 1

，

a_{n} = n^{2} + 3 n + 2

，则

{b_{n}}

的前10项之和等于( )
A．

\frac{1}{3}

B．

\frac{5}{12}

C．

\frac{1}{2}

D．

\frac{7}{12}

5、(2007陕西宝鸡模拟5)等差数列

{a_{n}}

的通项为

a_{n} = 2 n + 1

，则由

b_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}

，所确定的数列

{b_{n}}

的前

n

项和为( )
A．

n (n + 2)

B．

\frac{1}{2} n (n + 4)

C．

\frac{1}{2} n (n + 5)

D．

\frac{1}{2} n (n + 7)

6、对于每个自然数

n

，抛物线

y = (n^{2} + n) x^{2} - (2 n + 1) x + 1

与

x

轴交于

A_{n}

、

B_{n}

两点，以

| A_{n} B_{n} |

表示该两点间的距离，则

| A_{1} B_{1} | + | A_{2} B_{2} | + \dots + | A_{2007} B_{2007} |

的值是( )
A．

\frac{2005}{2003}

B．

\frac{2004}{2006}

\frac{2005}{2007}

D．

\frac{2007}{2008}

7、设

n \in N^{⋆}

，则

C_{n}^{1} + C_{n}^{2} 6 + C_{n}^{3} 6^{2} + \dots + C_{n}^{n} 6^{n - 1}

=______

8、(2007四川成都模拟)已知函数

f (x) = \frac{a^{x}}{a^{2} + \sqrt{x}} (a > 0

且

a \neq 1)

(1)证明函数

f (x)

的图象关于点

P (\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})

对称；

(2)求

f (\frac{1}{10}) + f (\frac{2}{10}) + \dots + f (\frac{9}{10})

的值．

参考答案

1、(2007陕西宝鸡模拟)等比数列

{a_{n}}

中，

S_{2} = 7

，

S_{6} = 917

，则

S_{4}

为(   )
    A．28     B．32    C．35     D．49
    2、数列

{a_{n}}

中，

a_{1} = - 60

，且

a_{n + 1} = a_{n} + 3

，则这个数列前30项的绝对值之和是(   )
    A．495    B．765   C．46     D．76
    3、

(a - 1) + (a^{2} - 2) + (a^{3} - 3) + \dots + (a^{n} - n)

等于 ( )
A.

\frac{a (1 - a^{n})}{1 - a} - \frac{n (n + 1)}{2}

\frac{a (1 - a^{n + 1})}{1 - a} - \frac{n (n + 1)}{2}

\frac{a (1 - a^{n - 1})}{1 - a} - \frac{n (n + 1)}{2}

\frac{a (1 - a^{n})}{1 - a} - \frac{n (n + 1)}{2} (a \neq 1) 或 \frac{n - n^{2}}{2} (a = 1)

4、(2007北京东城模拟)设数列

{a_{n}}

、

{b_{n}}

满足

a_{n} b_{n} = 1

，

a_{n} = n^{2} + 3 n + 2

，则

{b_{n}}

的前10项之和等于( )
A．

\frac{1}{3}

B．

\frac{5}{12}

C．

\frac{1}{2}

D．

\frac{7}{12}

5、(2007陕西宝鸡模拟5)等差数列

{a_{n}}

的通项为

a_{n} = 2 n + 1

，则由

b_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}

，所确定的数列

{b_{n}}

的前

n

项和为( )
A．

n (n + 2)

B．

\frac{1}{2} n (n + 4)

C．

\frac{1}{2} n (n + 5)

D．

\frac{1}{2} n (n + 7)

6、对于每个自然数

n

，抛物线

y = (n^{2} + n) x^{2} - (2 n + 1) x + 1

与

x

轴交于

A_{n}

、

B_{n}

两点，以

| A_{n} B_{n} |

表示该两点间的距离，则

| A_{1} B_{1} | + | A_{2} B_{2} | + \dots + | A_{2007} B_{2007} |

的值是( )

A．

\frac{2005}{2003}

B．

\frac{2004}{2006}

\frac{2005}{2007}

D．

\frac{2007}{2008}

7、设

n \in N^{⋆}

，则

C_{n}^{1} + C_{n}^{2} 6 + C_{n}^{3} 6^{2} + \dots + C_{n}^{n} 6^{n - 1}

=______

8、(2007四川成都模拟)已知函数

f (x) = \frac{a^{x}}{a^{2} + \sqrt{x}} (a > 0

且

a \neq 1)

(1)证明函数

f (x)

的图象关于点

P (\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})

对称；

(2)求

f (\frac{1}{10}) + f (\frac{2}{10}) + \dots + f (\frac{9}{10})

的值．

提高训练

1、(2006·天津7)已知数列

{a_{n}}

、

{b_{n}}

都是公差为

1

的等差数列，其首项分别为

a_{1} 、 b_{1}

，且

a_{1} + b_{1} = 5

，

a_{1} 、 b_{1} \in N^{⋆}

．设

c_{n} = a_{b_{N}} (n \in N^{⋆})

，则数列

{c_{n}}

的前10项和等于(   )
    A．55     B．70     C．85     D．100
    2、已知

S = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} + \dots

，那么

S

范围是( )
A．

(1 ， \frac{2}{3})

B．

(\frac{2}{3} ， 2)

C．

(2 ， 5)

D．

(5 ， + \infty)

3、已知数列

{a_{n}}

是递减的等差数列，且

a_{3} + a_{5} = 50

，

a_{5} • a_{7} = 616

．试求这个数列前多少项的和最大，并求这个最大值．
4、(2007北京海淀摸底考试20)设数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

且满足

S_{n} = 2 - a_{n}

，

n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots

．
(1)求数列

{a_{n}}

的通项公式；
(2)若数列

{b_{n}}

满足

b_{1} = 1

，且

b_{n + 1} = b_{n} + a_{n}

，求数列

{b_{n}}

的通项公式；
(3)设

c_{n} = n (3 - b_{n})

，数列

{c_{n}}

的前

n

项和为

T_{n}

，求证：

T_{n} < 8

．

参考答案

1、(2006·天津7)已知数列

{a_{n}}

、

{b_{n}}

都是公差为

1

的等差数列，其首项分别为

a_{1}

、

b_{1}

，且

a_{1} + b_{1} = 5

，

a_{1} 、 b_{1} \in N^{⋆}

．设

c_{n} = a_{b_{N}} (n \in N^{⋆})

，则数列

{c_{n}}

的前10项和等于(   )
    A．55     B．70     C．85     D．100
    2、已知

S = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{2}} + \dots

，那么

S

范围是( )
A．

(1 ， \frac{2}{3})

B．

(\frac{2}{3} ， 2)

C．

(2 ， 5)

D．

(5 ， + \infty)

3、已知数列

{a_{n}}

是递减的等差数列，且

a_{3} + a_{5} = 50

，

a_{5} • a_{7} = 616

．试求这个数列前多少项的和最大，并求这个最大值．
4、(2007北京海淀摸底考试20)设数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

且满足

S_{n} = 2 - a_{n}

，

n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots

．
(1)求数列

{a_{n}}

的通项公式；
(2)若数列

{b_{n}}

满足

b_{1} = 1

，且

b_{n + 1} = b_{n} + a_{n}

，求数列

{b_{n}}

的通项公式；
(3)设

c_{n} = n (3 - b_{n})

，数列

{c_{n}}

的前

n

项和为

T_{n}

，求证：

T_{n} < 8

．

    学习感悟
    1、求数列的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，通常要掌握以下解法：
    (1)直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意等比时 $q = 1$ 和 $q \neq 1$ 的讨论．
(2)倒序相加法：如果一个数列 ${a_{n}}$ ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法．
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法．
(4)分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化成等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法．
(5)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，则数列的每一项都可按此法拆成两项之差．在求和时一些正负项相互抵消，于是前”项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法．
    (6)公式法求和：所给数列的通项是关于”的多项式，此时求和可采用公式法求和．常用的公式有：
$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (n + 2)$
    $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = \frac{1}{4} n^{2} {(n + 1)}^{2}$ 等．
    2、对通项公式中含有 ${(- 1)}^{n}$ 的这一类数列，在求 $S_{n}$ 时要注意讨论 $n$ 的奇偶性．

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