§3.2 等差数列

第三章数列
§3.2 等差数列

复习目标

知识梳理

应用举例

实践体验

拓展探究

基础训练

提高训练

学习感悟

一、复习目标
理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前

n

项和公式，并能应用这些知识解决简单的实际问题．

二、重点难点
重点:理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 $n$ 项和公式.

难点:能应用等差数列的概念、通项公式与前 $n$ 项和公式解决简单的实际问题.

    三、特别提示
    1、 $A = \frac{a + b}{2}$ 是 $a 、 A 、 b$ 成等差数列的充要条件．在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项．
    2、三个数成等差数列，根据对称性特点一般可设为 $a - d ， a ， a + d$ ．若四个数成等差数列，一般可设为 $a - 3 d$ , $a - d$ , $a + d$ , $a + 3 d$ ．
    3、公式 $S_{n} = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d$ 可进一步变形为 $S_{n} = n a_{1} + \frac{n^{2}}{2} d - \frac{n}{2} d$ = $\frac{d}{2} n^{2}$ + $(a_{1} - \frac{d}{2}) n$ ,
    若令 $A = \frac{d}{2}, B = a_{1} - \frac{d}{2}$ ,则有 $S_{n} = A n^{2} + B n$
    (1)这是等差数列前 $n$ 项和公式的另一种表达形式．
    (2)当 $A \neq 0 ，即 d \neq 0$ 时，该式是 $n$ 的二次函数，即 $(n, S_{n})$ 在 $y = A x^{2} + B x$ 的图象上，
    当 $d \neq 0$ 时，数列 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，…， $S_{n}$ 图象是抛物线 $y = A x^{2} + B x$ 的一群离散的点，
    因此，由二次函数的性质即可得结论：当 $d > 0$ 时， $S_{n}$ 有最小值，当 $d < 0$ 时， $S_{n}$ 有最大值．

    知识梳理
    1、等差数列的概念
    (1)等差数列的定义(用式子表示)：

(2)等差数列的通项公式：

(3)等差数列的前

n

项和公式：

S_{n}

\frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}

n a_{1} + n \frac{n - 1}{2} d

(4)若三个数

a 、 A 、 b

组成等差数列，那么

2 A = a + b

2、等差数列的性质

(1)数列的通项公式还可写成：

a_{n} = a_{m} + (n - m) d

(2)对于任意正整数

p 、 q 、 r 、 s

，如果

p + q = r + s

，则有___________________；

(3)对于任意非零实数

b

，若数列

{b a_{n}}

是等差数列，则数列

{a_{n}}

也是等差数列；

(4)已知数列

{a_{n}} 、 {b_{n}}

是等差数列，则

{a_{n} \pm b_{n}}

也是_______；

(5)若数列

{a_{n}}

是等差数列，则

{a_{2 n}} ， {a_{2 n - 1}} ， {a_{3 n}} ， {a_{3 n - 1}} ， {a_{3 n - 2}}

等都是等差数列；

(6)等差数列的前

n

项和

S_{n} = \frac{2}{n} (a_{k} + a_{n - k + 1}) (n 、 k \in N^{⋆})

；

(7)若

{a_{n}}

2 n

项，则

S_{2 n} = n (a_{n} + a_{n + 1})

且

S_{偶} - S_{奇} = n d

；

S_{偶} : S_{奇} = a_{n + 1} : a_{n}

若数列

{a_{n}}

2 n + 1

项，则

S_{2 n + 1}

=_________且

S_{偶} - S_{奇}

=____，

S_{偶} : S_{奇}

=_______

(其中

S_{偶} 、 S_{奇} 分 别 表 示 数 列 的 所 有 偶 数 项 的 和 与 所 有 奇 数 项 的 和) ；

(8)设

S_{n}

是等差数列

{a_{n}}

的前

n

项的和，

S_{n} ， S_{2 n} - S_{n} ， S_{3 n} - S_{2 n}

，…构成公差为

n^{2} d

的等差数列；

(9)所有点

(n, \frac{S_{n}}{n})

都共线于

y = \frac{d}{2} x + a_{1} - \frac{d}{2}

；

(10)若

S_{n} = m, S_{m} = n (m \neq n)

，则

S_{m + n} = - (m + n)

．

    应用举例
    一、应用特点
    1、等差数列的概念、通项公式和前 $n$ 项和公式.
    2、用等差数列的性质解题
    3、等差数列的综合应用

二、案例示范
(回味相关知识与方法，寻找解题办法，若有困难，可以参考“提示”，还有困难，可以参考“解答”或倾听老师的分析示范)

1、已知一个无穷等差数列的首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ ．取出数列中所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗?如果是，它的首项与公差各是多少?

提示	示范
判断数列是否为等差数列，就是判断这个数列从第二项起任一项与前一项之差是否为同一常数，也就是利用等差数列的定义判断，本题就是从定义出发得解的．
解:设已知数列 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \dots ， a_{n} ， \dots,$ 其公差为 $d$ ，则通项公式为 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ , $∵$ 这个数列中所有项数为7的倍数的各项组成的新数列为 $a_{7} ， a_{14} ， a_{28} ， a_{35} ， \dots$ ,即为数列 ${a_{n}}$ ， $∴$ 新数列中相邻两项应为 $a_{7 (n - 1)}$ 和 $a_{7 n}$ ． $∵ a_{7 n} = a_{1} + (7 n - 1) d, a_{7 (n - 1)} = a_{1} + (7 (n_{1}) - 1) d$ ， $∴ a_{7 n} - a_{7 (n - 1)} = 7 d$ (常数) $(n \geq 2)$ , $∴$ 新数列为等差数列，首项为 $a_{7}$ ，公差为 $7 d$ ．评注:判断成等差数列的方法有： (1) $a_{n + 1} - a_{n} = d$ (常数) $\Leftrightarrow$ ${a_{n}}$ 成等差数列； (2) $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2} \Leftrightarrow {a_{n}}$ 成等差数列； (3) $a_{n} = k n + b$ ( $k$ 、 $b$ 为常数) $\Leftrightarrow {a_{n}}$ 成等差数列； (4) $S_{n} = A n^{2} + B n$ ( $A$ 、 $B$ 为常数) $\Leftrightarrow {a_{n}}$ 成等差数列．

2、一个等差数列的前10项和为100，前100项的和为lO，求其前110项的和.

提示	示范
要求前110项的和，首先要确定这个数列，而要确定一个等差数列，只须确定首项 $a_{1}$ ，和公差 $d$ ，需要两个条件即可解决问题，而题目正好给出两个条件，可列两个方程．
解:方法一：设数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ ，则 ${\begin{cases} S_{10} = 10 a_{1} + \frac{9 \times 10}{2} d = 100 \\ S_{100} = 100 a_{1} + \frac{100 \times 99}{2} d = 10 \end{cases}$ 解之，得 $a_{1} = \frac{1099}{100} ， d = - \frac{11}{50}$ ． $∴ S_{100} = 110 a_{1} + \frac{109 \times 110}{2} d = 110 \times \frac{1099}{100} - \frac{109 \times 110}{2} \times \frac{11}{50} = - 110$ . 方法二：由于等差数列的顺次连续10项和构成的数列仍为等差数列，即 $S_{10}$ ， $S_{20} - S_{10}$ ， $S_{30} - S_{20}$ ，…， $S_{110} - S_{100}$ 成等差数列，可设其公差为 $D$ ，则 $S_{100} = 10 S_{10} + \frac{10 \times 9}{2} D = 10$ . $∴ D = - 22 . S_{110} = 11 S_{10} + \frac{11 \times 10}{2} D = - 110)$ 评注:(内容)

3、若数列

{a_{n}}

是等差数列，数列

{b_{n}}

满足

b_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 1} \cdot a_{n + 2} (n \in N^{⋆})

，

{b_{n}}

的前

n

项和用

S_{n}

表示，若

{a_{n}}

中满足

3 a_{5} = 8 a_{12} > 0

，试问

n

多大时，

S_{n}

取得最大值?证明你的结论．.

提示	示范
由于 $S_{n} = a n^{2} + b n$ ，运用二次函数最值求法求解，也可从等差数列的单调性去求解．
解: $∵ 3 a_{5} = 8 a_{12} > 0$ $∴ 3 a_{5} = 8 (a_{5} + 7 d)$ ，解得 $a_{5} = - \frac{56}{5} d > 0$ ， $∴ d < 0$ $∴ a_{1} = - \frac{76}{5} d$ 故 ${a_{n}}$ 是首项为正数的递减数列由 ${\begin{cases} a_{n} \geq 0 \\ a_{n + 1} \leq 0 \end{cases}$ 即 ${\begin{cases} - \frac{76}{5} d + (n - 1) d \geq 0 \\ - \frac{76}{5} d + n d \leq 0 \end{cases}$ 解得 $15 \frac{1}{5} \leq n \leq 16 \frac{1}{5}$ $∴ n = 16, 即 a_{16} > 0 ， a_{17} < 0$ $∴ a_{1} > a_{2} > \dots > a_{16} > 0 > a_{17} > a_{18} > \dots$ $∴ b_{1} > b_{2} > \dots > b_{14} > 0 > b_{17} > b_{18} > \dots$ 而 $b_{15} = a_{15} a_{16} a_{17} < 0$ ， $b_{16} = a_{16} a_{17} a_{18} > 0$ $∴ S_{14} > S_{13} > \dots > S_{1} ， S_{14} > S_{15} ， S_{15} < S_{16}$ 又 $a_{15} = - \frac{6}{5} d > 0$ ， $a_{18} = \frac{9}{5} d < 0$ ， $∴ a_{15} < \| a_{18} \|$ $∴ \| b_{15} \| < b_{16}$ ，即 $b_{15} + b_{16} > 0$ $∴ S_{16} > S_{14}$ ，故 $S_{n}$ 中 $S_{16}$ 最大评注:(1)在等差数列中， $a_{1} < 0$ ， $d > 0$ ， $S_{n}$ 有最小值；当 $a_{1} > 0$ ， $d < 0$ 时， $S_{n}$ 最大值． (2)本题充分体现了数列就是一种函数，函数思想是解决数列问题的一种重要思想方法．

    实践体验
    (在实践中提高能力，在体验中反思感悟，力求独立，力求提高)
    1、(1)等差数列

{a_{n}}

中，已知

a_{12} = 23

，

a_{42} = 143

，

a_{n} = 263

，求

n

．
(2)等差数列

{a_{n}}

中，已知

a_{6} = 10

，

S_{5} = 5

,求

a_{n}

和

S_{n}

提示	示范
(提示内容)
解:(1)方法一：设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，依题意得 ${\begin{cases} a_{1} + 11 d = 23 \\ a_{1} + 41 d = 143 \end{cases}$ ，解得 ${\begin{cases} a_{1} = - 21 \\ d = 4 \end{cases}$ 又 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = - 21 + (n - 1) \times 4 = 263$ ，解得 $n = 72$ ．方法二：设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，则 $d = \frac{a_{42} - a_{12}}{42 - 12} = \frac{143 - 23}{30} = 4$ ， $∴ a_{n} = a_{12} + (n - 12) d$ ．又 $a_{n} = 263,$ $∴ 23 + (n - 12) \times 4 = 263$ ，解得 $n = 72$ ． (2)解：设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ．依题意得 ${\begin{cases} a_{1} + 5 d = 10 \\ 5 a_{1} + \frac{5 \times 4}{2} \times d = 5 \end{cases}$ ，解得 ${\begin{cases} a_{1} = 15 \\ d = 3 \end{cases}$ $∴ a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 3 n - 8, S_{n} = - 5 n + \frac{n (n - 1)}{2} \times 3 = \frac{3}{2} n^{2} - \frac{13}{2} n$ ，评注:(1)等差数列 ${a_{n}}$ 的通项公式和前 $n$ 项和公式中涉及项数、首项、公差、第n项、前n项和五个量，已知其中的任意三个就可以列方程组求另外两个(简称“知三求二”)．方程(组)的数学思想方法在解决数列问题时应用很广泛，注意合理运用． (2)等差数列的通项公式，可以看成是关于正整数 $n$ 的一次函数，其中(1)中的解法二求 $d$ 时，就是运用了已知直线上两点求直线斜率的公式．

2、已知数列

{a_{n}}

中，

a_{1} = \frac{3}{5}, a_{n} = 2 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n \geq 2, n \in N^{⋆})

，数列

{b_{n}}

满足

b_{n} = \frac{1}{a_{n} - 1} (n \in N^{⋆})

．
(1)求证：数列

{b_{n}}

是等差数列；

(2)求数列

{a_{n}}

中的最大项与最小项，并说明理由.

提示

示范

解:(1)证明：

∵ b_{n} = \frac{1}{a_{n} - 1} - \frac{1}{(2 - \frac{1}{a_{n - 1}}) - 1} = \frac{a_{n - 1}}{a_{n - 1} - 1}

而

b_{n - 1} = \frac{1}{a_{n - 1} - 1}

，

∴ b_{n} - b_{n - 1} = \frac{a_{n - 1}}{a_{n - 1} - 1} - \frac{1}{a_{n - 1} - 1} = 1 (n \in N^{⋆}

且

n \geq 2)

，

b_{1} = \frac{1}{a_{1} - 1} = - \frac{5}{2}

∴ {b_{n}}

是首项为

- \frac{5}{2}

，公差

d = 1

的等差数列．

(2)由(1)得

b_{n} = n - \frac{7}{2}

，则

a_{n} = 1 + \frac{1}{b_{n}} + \frac{2}{2 n - 7}

．

设函数

f (x) = 1 + \frac{2}{2 x - 7}

，则

f' (x) = - \frac{4}{{(2 x - 7)}^{2}} < 0

．

∴

在区间

(- \infty ， \frac{7}{2})

和

(\frac{7}{2} ， + \infty)

内

f (x)

为减函数．

∴

当

x \leq 3

时，

f (x) \geq f (3) = - 1

, 当

x \geq 4

时，

f (x) \leq f (4) = 3

，且

lim_{x \to \infty} f (x) = 1

∴ a_{n}

的最小值为

a_{3} = - 1

，最大值为

a_{4} = 3

另解：

a_{n} = 1 + \frac{2}{2 n - 7}

.当

n \leq 3

时，

\frac{3}{5} = a_{1} > a_{2} > a_{3} = - 1

，

当

n \geq 4

时，

3 = a_{4} > a_{5} > a_{6} > \dots > a_{n} > 1

．

a_{n}

的最小值为

a_{3} = - 1

，最大值为

a_{4} = 3

．

评注:(1)判断或证明数列是等差数列的方法有：
    定义法： $a_{n + 1} - a_{n} = d (常数) \Leftrightarrow {a_{n}}$ 是等差数列；
等差中项公式法： $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2} (n \in N^{⋆}) \Leftrightarrow {a_{n}}$ 是等差数列；
    通项公式法： $a_{n} = k n + b (k 、 b 为常数) \Leftrightarrow {a_{n}}$ 是等差数列；
    前 $n$ 项和公式法： $S_{n} = A n^{2} + B n (A 、 B 为常数) \Leftrightarrow {a_{n}}$ 是等差数列，利用递推公式的变形，用定义进行了判断．
    (2)数列的单调性可借助函数的单调性来判断，特别是等差数列的通项公式可看作一次函数，但要注意函数的单调性不能借助数列的单调性来判断，例如：已知 ${a_{n}}$ 是递增数列，且对于任意的自然数 $n$ ， $a_{n} = n^{2} + λ$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是______．
    错解： $a_{n} = n^{2} + λ n$ 可看作 $n$ 的二次函数，要使函数在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增，则对称轴 $x = - \frac{λ}{2} \leq 1$ ，即 $λ \geq - 2$ ．
    错因：数列的单调性与函数的单调性不同，它的图象是函数上的不连续的点，故函数在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增是数列递增的一个充分务件．
    正解：方法一：把 $a_{n} = n^{2} + λ n$ 看作 $n$ 的二次函数，由图象可知，只要对称轴 $x = - \frac{λ}{2} \leq \frac{3}{2}$ ，即 $λ > - 3$ ．
    方法二： ${a_{n}}$ 是递增数列， $a_{n + 1} - a_{n} = {(n + 1)}^{2} + λ (n + 1) - n^{2} - λ n = 2 n + 1 + λ > 0$ 对于任意的自然数 $n$ 恒成立，即 $λ > - 2 n - 1$ 对于任意的自然数 $n$ 恒成立, $λ > - 3$ ．

答案： $λ > - 3$ .

    拓展探究
    (2006湖北襄樊模拟，20)从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1目该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号目销售量达到最大，然后每天销售的件数分别递减10件．
   (1)记该款服装四月份日销售量与销售天数

n

的关系为

a_{n}

，求

a_{n}

；
(2)求四月份的总销售量；
(3)按规律，当该商场销售此服装超过1200件时，社会上就流行，而日销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过l0天?请说明理由.

提示	示范
(提示内容)
解:(1)依题意，数列 $a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{12}$ 是首项为10，公差为15的等差数列． $∴ a_{n} = 15 n - 5 (1 \leq n \leq 12)$ ， $a a_{13} ， a_{14} ， a_{15} ， \dots ， a_{30}$ 是首项为 $a_{13} = a_{12} - 10 = 165$ ，公差为 $- 10$ 的等差数列． $∴ a_{n} = 165 + (n - 13) (- 10) = - 10 n + 295 (13 \leq n \leq 30)$ ． $∴ a_{n} = {\begin{cases} 15 n - 5 & 1 \leq n \leq 12 & n \in N^{⋆} \\ - 10 n + 295 & 13 \leq n \leq 30 & n \in N^{⋆} \end{cases}$ (2)四月份的总销售量为 $\frac{12 (10 + 175)}{2} + 18 \times 165 + \frac{18 \times 17 \times (- 10)}{2} = 2550$ (件) (3)4月1日至4月12日销售总数为 $(12 \frac{a_{1} + a_{12}}{2}) = 12 \frac{10 + 175}{2} = 1110 < 1200$ ， $∴$ 4月12日前还没有流行. 由 $- 10 n + 295 < 100$ 得 $n > \frac{39}{2}$ ． $∴$ 第20天流行结束，故该服装在社会上流行没有超过10天．评注:数列应用题的解法一般是根据题设条件，建立目标函数关系(即等差数列或等比数列模型)，然后利用相关的数列知识定型解模，但建模是关键．首先要分析实际问题的对象结构特点，其次要找出所含元素的数量关系，从而确定为何种数学模型．建模的过程也是一个把文字语言翻译成数学符号语言的过程，解模的过程就是运算的过程．首先判断是等差数列还是等比数列，确定首项、公差(比)、项数是什么，能分清 $a_{n} 、 S_{n}$ ．然后选用适当方法求解，最后的程序是还原，即把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解.

基础训练

1、数列

{x_{n}}

满足

x_{1} = 1, x_{2} = \frac{2}{3}

，且

\frac{1}{x_{n - 1}} + \frac{1}{x_{n + 1}} = \frac{2}{x^{n}} (n \geq 2)

，则

x_{n}

等于( )
A.

\frac{2}{n + 1}

{(\frac{2}{3})}^{n - 1}

{(\frac{2}{3})}^{n}

\frac{2}{n + 2}

2、设

S_{n}

是等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和，若

\frac{S_{3}}{S_{6}} = \frac{1}{3}

，则

\frac{S_{6}}{S_{12}}

等于( )
A.

\frac{3}{10}

\frac{1}{3}

\frac{1}{8}

D．

\frac{1}{9}

3、已知等差数列

{a_{n}}

中，

a_{1} > 0

，

3 a_{8} = 5 a_{13}

，其前

n

项和为S．，则数列

{S_{n}}

中最大项是( )
A．

S_{l} 9

B．

S_{20}

C．

S_{21}

D．

S_{25}

4、等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和记为

S_{n}

,若

a_{2} + a_{6} + a_{10}

为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )
A．

S_{6}

B．

S_{11}

C．

S_{12}

S_{13}

5、已知数列

{a_{n}}

满足条件

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 2 n^{2} - 3 n + 1

，则

a_{4} + a_{5} + \dots + a_{10} =

______．
6、在等差数列

{a_{n}}

中，

a_{15} = 10, a_{45} = 10

，则

a_{60}

=______.
7、在数列

{a_{n}}

和

{b_{n}}

中，

b_{n}

是

a_{n}

和

a_{n + 1}

的等差中项，

a_{1} = 2

且对任意

n \in N^{⋆}

都有

3 a_{n + 1} - a_{n} = 0

，则

{b_{n}}

的通项

b_{n}

=______．
8、已知数列

{a_{n}}

的首项

a_{1} = a

(

a

是常数)，

a_{n} = 2 a_{n - 1} + n^{2} - 4 n + 2 (n \in N, n \geq 2)

{a_{n}}

是否可能是等差数列?若可能，求出

{a_{n}}

的通项公式；若不可能，请说明理由．

参考答案

1、数列

{x_{n}}

满足

x_{1} = 1, x_{2} = \frac{2}{3}

，且

\frac{1}{x_{n - 1}} + \frac{1}{x_{n + 1}} = \frac{2}{x^{n}} (n \geq 2)

，则

x_{n}

等于( A )
A.

\frac{2}{n + 1}

{(\frac{2}{3})}^{n - 1}

{(\frac{2}{3})}^{n}

\frac{2}{n + 2}

2、设

S_{n}

是等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和，若

\frac{S_{3}}{S_{6}} = \frac{1}{3}

，则

\frac{S_{6}}{S_{12}}

等于( A )
A.

\frac{3}{10}

\frac{1}{3}

\frac{1}{8}

\frac{1}{9}

3、已知等差数列

{a_{n}}

中，

a_{1} > 0

，

3 a_{8} = 5 a_{13}

，其前

n

项和为S．，则数列

{S_{n}}

中最大项是( B )
A.

S_{l} 9

S_{20}

S_{21}

S_{25}

4、等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和记为

S_{n}

,若

a_{2} + a_{6} + a_{10}

为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( B )
A.

S_{6}

S_{11}

S_{12}

S_{13}

5、已知数列

{a_{n}}

满足条件

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 2 n^{2} - 3 n + 1

，则

a_{4} + a_{5} + \dots + a_{10} =

______
答案：

161

6、在等差数列

{a_{n}}

中，

a_{15} = 10, a_{45} = 10

，则

a_{60}

=______
答案：

130

7、在数列

{a_{n}}

和

{b_{n}}

中，

b_{n}

是

a_{n}

和

a_{n + 1}

的等差中项，

a_{1} = 2

且对任意

n \in N^{⋆}

都有

3 a_{n + 1} - a_{n} = 0

，则

{b_{n}}

的通项

b_{n}

=______
答案：

\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}

8、已知数列

{a_{n}}

的首项

a_{1} = a

(

a

是常数)，

a_{n} = 2 a_{n - 1} + n^{2} - 4 n + 2 (n \in N, n \geq 2)

{a_{n}}

是否可能是等差数列?若可能，求出

{a_{n}}

的通项公式；若不可能，请说明理由．
答案：不可能，证明略

提高训练

1、数列

{a_{n}}

中，

a_{n} = q^{n} (q \neq O)

，则下列结论不恒正确的是( )
A.

{a_{n}^{2}}

是等比数列
B.

{\frac{1}{a_{n}^{2}}}

是等比数列
C.

{l g | a_{n} |}

是等差数列
D.

{l {g a}_{n}}

是等差数列
2、等差数列

{a_{n}}

中，公差

d = 1

，

S_{98} = 137

，则

a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{98} =

______.
3、已知

f (x + 1) = x^{2} + 2 x

，在等差数列

{a_{n}}

中，

a_{1} = f (x - 1)

，

a_{2} = - \frac{1}{2}, a_{3} = f (x)

，求通项

a_{n}

．
4、设数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

,已知

a_{1} = 1, a_{2} = 6, a_{3} = 11

，且

(5 n - 8) S_{n + 1} - (5 n + 2) S_{n} = A n + 8 ， n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ，

其中

A 、 B

为常数．
(1)求A与B的值；
(2)证明数列

{a_{n}}

为等差数列；
(3)证明不等式

\sqrt[]{5 a_{m n}} - \sqrt[]{a_{m} a_{n}} > 1

对任何正整数

m 、 n

都成立．

参考答案

1、数列

{a_{n}}

中，

a_{n} = q^{n} (q \neq O)

，则下列结论不恒正确的是( D )
A.

{a_{n}^{2}}

是等比数列
B.

{\frac{1}{a_{n}^{2}}}

是等比数列
C.

{l g | a_{n} |}

是等差数列
D.

{l {g a}_{n}}

是等差数列
2、等差数列

{a_{n}}

中，公差

d = 1

，

S_{98} = 137

，则

a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{98} =

______.
答案：93
3、已知

f (x + 1) = x^{2} + 2 x

，在等差数列

{a_{n}}

中，

a_{1} = f (x - 1)

，

a_{2} = - \frac{1}{2}, a_{3} = f (x)

，求通项

a_{n}

．
答案：

x = 2

时,

a_{n} = \frac{1 - n}{2}

；

x = 3

时,

a_{n} = \frac{n - 3}{2}

；
4、设数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

,已知

a_{1} = 1, a_{2} = 6, a_{3} = 11

，且

(5 n - 8) S_{n + 1} - (5 n + 2) S_{n} = A n + 8 ， n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ，

其中

A 、 B

为常数．
(1)求A与B的值；
(2)证明数列

{a_{n}}

为等差数列；
(3)证明不等式

\sqrt[]{5 a_{m n}} - \sqrt[]{a_{m} a_{n}} > 1

对任何正整数

m 、 n

都成立．
答案：(1)

A = - 20, B = - 8

；(2)略；(3)

略

    学习感悟
    1、由五个量 $a_{1} ， d ， n ， a_{n} ， S_{n}$ 中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的．
    2、掌握两个公式推导过程中所涉及的数学思想方法(如“归纳猜想”、“叠加法”、“倒序相加”等)，用函数的思想理解等差数列的通项公式与一次函数的关系，前 $n$ 项和公式与二次函数的关系．
    在求解数列问题时，除注意利用函数思想、方程思想、消元及整体消元的思想外，还要特别注意解题中要有“目标意识”，“需要什么，就求什么”．
    3、运用等差、等比数列性质解题的关键是对两类特殊数列的不同性质记忆清晰，条件准确，以防记错用错现象的发生．为此，可以将两类特殊数列的性质，进行类比，加深理解和记忆．
    4、运用等差、等比数列的性质解题要注意审视数列中各项数之间的关系，精心联想，沟通联系，以便挖掘和发现不同项之间或项与前 $n$ 项和之间的内在联系，为应用性质创造条件．因此，灵活运用等差或等比数列的性质要有较高的观察能力．

本课件完全公益，使用过程中有任何问题，或想参与新课件制作，请加开心教练QQ：29443574。