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2023年高考数学新高考Ⅰ-6

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（5分）过点

$(0,-2)$ 与圆

$x^{2}+y^{2}-4x-1=0$ 相切的两条直线的夹角为

$\alpha$ ，则

$\sin \alpha =($ 　　

$)$
A．1 B．

$\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ C．

$\dfrac{\sqrt{10}}{4}$ D．

$\dfrac{\sqrt{6}}{4}$
答案：

$B$
分析：圆的方程化为

$(x-2)^{2}+y^{2}=5$ ，求出圆心和半径，利用直角三角形求出

$\sin \dfrac{\alpha }{2}$ ，再计算

$\cos \dfrac{\alpha }{2}$ 和

$\sin \alpha$ 的值．
解：

圆

$x^{2}+y^{2}-4x-1=0$ 可化为

$(x-2)^{2}+y^{2}=5$ ，则圆心

$C(2,0)$ ，半径为

$r=\sqrt{5}$ ；
设

$P(0,-2)$ ，切线为

$PA$ 、

$PB$ ，则

$PC=\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}}=2\sqrt{2}$ ，

$\Delta PAC$ 中，

$\sin \dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$ ，所以

$\cos \dfrac{\alpha }{2}=\sqrt{1-\dfrac{5}{8}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ ，
所以

$\sin \alpha =2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2}=2\times \dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ ．
故选：

$B$ ．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．

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